книги / Надежность и живучесть систем связи

3.6.Сравнительная оценка эффективности методов

В§ 3.2—3.5 изложены наиболее общие характеристики раз­ личных аналитических методов и построенных на их основе алго­ ритмов, оценки надежности ДС с произвольной структурой. Изло­

женные результаты анализа возможностей и оценки эффективно­ сти методов свидетельствуют о необходимости выбора метода и алгоритма для каждой конкретной задачи. Так, наиболее эффек­ тивные .логические методы при расчете надежности лестничных схем теряют свои преимущества по сравнению с методом, пост­ роенным иа основе теоремы разложения.

Логические методы и методы, реализующие принцип прямого перебора состояний путей, могут успешно применяться при пред­ ставлении ДС последовательным соединением ее простых сече­ нии Sj, i =l , ..., Ns. При использовании метода прямого перебора состояний простых сечений

p ( £ ) = l - f f [ l- p ( S ,) H - 2 ll- p ( S iSv)J— ..( - l) 'Vs_1 X

i= l t< v2

x[,-p( s‘)]- (3.21)

В случае использования логических методов (3.21) преобразу­ ется:

61

ставлении ее множеством 5. Поэтому точное вычисление р(Е) по (3.21) и (3.22) не находит широкого практического применения.

Основные характеристики машинных программ, реализующих изложенные методы, а также их возможности по оценке надеж­ ности систем связи приведены в табл. 3.7. Характеристики про­ грамм проведены без учета ПФМП. Сведения, приведенные в табл. 3.7, являются рекомендациями по практическому примене­

нию методов.

Известны также комбинированные методы, объединяющие не­ сколько принципов. По сравнению с изложенными методами их применение не дает значительных преимуществ по времени полу­ чения результатов; но вызывает дополнительные затруднения из-1 за сложности преобразований исходной структуры.

4.1.Итеративный алгоритм расчета

Пусть известно множество путей М={р,}, j—1, А. Требуется определить вероятность р(Е) исправности не менее одного пути при заданных вероятностях р(э*) исправности элементов. В целях упрощения изложения дальнейшего материала в данной -главе принято, что М,- обозначает подмножество множества М, содер­ жащее пути pi, .... Hj, а события Ej и Gj обозначают соответствен­ но исправность и неисправность этого подмножества.

Информация в ДС по пути р,- передается только при отказе всех путей множества Мы и исправности пути р, независимо от

Исключение корреляции состояний путей p*eM,-i и пути pj достигается благодаря использованию формулы условной вероят ности для путей р,-

где я(р,-, Pi)=PiDHj, *“ -1» •». Н 1*

62

образом пути называются путями первой итерации, а их множест­ во обозначено М1,- 1=={М'1г}, i = l i .... /—1- В дальнейшем пути ис­ ходного множества называются путями нулевой итерации. Ранг

MVA с увеличением номера итерации на единицу снижается так­ же на единицу, поэтому fee[0, у—1], /=1, .... h. На k-й итерации вычисляется вероятность

^При k—j—l p(Eii-1)=p(eii~i)3 так как по-условию р(Е*о)= 0. Подставляя в (4.4) выражение p(Ekj-k) на каждой итерации,

получаем

63

Выражение (4.5) описывает итеративный алгоритм вычисления вероятности р(£‘°з). Для упрощения организации вычислений да­ лее проведена взаимоувязка наибольшего и текущего значений индекса i с номерами итерации и шага.

Обозначим для этого наибольшее и текущее значения индекса i на k-Yi итерации I(k), i(k). Величина I(k) — это число путей на

писать общее “выражение для проведения расчетов на любом шаге' любой итерации

использованием выражения (4.8). Основу алгоритма составляют1 операции по проверке выполнения неравенств:

изменению значений индекса i{k)t определению требуемого чис­

Выполнение неравенства (4.9) проверяется по окончании каж-1 дого шага /t-й итерации. Если (4.9) выполняется, то индекс i(k)

также увеличивается на единицу. Если t(fc)=/(ft), то проверяет­ ся выполнение неравенства (4.10). Если оно выполняется, то значение, k снижается на единицу и производится расчет р (£Ацл))

вероятности р{Екцк)). Полностью алгоритм заканчивается, когда i(k)=I{k) при k=0 (не выполняются оба неравенства (4.9) и (4.10)). Ниже излагается последовательность расчетов при вы­ полнении первого, второго, третьего и (/-го шагов нулевой ите­

64

Неравенство (4.9) при k=0 не выполняется, поэтому осуществляется переход к шагу 4 нулевой итерации.

Шаг j нулевой итерации. Вероятность p(E°j-1) вычислена на предыдущем шаге. Индекс i(0)= /\ Согласно (4.8)

Вероятность p(Elj-1) вычисляется за / —1 шагов первой итера­ ции. Шаг /(/> 1) первой итерации требует выполнения i—1 шагов второй итерации и т. д. Вычисление производится в изложенной выше последовательности.

В качестве примера выполнения организации вычислений по изложенному алгоритму в табл. 4.2, которая дополнительно поя­ сняется рис. 4.1. приведены значения k, I(k), i(k), моменты фор­

4.2.Оценка эффективности итеративного алгоритма

Объем вычислений р(Е) по итеративному алгоритму опреде­ ляется числом повторений операции сложения по (4.8) и числом преобразований исходного множества путей. Обозначим их К и М. Согласно алгоритму на шаге 1 нулевой итерации:

а при i(k)> 1 и любых /е последовательность и объем вычислений на i (k)-м шаге полностью соответствуют последовательности и объему вычислений на [i(k)—1] шагах. Кроме того, по (4.8) оп­

Сложив рекуррентные соотношения (4.14), (4.15) по всем ша­

Следовательно, объем вычислений р{Е) итеративным алгорит­ мом очень высок. Для его снижения используется изменение кор­ реляции состояний путей при преобразовании их исходного мно­ жества на итерациях. Оценка корреляции рассматривается в сле­ дующем параграфе.

"4.3. Показатель структурной корреляции состояний путей системы связи

Рассмотрим возможности снижения объема вычислений. Ранг некоторых путей p,lv еМ ^ щ , k ^ l , при возрастании номера ите­ рации снижается, вследствие чего изменяется корреляция состоя­ ний путей между собой по сравнению с корреляцией состояний

этих же путей на предыдущей итерации. Оценим структурную корреляцию путей на ft-й итерации /-го шага.

Для сокращения записи обозначим а{екцю) вероятность исправ­ ности пути ц\<л) при условии отказа путей \ihv еМ*<(Л)-ь

По формуле условной вероятности

а (*?(*))— p ( r f (*)) />(<№-■)

P ( ° ( ( S ) - I)

Прибавив к числителю дроби и вычтя из него p(Gkw)-i), разде­ лив почленно на знаменатель и выполнив несложные преобразо­

называемое в дальнейшем условием независимости.

Из (4.20) следует, что структурная корреляция состояний пу­

следовательно, и путей множества Шкцну-и в которое эти элемен­

ся друг от друга хотя бы одним элементом).

Использование (4.18) с учетом (4.19) позволяет записать вы­

68

Следовательно, в том и другом случаях £(Л:)-й шаг вычислений

ний, снижаются на величины 2h'—1 и 1 соответственно. Дальнейшее снижение объема вычислений производится* с

выполняющегося при жесткой корреляции состояний произвольной пары путей (коэффициент ,pft(eftv 1).

Значение коэффициента р(еА((Л), Gt-(A)_i) зависит от структуры сети вероятностей исправности ее элементов, ранга путей, а так­ же порядка следования путей друг за другом в исходном множе­ стве М°/(о). Зависимости р (efei(ft), G\h)-i) от различных факторов имеют сложный характер. Так, коэффициент р(eft»(fe). G\h)-i как функция от вероятностей р(э) исправности элементов сети в од­ них случаях монотонная, в других — имеет экстремумы, число ко­ торых может быть более одного. В качестве примера на рис. 4.2 изображены зависимости p(eAi(A), Gki{h)-1) от р(э) для различных путей ДС, изображенной на рис. 1.5. Множество путей сети при­ ведено в табл. 4.3.

69

Т а б л и ц а 4,з

7 0