книги / Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов

с т а в л е н и я он д о п о л н ен р еку р р ен тн ы м и п р о ц ед у р ам и

( I ,3 7 а )

д л я

вы ч и сл ен и я с п е к т р а .

Р ассм о тр и м н е с к о л ь к о

с л у ч а е в п р е д с т а в л е н и я

типовы х

с и г н а ­

л о в а н а л и т и ч е с к и х

п р и б о р о в

в

СБС.

Д л я

стац и о н ар н ы х сл учай н ы х

п р о ц е с с о в

и с и г н а л о в

ï - r o

к л а с ­

с а , описы ваем ы х и

оп р ед ел яем ы х

моделью

( В .4 ) ,

к о г д а

сам

с и г н а л

и е г о

п р о и зво дн ы е

равн ы нулю

в н е и н т е р в а л а

[ 0 , 71]

и

н а е г о г р а ­

н и ц а х ,

реш ение

и н т е г р а л ь н о г о

у р а в н е н и я

( 1 . 3 9 )

и м еет

в и д

[ 3 2 ]

( ) = * * Г § Й г е х Р t i w t } d u > -

—©О

Î .

П усть

п о м ех о в а я со ставл яю щ ая

с и г н а л а

( B . I )

а н а л и т и ч е ­

с к о г о

п р и б о р а п р е д с т а в л я е т

белы й шум

с

о д н о сто р о н н ей сп ектр ал ь ­

ной

п л о тн о стью ( В . 1 4 ) и

к о р р ел яц и о н н о й

ф ункцией

( В Л 5 ) .

Т о гд а

и з

( Ï . 2 3 )

д и с п е р с и я с п е к т р а л ь н о й

составляю щ ей б у д е т

a * = ( G 0/ a ) £ , ( A ) ,

( 1 . 4 з )

г д е

Е ф ( к )

-

э н е р г и я

б а зи с н о й

ф ункции .

Из

у р а в н е н и я

( Î . 2 7 ) д л я

с и н т е з а

СБС п олучи м

ф ункции

t t ( M ) = ( G 0 / 2 ) ' V ( M ) -

( 1 - 4 4 )

Б ази сн ы е

ф ункции

{ y ( k , i ) f Ф ( к ,6 )}

си н тези руем ы е

и з

полученны х

f и ( к , Ь ) \

по ( Î . 3 2 ) , б у д у т р ав н ы :

1

*-1

*

Ф ( М ) = и ( М ) + 2 г .

Ф ( г ^ ) = 2 С Л г ^ ( г , ^ ,

7»=1 1КГ

Р=1

Э н ер ги я

б а зи с н о й ф ункции

Е ф (к ) д л я

б е л о г о

шума

л е г к о оп ­

р е д е л я е т с я :

Е ф { к ) =

$

u 4 * , t ) d t

+

S

j , r < P(r, t ) d t

+

+

( 1 . 4 5 )

У чи ты вая,

ч то

б а з и с

Ф ( к ,6 ) }

при

белом

шуме

с а м о с о ­

п р я ж е н ,

с

у ч ет о м

( 1 . 2 9 )

и

( Ï . 4 3 ) ,

находим

S T î r £ ф ( ^ = V

H k ’ m

" < § b r

( 1 . 4 6 )

2 . Для

коррели рован н ого

шума с

функциями ко р р ел яц и и

( В . 1 8)

имеем

z

d

z f ( k , i )

( 1 . 4 7 а )

и ( м ; = . ( 2 < г * Т 0 ) ' ( f ( k , é ) - r {

d t *

О

u ( k , - z ) = т 0 [ 'м Г щ ( ш а + т „ 11) ]

< * У ( М >

L

( 1 .4 7 6 )

+ 2 ( ( o z -

г 0' г )

+ ( » * +

ъ

У

f

(*>*)]■

Д искретное

п р ед ставл ен и е с и гн а л а

в

СБС

р ассм о тр и м

н а

при ­

мере

одиночного

г а у с с о в о го

с и г н а л а

с

моделью

( В . 5 ) :

( 1 . 4 8 )

причем

|х0= р р ',

р 0 ,

[Л

- с р е д н е к в ад р а ти ч н а я

ш ирина

с и г н а л а и

м одели;

A q - ам плитуда;

l Q

-

полож ение

с и г н а л а . Т о г д а

д л я

б е ­

л о го

шума и

единичной

амплитуды м одели

в с о о т в е т с т в и и

с

( 1 . 4 4 )

получим

Щ Ъ , ь) = ( Z /G q) e x p j -

} »

CI *4 9 ^

а д л я коррели рован н ого шума

при £ ( т ) ,

о п р ед ел яем о й

по

(В . 1 8 а )

» ( * , * ) =

| r

U ~ * k —

)

e x p {

-

I

• 50)

Вид

первых

четы рех базисны х

функций

ср(А, Ь)

д л я

б е л о г о

шума (а )

и шума с корреляционной ф ункцией

(В .1 8 а )

( £ )

при

г а у с с о в о й мо­

д ели

с

A l

=

0 ,7 2 р,

п о к а за н

н а

р и с . З .

Как

с л е д у е т

и з

р и с у н к а ,

вид

функции

с

ростом

п о р я д к а

А с т а б и л и з и р у е т с я ,

ч т о

п о д т в е р ­

ж д ается

значениями коэф ф ициентов

'у’жг в

с т р о к а х

м атрицы

г

(с м .

Приложение 4 ) : коэффициенты

разн ы х

с т р о к

А > 1 0 ,

н а ч и н а я

о т

диагональны х

эл ем ен то в ,

с т а н о в я т с я

одинаковы м и .

Т очн о

т а к же

эн ер ги я

функции при

А > 10

и зм е н я е т с я

н е з н а ч и т е л ь н о .

С л е д о в а ­

т е л ь н о , рассм атриваем ы е

СБС

м огут

о п р е д е л я т ь с я п ятью -сем ью к о ­

эффициентами

взяты м и ,

н ап ри м ер,

и з п о с л е д н е й

с т р о к и . Обо­

значим

эти

коэффициенты

п р о сто

Т

. Т о гд а ф орм улу ( 1 . 3 7 а )

мож­

но п ер еп и сать

в

ви д е

1

m ) = y 0 a ) + E o 7 r r a + / - 6 ) ,

* > 1 ° -

У словие

к > 1 0

можно' в с е г д а о б е с п е ч и т ь ,

п олож и в,

при

н ео б х о ­

д и м о сти

Y q ( à ) = 0

при

к =

0 , 1 , 2 ,

. . . ,

1 0 .

В это м

с л у ч а е и з

( 1 . 4 6 )

с л е д у е т ,

ч т о

э н е р г и я

б а зи с н о й функции

Е ф (г )

не

з а в и с и т

о т к , т а к к а к в е л и ч и н а Е ф н е з а в и с и т о т и н д е к с а и

£ ф =

Ът

”- \ к

, ъ ) <

и / ( \

+

S

j r

)

-

( 1 - 52)

Вид

м атрицы

т

с о х р а н я е т с я

такж е

д л я

д р у ги х форм

с и г н а л а

( 1 . 4 8 )

и

корреляц и он н ы х ф ункций

ш ума,

б у д у т

и з м е н я т ь с я

т о л ь к о

величины

э л е м е н т о в

м етрицы

( с м .

Приложение 4 ) .

А налогичным с в о й с тв о м

о б л а д а е т м атр и ц а коэф ф ициентов

с т о й лиш ь р а з н и ц е й ,

ч то

ч и сл о значимых коэф ф ициентов р авн о 1 0 -

20

( с м .

П рилож ение 4 ) .

Это

о б с т о я т е л ь с т в о п о з в о л я е т

у п р о с ти т ь

вы раж ения

д л я о п р е д е л е н и я

Y (к ) по ( 1 . 3 7 6 ) :

m

) =

E

! ; j 1 ( h H 6 ) ,

( 1 -й )

г = о

г д е

£ я=

^

>

Ï 6 .

Выражение ( 1 . 3 5 )

такж е

у п р о с т и т с я :

Г И W

= i è o n k - r H e ) ^ / < r ^ ’

г д а

щ ,г

к

>

К -

Д л я

о б р а б о т к и с и г н а л о в

в

белом шуме п ри

у ч е т е

( Î . 5 2 )

и

( 1 . 4 3 )

получим

( 1 . 5 4 )

г д е

=

Для

иллюстрации

н а

р и с . 4

п р и вед ен

ви д

с п е к т р а г а у с с о в о г о

с и гн а л а

( 1 .4 8 ) при

6

=

I

в СБС

( а )

и

СБС

и

( £ ) ., п о л у ч е н н о г о

по

алгоритм ам

( 1 . 5 1 ) ги

( 1 . 5 4 ) .

Полнота

СБС

о п р е д ел я е тс я

с р е д н е к в ад р а ти ч н о й

п о гр еш н о стью

( 1 . 9 ) ,

ко то р ая в

данном

сл у ч а е

за в и с и т

о т

ш ага

к в а н т о в а н и я

по

сущ ественном у

п а р а м е т р у

_

П олучить

н е п о с р е д с т в е н н о

ф унк­

циональную

з а в и с и м о с т ь

8 ( à l )

з а т р у д н и т е л ь н о ,

п о это м у

о н а

н а х о д и тс я

численны м и

м ето д ам и

по ( 1 . 9 ) с и с п о л ь з о в а н и е м с и н ­

т е зи р о в а н н о й

б а з и с н о й

си стем ы .

На р и с . 5 п о к а з а н а

з а в и ­

си м о сть

п огреш н о сти

п р е д с т а в ­

л е н и я г а у с с о в о г о си гн ал а ( 1 .4 8 )

при

Û = 1 ,1

в

о т с у т с т в и е шу­

м а

и ‘д р ей ф а

в

СБС

по

( 1 . 5 1 )

(кривы е

со

светлы м и

т о ч к а м и ) .

Там

же д л я

с р а в н е н и я

п р и в е д е ­

ны кривы е

( с

темными

т о ч к а м и )

погреш ности

п р е д с т а в л е н и я

в

5

в и д е

врем енны х

о т с ч е т о в ,

в з я ­

тых

в т о ч к а х

располож ения оп ор ­

ных

функций

при

А Ь = Д Ь .

По­

лож ение

с и г н а л а

в с р а в н е н и и

с

располож ением

опорных

ф ункций

м н о го к ан ал ьн о й о б р а б о т к и х а ­

_________ _

v

J - L

_____________

р а к т е р и з у е т с я

смещ ением

ц е н ­

т р а

п и к а о т н о с и т е л ь н о

бли ж ай ­

Р и с .4 .

шей

опорной

ф ункции :

8 1

=

=

F r Q , ( { \ ( l Q

- k 'à l ) / à l } .

Сум­

м и рован и е

в

( 1 . 3 6 )

п ри

в ы ч и с -

лен и и

у ( t )

вы полнялось

по

(

сп ектральн ы м

составл яю щ и м ,

содержащим

информацию

то л ьк о

о ком п он ен тах

с и г н а л а .

Из

ср ав н ен и я

кривых

р и с . 5

с л е д у е т ,

ч т о п о гр еш н о сти

д и с ­

к р е т н о го

п р е д ста в л е н и я

в

СБС

и

в ви де

врем енны х

о т с ч е т о в

о т л и ­

ч аю тся

н езн ач и тел ьн о

и

в

это м

смысле

р а в н о п р а в н ы .

На

р и с . 6 п оказан ы

зави си м о сти

с р е д н е к в а д р а т и ч н о й

п о гр еш ­

н о сти

о т

отнош ения

с и гн а л /п о м е х а { q )

н а в х о д е

си стем ы

о б р а б о т ­

ки

у = А 0 / б ш

ДЛЯ д в у х п р ед став л ен и й

-

в

СБС

(кр и вы е

с

темными

то ч к ам и )

и

временными

о тсч етам и

(кривы е

с о

светлы м и

т о ч к а м и ) .

ной о б л ас т и т о ч н е е

уже при

q <

20 (меньш е

в е л и ч и н а

е

) .

При

численны х

р а с ч е т а х

по

формулам

( 1 . 9 ) и ( 1 . 3 6 )

и с п о л ь ­

з о в а л а с ь

вр ем ен н ая

вы борка с

Д Ь = 0 , 2 jx

и з

см еси

с и г н а л /ш у м ,

причем о т с ч е т ы

шума

были

н е к о р р е л и р о в а н ы .В рем енны е

о т с ч е т ы ,

н еобходи м ы е д л я

вы ч и сл ен и я ошибки п р е д с т а ­

в л е н и я в о в р ем ен н о й

о б л а ­

с т и , в ы б и р ал и с ь и з

э т о й

вы борки с

ш агом

а Ь

— а 1 -

= 1}Z j-ь =

S a t .

П риведенны е

кривы е п о зв о л я ю т

с д е л а т ь

ч т о с ум еньш ен и ем ш а га

к в а н т о в а н и я т о ч н о с т ь

д и с ­

к р етн ы х п р е д с т а в л е н и й

в о з ­

р а с т а е т , а п р и

н ал и ч и и

ши­

р о к о п о л о с н о г о

шума в ы со к о ­

в л е н и я э т о г о шума в

о п е р а ­

ти в н о й

п а м я ти

у с т р о й с т в а

о б р а б о т к и

п р и х о д и т с я х р а ­

н и т ь

в

L = A t r/A Ù

—

A l / A b

р а з

( в

п р и вед ен н о м

п ри м ер е

А =

6 )

больш е

врем ен н ы х

о т с ч е т о в .

С игналы

а н а л и т и ч е с к и х

ки з р е н и я и х

д и с к р е т н о г о

п р е д с т а в л е н и я в

СБС можно

р а з б и т ь н а д в е

больш ие

гр у п п ы - п е р и о д и ч е с к и е

и

нически х составляю щ их.

Причем

м одель

о д и н о ч н о го

г а р м о н и ч е ­

ск о го

си гн ала

б у д ет

и м еть

вид .ан алоги чн ы й

( В .4 ) :

$ )

*

=

A (b, 9 ) e x p Q l t } .

З д е сь сущ ественный

п ар ам етр

I

о п р е д е л е н

в

д и с м е т н ы х

то ч ках

l —k ' â со .

Д ля ум еньш ения

о б ъ ем а

вы чи слен и й

при

решении

уравн ен и я

( 1 .2 7 )

заф иксируем

п арам етры

Q

т а к ,

ч т о ­

бы

А(Ь, 0 )

=

I .

Только

д л я

с л у ч а я

б е л о го шума а н а л о г и ч н о ' (1 .4 4 )

получим

Ь ) = ( Z / a 0 ) / ( А , Ь ) = { Z /G 0 ) e x p { j b à < j ù t } ,

Aù>—Z % /T . С лед овательн о, СБС д л я

п ер и о д и ч ески х

с и г н а л о в

в

случае белого

шума

(с

учетом

( 1 .4 3 ) и

( Ï . 4 4 )

имеют в и д

Ф (*> t )

=

( 2 / G 0 ) e x p { j k

- A œ t ) ,

< K M

)

=

(G0 / 2 ) e x p { - J *

‘A o û t}

и

образую т

хорошо и зв е с т н ы й .б а зи с

Ф урье.

д е т

Алгоритм

вы числения

обобщенных о т с ч е т о в

в это м

с л у ч а е

б у ­

Y0 W

= $

y ( é ) и ? ( к , b ) d b — ( 2 / G 0 ) \ т у ( i ) e x p { - jk ‘A o>t}cU ,( 1 .5 6 a )

ч то

с

точностью

до

кон стан ты

с о в п а д а е т

со

сп ек тр о м

Ф урье в

е г о

к л асси ч еск о й ф орме. При

р е а л и за ц и и

н а

ЭВМ п реобразован и е (1 .5 6 а )

прим ет ви д

.

N

Y ( k ) = j r ï

( ï .5 6 6 )

О собенностью д и ск р етн о го

п р е д с т а в л е н и я

в

СБС п е р и о д и ч е ­

ски х

си гн ал о в

я в л я е т с я

возм ож ность

и с п о л ь зо в а н и я

в р е а л ь н о м

врем ени ал го р и тм о в

бы строго

п р е о б р азо в а н и я

Ф урье

(БП Ф ).

Но

в

р я д е

с л у ч а е в ,

к о г д а э т о

п р ео б р азо в ан и е

о с у щ е с т в л я е т с я

в о в т о ­

ричном м асш табе

врем ени

и к о гд а

м ены пая

д л и т е л ь н о с т ь

о б р а б о т к и

в

р е з у л ь т а т е прим енения БПФ н е

и г р а е т

су щ ествен н о й

р о л и

в

о б ­

щая

б а л а н с е

маш инного вр ем ен и ,

может

п р о я в и т ь с я

н е д о с т а т о к

а л ­

го р и тм о в БПФ -

н еобходи м ость х р ан и ть

в

о п ер ати вн о й

п а м я т и

всю

временную

вы борку .П оэтому

в

п о сл ед н и е

год ы

в

с в я з и

с р о сто м

в о з ­

м ож ностей

вы чи сли тельн ой

т е х н и к а ,о с о б е н н о

в

е е б ы с т р о д е й с т в и и ,

д л я

с п е к тр а л ь н о го

р азл о ж ен и я

Ф урье

и с п о л ь зу ю т ся а л го р и тм ы н е ­

п о с р е д с т в е н н о г о д и

с к

р е т н о г о

п р е о б р а зо в а н и я Фурье ( 1 .5 6 6 )

с вы­

п олнением

о п е р а ц и й

в

п а у з а х

между временными о т с ч е т а м и .

Приме­

нение э т и х

а л г о р и т м о

в п о з в о л я е т

такж е и зм е н я т ь

ч и сл о ч асто тн ы х

к а н а л о в ,

и х

ш ирину и

р асп о л о ж ен

и е в д и а п а з о н е

ан али зи руем ы х

эконом ичном у

и сп о л ьзо в ан и ю

п ам яти

и а п п ар ату р ы

в ц е л о м .

Одиночным

с и гн а л о м

д р у г о й группы

2 - г о

к л а с с а

М одель

(В .8))

я в л я е т с я э к с п о н е н ц и а л ь н а я

ф ункция

вр ем ен и

А )= А е х р

Д ля

б е л о г о

шума у д о б н о

п р и н я т ь в

к а ч е с т в е

и ( к , Т )

функцию

в и д а

U ' ( k , 6 ) = ( Z / G 0) e x p { - t / ( k - A ' c ) } J

г д е л г = т т а х / N ,

Ь е [ О , Т ] .

Д л я реш ен и я

з а д а ч и

с и н т е з а ц е л е с о о б р а зн о

в о с п о л ь з о в а т ь с я

п редлож ен н ой

за м е н о й

п ерем енны х в

выходном

с и гн а л е

y ( t )

и

мо­

д е л и

f i t )

[ 1 3 ,

2 8 ] .

Положим

é = T

e

o

c p

'Г = 7,е х р { - р }

и

ум­

ножим у ( Ь )

и с о о т в е т с т в е н н о

f i t )

н а Ь

/ Т .

В

р е з у л ь т а т е д л я

о п о р ­

ной

ф ункции

б у д ем

и м еть

и ( к , оо) =

е х р

е х р { - о б + к •Д р } —

Д р =

p //V }

а

€

(— о о л о о ) .

Н етрудно з а м е т и т ь ,

ч то

б л а г о д а р я

за м е н е

перем ен н ы х а п е р и о д и ч е с к и й

с и г н а л

2 - г о

к л а с с а можно

р а с ­

с м а т р и в а т ь

к а к

функцию

р а з н о с т и а р г у м е н т о в ,

т . е .

к а к

с и гн а л

1 - г о к л а с с а .

4 .

Ф ункция

п р а в д о п о д о б и я вы борки

с п е к тр а л ь н ы х

составляю щ их

С т а т и с т и ч е с к и е

м етоды

о б р а б о т к и см еси

п о л е зн о го

с и г н а л а с

п ом ехой

о сн о вы ваю тся

н а

а н а л и з е с о во к у п н о сти

тг

зн ач ен и й

£ - й

вы борки

и з

э т о й

с м е с и ,

образую щ их

многомерный

случайны й

в е к т о р

Yt*

[ 5 ] .

З а д а ч е й

о б р а б о т к и

я в л я е т с я п ри н яти е

реш ения

о

н ал и ­

чи и в вы б о р ке к о м п о н е н та п о л е зн о г о с и г н а л а и о ц е н к а е г о

п а р а ­

м е т р о в .

А лгоритмы

т а к о й

о б р а б о т к и

с т р о я т с я

н а

о сн о в е п л о тн о с ти

р а с п р е д е л е н и я

в е р о я т н о с т е й

W 'XYj)

в е к т о р а

Y ^ .

В ек то р

У I

о б р а з о в а н сп ектральн ы м и

составляю щ ими

в и д а

( 1 . 3 7 )

и ли

( 1 . 4 1 )

и вк л ю ч ает

кром е

ч и сто

сл у ч ай н о го в е к т о р а п о ­

м ехи

H i

такж е

и

к в ази д етер м и н и р о ван н ы е

в ек то р ы

с и г н а л а

и

д р ей ф а

:

Y i = V

Hi + J V

U - 5 7 )

П оэтом у

в

вы раж ение д л я

функции

долж ен

в х о д и т ь

ц е н тр и ­

ро ван н ы й

в е к т о р

с п е к тр а л ьн ы х

составляю щ их

Y * .

Д ен т р и р о в а н и е

№ ( Y£ 1 0 г )

=

(

) /

(

1 е я р • ~

Y

} Y i(k ) z ç t ' ®

F d i( k ) ) *

I

7<=1

Vh*

- F d i ( k ) ) '

Tb

1

* _ 1

‘■ Y ( ^ = T . - ^ r ( F ^ ) Y i W

- j F i { k ,B ) - F ( k ,ü ) F d . ( k ) ) .

( 1 .6 0 )

1

fc= 1

*,*

При

реш ении

з а д а ч

обн ар у ж ен и я

и

п о л у ч ен и я начальн ы х

о ц е ­

н ок п а р а м е т р о в

с и г н а л а

с

прим енением

н еп реры вн ого

с п е к т р а в

СБСИ п о

( 1 . 4 2 )

в м е с т о

л о га р и ф м а отнош ения п р авд о п о д о б и я

( 1 .5 9 )

и с п о л ь з у е т с я

л о га р и ф м

ф у н к ц и о н ал а

отнош ения

п равдоп одоби я .

Яг ( 0 )

:

i y I y - I o )

- l ü i B . D Y ^ D d l -

п ~ * оо

- т j a c e , 1 ) F „ ( в , 1 ) м - $ а л 1 ) г к Л ( 1 ) Ы ! ,

( 1 > я )

г д е п е р е м е н н а я

I

и м е е т

смы сл

п а р а м е т р а р а з в е р т к и .

функция

û ( 0 , Ь) о п р е д е л я е т с я и з и н т е г р а л ь н о г о у р ав н ен и я

= Р и ( 0 ,

t )

,

,

п р и ч ем

- ко р р ел яц и о н н ая

ф ункция

поме­

х о в о й со ставл яю щ ей

н еп р ер ы вн о го с п е к т р а ;

( 0 )

-

с п е к т р мо­

д е л и с и г н а л а

•

в С БС „.

Ml

вы б ора

п ар ам етр о в а л го р и тм о в

обнаруж е­

Д л я о б о с н о в а н н о г о

н и я и о ц е н и в а н и я

с

и с п о л ь зо в а н и е м логари ф м а

отнош ения п р а в д о ­

п о д о б и я необходи м о

з н а т ь

е г о

с т а т и с т и ч е с к и е

х а р а к т е р и с т и к и .Д ля

э т о г о и с с л е д у е м

вы раж ения

( 1 . 6 0 ) и

( 1 .6 1 ) - В

них

исходны й спектр

с о д ер ж а т

т о л ь к о

п ер вы е

ч л е н ы ,

о стал ьн ы е д етер м и н и р о в ан ы .

По­

это м у р а с см о тр и м

б о л е е

п одробн о первы е члены

э ти х

вы раж ен и й .

В вед ем о б о з н а ч е н и я :

м т

= t <

z F ( K i ) Y i ( k ) ,

( 1 . 62)

1

к=1

Л

M u i ( 6 ) = l a ( 6 , l ) Y i ( l ) d l .

i*

И спользуя ( 1 . 5 7 ) ,

можно

н ап и сать;

C l .6 3 а )

Аналогично

д л я непреры вного

с л у ч а я :

( 1 . 6 3 6 )

В выражениях

(Ï .6 3 ) .

S , Н

и

Æ

-

с о о т в е т с т в е н н о

с и г н а л ь н а я ,

помеховая и дрейф овая

составляю щ и е.

Рассмотрим случай

обнаруж ения с и г н а л а ,

а

такж е

о ц е н к и о д ­

ного п арам етра

0 .

С ледует’ о т м е т и т ь , ч т о ’ в

н екоторы х

с л у ч а я х

многомерное

оценивание может

быть

с в е д е н о

к

одном ерном у

п у тем

независим ой

оценки

каж дого

п а р а м е тр а при

ф иксированны х

д р у г и х .

В ч а с т н о с т и ,

э то

можно с д е л а т ь

при н еобходи м ости

о ц ен ки

э н е р ­

г е т и ч е с к о го

и н е э н е р ге т и ч е с к о го

п ар ам етр о в

( с м .

д а л е е ) .

При ди скретной

н екоррели рован н ой вы борке

( с м .

( ï . 6 3 a ) про­

ц е с с # ( 0 )

п р ед ставл ен скалярными

п р о и звед ен и ям и

н е с л у ч а й н о й

в е с о в о й функции и случайных 'ф лу кту ац и й

сп ек тр ал ьн ы х

с о с т а в л я ю -

,

f\y

щих, которы е

н о сят

нормальный х а р а к т е р .

П оэтом у

Я ( 0 ) -

такж е

нормальный

проц есс

с н улевы м .м атем ати чески м

ож иданием ,

к о р р е ­

ляционной

функцией

и д и с п ер с и е й :

( 1 . 6 4 а )

< ЖЬ в ) > =

Аналогичные

вы кладки

д л я с л у ч а я ( Î . 6 3 6 )

п р и в о д я т к с л е д у ­

ющим выражениям

д л я корреляц и он н ой функции

и д и с п е р с и и

п о м ех о ­