книги / Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов

Д и с п е р с и я

о ц е н к и

ам п ли туды

о п р е д е л я е т с я

по следующему

вы­

ражению: G Z —

< A Z > — /4 д . Д л я

систем ы СБС с

у ч ето м ( 2 . 8 )

д л я

t - й вы борки п о л у ч а е м

После п р е о б р а з о в а н и я

э т о г о

вы раж ения

с у ч ето м

( Ï . 5 7 )

находим

Z

-- Z .

X

пл «_ й Х ià F d W F Ïk jQ )

" 7

где

A Frf

-

о с т а т о ч н ы й

(н еско м п ен си р о ван н ы й )

д р ей ф .

У читывая,

что

в т о р о й

ч л е н

п о

ср авн ен и ю

с

тр етьи м

им еет

по

крайней

м ере

второй

п о р я д о к

м а л о с т и

и

п о л а г а я ,

ч то дрейф

в

п р ед ел ах

выборки

[ К 0 - . p t

/С0 + я ]

м е н я е т с я

н е з н а ч и т е л ь н о ,

д л я

смещения

и

д и сп ер ­

сии

оц ен ки

ам п ли туды

за п и с ы в а е м :

^ = p i a ' A / ^ S

( 2 .2 8 а )

0

^ =

f

' Z( i+ Z A Q&Fd

S

F U , b ) G

- z ) .

(2 .2 8 6 )

Таким

о б р а з о м ,

д и с п е р с и я

оц ен ки

амплитуды

(к а к

и ее

сме­

щение)

з а в и с и т

о т

вел и ч и н ы

н еск о м п ен си р о ван н о го

дрейф а

и

эн ер ­

гии

ч а с т и

с и г н а л а ,

о х в а т ы в а е м о й

вы боркой

(т о ч н е е , о т

отношения

с и гн а л /п о м ех а

по

э н е р г и и

д л я

д ан н о й

в ы б о р к и ). Поэтому ж ел ател ь ­

но расш и рять

в ы б о р к у

т а к ,

ч тобы

о н а

вклю чала

в с е

спектральны е

составляю щ ие

к о м п о н е н т а

с и г н а л а .

При

с о в м е с т н о й

о ц е н к е

р а д а п ар ам етр о в

смещение

и

д и сп ер ­

сия

оц ен ки

та к ж е

м о г у т

бы ть оп ределен ы

последовательны м и

при­

ближениями м ето д о м

м ал о го

п а р а м е т р а .

У равнение

( 2 .2 1 ) тогда пре­

вращ ается

в

с и с т е м у

у р а в н е н и и

в и д а

d s i 8 ) + е ( 1 Ш 1 +

g A f a ( f l )

й

2

=

0 ,

( 2 .2 9 )

â e

■I

д в ,-

I

щ

0=0

J = 1 , 2 ,

. . . »

N N .

О ц ен ка

в е к т о р а

0

н а х о д и тс я

в

форме,

а н а л о ­

гичной

( 2 . 2 2 ) :

6

=

0 О + £ ®1 + е 2 0 а + * * •

)

г Де

01—

,

01а, . . .

лоу}»

®г= = { 0 г и

® аа>

• * •

» ^ z n n )

и

т *д *

Р а з л а г а я

( 3 .2 9 )

в MV-м ерн ы й

р а д

Т е й л о р а

в

о к р е с т н о с т я х

точ ки

0 О ,

ан ал о ги ч н о

одномерному сл у ч аю

п о л у чи м

д л я

смещ ения

оценки

при первом при­

ближении:

£ 0 .

=

— d A/ s ^

• .

При

этом ко р р ел яц и о н н ая

м атри ц а

оценок имеет вид

[ 3 2 ]:

* ,• » ( * ) = 4 / *

р

*

й

" *,

г д е

A jb

-

а л ге ­

браические

дополнения о п р ед ел и тел я

fî2 порядка.

N N

с

эл ем е н та ­

ми ви д а

S ( 8 ) / д бу дВ к ] qq .

Для

наиболее

ч асто

встречаю щ егося

н а

п р а к т и к е

с л у ч а я

сов­

м естной

оценки двух

п арам етров

{

I

ъ

q )

к о р р е л я ц и о н н ы е

функ­

ции

будут иметь

вид

^ З

( в

)

\

А

=

Ч

Ч

К

> Г в

d z S ( 9 )

\

<

* / =

“

9 ZS (9 Y

К(1,<г)

) h > %

- f

-а.

г г л в )

г г 5 ( б )

г е д е >

а

г д е

=

P

a

j

Из

этих

выражений

оп ределяю тся

коэффициенты к о р р е л я ц и и

между

оценками

R ( l , q )

— K ( l , q ) ( в ь

При

оценке

э н е р ге т и ч е с к о го

и н е э н е р г е т и ч е с к о г о

п ар ам етр о в

(наприм ер,

амплитуды и

полож ения

с и г н а л а )

оц ен ки б у д у т

н е к о р -

релированы

с х ар ак тер и сти к ам и ,

совпадающими с

о ц ен кам и

одно­

мерных

с л у ч а е в .

Если

сигнальную функцию

можно

п р е д с т а в и т ь

в в и д е

<5 (

,

h y

4 v

5га ) = = *у

( 1 ^ " ’

l ?

i “

f a l ) »

т о оц ен ки

д в у х

н е -

эн ер гети ч еск и х

п арам етров такж е

б у д у т н еко р р ел и р о ван н ы м и

и

не­

смещенными, с

дисп ерси ям и ,

равными

д и сп ер си ям

р а з д е л ь н ы х

оце­

н о к .

Определим

погреш ности

оц ен ок

м ом ентов

с и г н а л а

п о

( 2 . Ï 0 ) , -

( 2 . И ) .

Смещение

оценки н у л ево го

м ом ента

б у д е т

з а в и с е т ь

преж де

в с е г о о т

с о о т в е т с т в и я

модели

и

с и г н а л а ,

а

такж е

о т

ч и с л а

2 р + 1

сп ектральн ы х составляю щ их,

которыми

о г р а н и ч и в а е т с я

с п е к т р

си ­

г н а л а при

вы числении м о м ен та .

Если

с ч и т а т ь вк лад ы

э т и х

ошибок

в общую

ошибку

оц ен ки

м ом ента малыми

( т . е .

в ы б р ат ь

б о л е е

а д е к ­

ватную

м одель, и с п о л ь з о в а т ь

у ч а с т о к

с п е к т р а ,г а р а н т и р о в а н н о

со ­

держащий

сигнал),

т о в ел и ч и н а

ошибки

о п р е д е л и т с я

т о л ь к о

о с т а ­

точным

дрейфом:

А

К° + Р

ьм = < м 0 — м 0 > =

Е

( к ) м 0 ( у ( Ю ) ;

м о

к= К 0~р

а

и

дисперсия

н у л е в о г о

м о м е н та

б у д е т :

- 2

_

к 0+ р

2 1

^ ъ

«О

* = /у т >

*

Д ля

ç ^ - ro

м о м е н та (п о

2 .1 0 )

смещ ение

оценки

будем

и ск ать

как

м а т е м а т и ч е с к о е

ож и дан и е

отнош ения

д в у х

случайны х

вели ч и н :

ь м =

*■'

Л - f

S -

. *

_

< м ; м ? > - м .

?

о

•

'

у

К„*р

Кц+р

__

5 L , à гч < * > v * * »

- * . ? :

* * w v * * n v

( 2 .3 0 )

к —Ко~Р

Kq+p

К0 +р

И

S ( k ) M Q{ y ( k ) ) +

2

Д ^ .( А ) А /П(< р ш )

* = * 0- Р

* = V *

0

Здесь

M q

-

ч и с л и т е л ь

вы раж ен и я

( 2 . 1 0 ) .

При остаточн ом

дрейфе,

не зави сящ ем

о т

А

и м алом

по сравнению

с

си гн ал о м ,

выражение

( 2 .3 0 )

можно

у п р о с т и т ь :

„

( <

?

* , ( * * »

Ч

H

h S ( k ) M B( < t(n )

Для

д и с п е р с и и

6 )5

п олучи м

г ~

( д М „ \ * г

, ( дМ „ f *

,

tM q

.

П о л а г а я

н а л и ч и е (н аи худш и й

с л у ч а й )

си льн ой

с та ти с т и ч е с к о й

с в я зи

меж ду

ч и с л и т е л е м

и зн а м е н а те л е м

в

( 2 . 1 0 ) ,

т . е .

со

=

\

%

>

п о л учим

г,

/ 9 /fe .

дМ 9

„

' а

oW 0

" о

S

,

,

S j . Y ( k ) M 0 ( 4 l k ) )

и обратную

м а т р и ц у

З р ,- д £ У 5 Г

о

b y ï - A t V n

* 0

<

f =

М г

О

" о

2 f t

• A t'f iv

О

у

. д г у

^

M r

,__________

V

Т о г д а

S M Q—

Z

1V Ô j 5 / f j ,*

;

&jjb =

B l / j t

=

( 2 . 3 Ï 6 )

С р а в н и в а я

формулы

( 2 . 3 1 а )

и

( 2 . 3 1 6 ) ,

можно

ви д еть, ч то уже

для

о д и н о ч н о го

к о м п о н е н т а

с

у вел и ч ен и ем

ч и сл а п ар ам етр о в

по ­

греш ности

и х о ц е н и в а н и я

в о з р а с т а ю т .

Причиной я в л я е т с я к о в ар и а ­

ция

меж ду

оп р ед ел яем ы м и

п а р а м е тр а м и :

при

си льн ой

ковари ац и и ни

один

п а р а м е т р

н е

м ож ет

б ы ть

о п р е д е л е н

т о ч н о ; и

о б р а т н о ,

апри ­

орная

инф орм ац и я

о з н а ч е н и и

о д н о го

и з п ар ам етр о в

сущ ественно

улучш ает

т о ч н о с т ь

о п р е д е л е н и я

о с тал ьн ы х

(н ап р и м ер , к а к

с л е д у е т

из

формул

( 2 . 3 Î ) ,

з н а н и е

р ,

ум ен ьш ает

8М 0

в 1 ,2

р а з а ) .

П оэто­

му

п р о ц е д у р у

а п п р о к с и м а ц и и

ц е л е с о о б р а зн о

н ач и н ать

с

модели

с п е к тр а

с

наименьш им

ч и сл о м

п а р а м е т р о в .

Оценив вели чи н у

о с т а ­

точных

н е в я з о к

МНК,

и н о г д а

можно

с у д и т ь

о

необходим ости

услож­

нения

м о д е л и .

По

данны м

B .G .

V a n d e g in s te ,

L . d e

G a le n

сумма

( 2 .1 2 )

у м е н ь ш а е т с я

д о с т а т о ч н о

бы стро

при

увели чен и и ч и сл а

ком­

п он ен тов

м о д ел и и

при бли ж ен и и

е г о к

ч и сл у ком понентов

си гн ал а

и потом

м е н я е т с я

м ал о

[ 2 4 ] .

П оэтом у

ж ел ател ьн о

им еть априорную

и н с^м ац и га

о ч и с л е

к о м п о н е н то в

и ли

о п р ед ел и ть е г о

по

сп ектр у

С ущ ествен н о

в л и я е т

н а

п о гр еш н о сть с т е п е н ь

налож ения

ком­

п о н ен то в

и

и х

ч и с л о .

Д л я

в р е м е н н о го

с п е к т р а , е сл и

число

н ал о ­

жившихся

к о м п о н е н то в

больш е

ч е т ы р е х ,

н есм о тр я

н а м алое

зн а ­

чение

к в а д р а т а

суммы

н е в я з о к

(м е н е е

0,1%

Л т а а .]>

погреш ность

оценки

площ ади

и

ам п ли туды

мож ет

быть

больш е 20%

(до 3 0

$

в о д ­

ной

т о ч к е ) ;

д аж е

в

т е х

с л у ч а я х ,

к о г д а

полож ение

наложивш ихся

ком п он ен тов

с и г н а л а

то ч н о

и з в е с т н о

и

ф и к с и р у ет с я ,

погреш ность

з д е с ь м ож еть

б ы ть

больш е

15%

[ 2 4 ] .

Н априм ер, поданны м M .H .R ij-

приводит к

у вел и ч ен и ю

<jMq

в

ш есть р а з ,

при

R = 1

и о ц ен ке

то л ько М 0

н ал о ж ен и е

у х у д ш ает

п о гр еш н о сть

оценки

в

1 ,6

р а з а , а

при о ц е н к е

в с е х п а р а м е т р о в

-

в 2 0 р а з [ 2 2 ] .

При

R

<

1 ,3 * 1 , 5

сложный с и г н а л н ё м ож ет бы ть р а з д е л е н

т о ч н о .

При

о ц ен и в ан и и п а р а м е т р о в сложных

наложивш ихся

с и гн а л о в

(с чи сл о м

к о м п о н е н то в б о л е е т р е х )

и п ар ам етр о в д рей ф а

н ео б х о ­

димо

вк л ю ч и ть в

аппроксим ируем ы й

МНК у ч а с т о к

с п е к т р а

прилегаю ­

щие к

н ем у с л е в а

и с п р а в а у ч а с т к и

с п е к т р а , н е

содержащ ие с и г н а ­

л а . Это

необходимо

вы полнять, даж е

е с л и

о ц е н к е

п о д л е ж а т

пара­

метры

не

в с е х ком понентов.

Однако в

э то м

с л у ч а е

в о з р а с т а е т чи­

сло оцениваемых

п ар ам етр о в,

ч то

с н и ж а е т ,

к а к уж е

у к а з ы в а л о с ь ,

точность

и

устой чи вость МНК. П оэтому

п е р е д

п р о ц е д у р о й

оценки

по МНК необходимо

максимально и с п о л ь з о в а т ь

в о з м о ж н о с т и СБСи для

определения начальных зн ачен и й

п а р а м е т р о в ,

о к о н ч а т е л ь н ы х

зна­

чений

парам етров положения

и ч и сл а

к о щ г а н е н т о в .

Э то

п о з в о л я е т ,

кроме

т о г о , снизить

р а зм е р н о с ть

в е к т о р а

0 ,

а

з н а ч и т ,

улучшить

при прочих равных

у сл о ви ях

сх о д и м о сть МНК.

4 .

Оценки п арам етров с и гн а л о в

î - r o

к л а с с а

Рассмотрим

полученные

алгоритм ы о ц е н и в а н и я ,

а

т а к ж е

опре­

делим

качество

оценок, и

границы

прим еним ости м е т о д а

с п е к т р а л ь ­

ного

разложения

в

СБС в

зави си м о сти

о т

п а р а м е т р о в

и сх о д н о го

(обрабаты ваем ого)

с и г н а л а . Ввиду слож н ости

а н а л и т и ч е с к и х

выра­

жений погреш ности

д ля-реш ен и я

за д а ч и

был п р и в л е ч е н

м е т о д

имит

тационного м оделирования с

максимальным

п риближ ением

к

р е а л ь ­

ным условиям работы

и н ф орм ац и он н о -и зм ери тельн ой

а н а л и т и ч е с к о й

системы . В к а ч ес тв е

осн о вн о го

был

вы бран н а и б о л е е

р а с п р о с т р а ­

ненный

н а

практике

случай

о ц ен и ван и я п а р а м е т р о в

с и г н а л о в

1 -го

к л а с с а

с

гауссовыми

полезными

ком понентами

н а

ф оне

п о м ех

р а з ­

ного

т и п а .

Оценка одного

сущ ественного п а р а м е т р а

г а у о с о в о г о

ком по­

н ен та н а

Фоне

б ело го шума

с и зв е с т н о й с п е к т р а л ь н о й

п лотн остью

O q/Z

[ 3 9 3 .

Оценивание

в е д е т с я

по

а л го р и тм у , 'заклю чаю щ ем уся в

максимизации

по I

ф ункционала

( 2 . 9 )

в зо н е

с п е к т р а

с и г н а л а .

В

этом

сл учае

u ( k , t )

и з

( 1 .2 7 )

б у д е т

о п р е д е л я т ь с я ( 1 . 4 9 ) .

Спектр

си гн ал а

в

СБС по

( 1 .5 1 )

при

о т с у т с т в и и

д р е й ф а

б у д ет опи­

с ы в атьс я

следующим выражением:

г д е V я = ( V £ 0 ) / 4 0 j J tp V a jc /C f + р 2 ) .

А налогично

с п е к т р м одели б у д ет вы р аж аться

к а к

F 0

, 8 ) = -Vs 1 ] £ ^ e * p { ~ —

} ) ,

г = <

•

где

=

( Z / G q )

A

Т ак к а к о ц е н и в а е т с я н е э н е р г е т и ч е с к и й п а р а м е т р ,

т о

( к а к

у к а зы в а л о с ь

в р а з д е л е

3 ) о ц е н к а

н есм ещ ен н ая с д и с п е р с и е й ,

о п ре­

деляем ой

п о

( 2 . 2 7 ) ,

г д е

с

у ч ет о м

( ï . 6 3 a )

д л я б е л о г о

шума

S ( i ) = ' £ i S ( k ) a - z F ( k , e ) .

Т о г д а

<7,г =

(

У

^

Ш

-

Ê

Ï E i h Æ

) - '

( 2 .3 3 )

v

v

° ?

а ®2

’

Учитывая

формулы

( Ï . 4 3 )

и

( Ï . 5 2 ) ,

получим

£ о

=

Gp \ r ^ ( k , t ) d t

2

ф

2 ( 1

+ £ г ?

)

причем

н е

з а в и с и т о т н о м ер а к . П одстави в выражение д л я

СУ^ в

( 2 . 3 3 ) ,

н ай д ем

k - i

V

( î - r - A l ) z l ( .

( Î ~ r - A l ) z

( 2 .3 4 )

к г

♦ f t '

Z f ‘

J

:Н

"

г — 1

{ -

З д е с ь

O'o2 = 2 jx 2/ p 2 -

д и с п е р с и я

эф ф ективной оценки

полож ения

пи­

к а в о

в р е м е н н о й

о б л а с т и

[ 3 2 ] ;

р z= Z E s / G Q -

отнош ение

с и г н а л /

/п о м е х а п о

э н е р г и и

н а вы ходе

с о гл а с о в а н н о го

ф и льтр а

в о

врем ен ­

ной о б л а с т и ,

п р и ч ем

э н е р г и я

с и г н а л а

£ s = А д

f t V j t .

На р и с .8

п о к а з а н а

за в и с и м о с т ь

œl /(У д — f

( A l /j i)

при

p

= î

и . о т н о с и т е л ь н о м

смещ ении

и с ти н н о го

полож ения

с и г н а л а

I

в н у тр и

ш ага

к в а н т о в а н и я

&Z = F

r a £ { l / à l )

= 0 (прям ая 3

)

и

=

0 , 5

(к р и в а я 2 )

по

вы б о р кам

сп ек тр ал ьн ы х

составляю щ их

в

С Б С .Н а это м

же р и с у н к е п р и в е д е н а а н а л о г и ч н а я за в и с и м о с т ь (к р и в а я / )

д л я

д и с п е р с и и м н о го к а н ал ь н о й

о б р а б о т к и ,

з а и м с т в о в а н н а я

и з

работы

[ 3 2 ] . Сравнение кривых

п о к азы в ает,

ч то при

т о й

же д и с п е р с и и

оцен­

ки рассм атриваем ы й

метод п о зв о л я е т

у в ел и ч и ть

ш аг

к в а н т о в а н и я

в Î 0

р а з .

Для сравнения

с

приведенными

р е з у л ь т а т а м и п о л у ч и м д и с п е р ­

сию

оценки положения га у с с о в о го с и г н а л а

по

н е к о р р ел и р о ван н ы м

о тсч етам

во вр ем ен н о й о б л а с т и , взяты м

с

шагом

А Ь = A l . В

это м

с л у ч а е

д и с ­

кретны й

с п е к т р ( вр ем ен н о й ) с и г н а л а , ? ^ #

и

м одели

с у ч е т о м

нормирую щ е­

го

множителя A

l б у д е т

о п и с ы в а т ь с я

выражениями

U - â i - г /

5 вр( М ) = А - л г е х р { -

г . , г

У

* , е ) =

л

Д исперсия

о т с ч е т о в

шума

в ы р а з и т с я

к а к

<т*

=

е-0 / ( г

- д

г

) ,

( 2 . 3 5 )

а д и сп ер си я оценки полож ения

- к а к

Ко+р

• n - p a

е х р | - ( к * д £ - î y

X

0

г - а

}

\к=*0-Р

-1

Z ( h A l - î ) Z

Z

f

)

г д е

= < r * - 2 - A l f L &/ £ c .

При м оделировании

удобно

п оддерж и вать

п остоян н ы м

(У ^ .

Т о­

щ а

при

изм енении А I

с п е к т р а л ь н а я п л о тн о с ть

шума

CrQ и з

( 2 . 3 5 ) ,

а такж е

д и сп ер си я

будут и зм е н я т ь с я

п р о п о р ц и о н ал ьн о

А I . Ч то ­

бы

у ч е с т ь это

о б с т о я т е л ь с т в о

при

изм ен ен и и

A l ,

нужно

о б р а т н о

пропорционально и зм ен я т ь

<у* . Н етрудно

у б е д и т ь с я

в

т о м ,

ч т о

цри

A l - * 0

З ави си м о сти

О ^ Вр /< т 0

п о к а з а н ы

н а

р и с .8 (кривы е

1 , 5 ) :

S I

^ 0 ,5 и

S

I - 6 с о о т в е т с т в е н н о .

78

Ma ( ? ) =

('2 .3 7 )

j

^ n = i ï r

то о ко н ч ател ьн о , с учетом ( i .5 2 ) и ( 2 . 3 6 ) ,

п о л у чи м

5

Из

( 2 .2 8 6 ) , рассу ж д ая

а н а л о ги ч н о ,

получим

д л я

д и с п е р с и и

оценки

амплитуды выражение

< = Р 7 г (< + ч

<

^ г

4

( 2 . 3 8 )

На рис .1 0

приведены

кривые *и зм ен ен и я

см ещ ения

h / А ,

(пунктирные) и

дисперсии

оценки

амплитуды

O ^ /A q

(сп л о ш н ы е) в

функции

о т

к о р н я

и з

о тн о ш ен и я

с и г н а л /п о м е х а р 2 п о

э н е р г и и в

с п е к т р е , о п р ед ел яем о м д л я

г а у с -

с о в о г о

с и г н а л а

п р и

б е л о м

ш уме,

кривы е

найдены

по

( 2 . 3 8 )

цри

Д Fd

= ( 0 , 0 I - + 0 , l ) ^ 0 .

Е с л и

AFa =

- О,

получим д и сп ерси ю о п ти м а л ь ­

ной

оц ен ки

[ 3 2 ] .

Таким

о б р а з о м ,

н е д о к о м п е н -

с а ц и я д р ей ф а в ы зы в ае т з а м е т н о е

у вел и ч ен и е

см ещ ения

и д и с п е р с и и

о ц е н к и .

О ценка п о гр е ш н о с те й

о п р е ­

д е л е н и я

п олож ения

и

ам п л и ту ды

с и гн а л а

в у с л о в и я х ,

приближенных

к реальн ы м , п р о и з в о д и л а с ь ими­

тационным

м одели рован и ем 'работы

а л г о р и т м а . П о м ех о вая

с о с т а в л я ­

ющая была

п р е д ст а в л е н а белым

шумом, ограниченны м

п о

ч а с т о т е ,

т а к ч т о

с п е к т р а л ь н а я п л о тн о с ть шума

—

<Т2 - 2 - д £

{ A t

-

ш аг

к в ан то ван и я с и г н а л а

по в р е м е н и ) . О ценивались

следую щ ие п а р а м е ­

тры : положение

I ,

ам п ли туда

г а у с с о в о г о

п и к а А ' п р и

A t .

В т а б л .З

приведены

р е зу л ь т а т ы

о п р е д ел е н и я

п о гр е ш н о с т е й

э т и х

оц ен ок в

СБС при

|& = Ï , A t

= 0 , 2 j t и

q

= 8

в

з а в и с и м о с т и

о т

смещения

полож ения

с и г н а л а о тн о с и т ел ь н о у з л о в

к в а н т о в а н и я

U