книги / Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов

j O i W - ф Л - Г н с и М )

( 2 . 3 )

h

В общем с л у ч а е ,

ч а с т о

встречаю щ ем ся

в п р а к ти ч е с к и х

з а д а ­

ч а х ,

при

о ц е н и в а н и и

нели н ей н ы х

п а р а м е тр о в

нахож дение

то ч н о го

реш ения

у р а в н е н и й п р а в д о п о д о б и я

за т р у д н и т е л ь н о .

В се

м етоды п р и б ли ж ен н ого реш ения

у р авн ен и й

( 2 . 2 ) ,

( 2 . 3 )

основаны

н а

и х

л и н е а р и з а ц и и

р азлож ен и ем в

р я д

Т ей лора в

о к р е ­

с т н о с т я х

8 fl. П редполож ив

су щ ество в ан и е

х о т я

бы

первы х двух про ­

изводны х

и

о гр ан и ч и в ш и сь

т р е м я

членам и

р а д а ,

получим п осле диф ­

ф ер ен ц и р о ван и я

р а зл о ж е н и я

L n L y .(9 )i

d ln L y - ( O )

^

d \ n L Yi{ 9 )

/о

_ д

\ d z ln L Yi(Q )

( 2 . 4 )

d 9 i

d O j

( h

h o )

щ

щ

0=0г

0 = 0 ,

Заменим

з д е с ь вто р у ю

п рои зводн ую

е е

средним

зн ачен и ем (п ред п о ­

л а г а е м , ч т о е е д и с п е р с и я м а л а ) :

d H n L Y i{ 6 ) ^

/

S h n L r i ( i ) \

( 2 5)

d f y d B k

\

d B j d t k

/

’

к о т о р о е ,

к а к п о к а з а н о

Б .Р .Л е в и н ы м ,

с точностью

д о

з н а к а

совп а­

д а е т

с и н ф орм ац и ей п о

Фишеру

^ а ( 8 0 )

[ 5 ]

(с м .

д а л е е

р а зд е л 2).

Т о гд а , п о д с т а в л я я

( 2 . 5 ) в

( 2 . 4 )

и п р и р ав н и в ая

выражение

нулю,

получим

с и с т е м у

ли н ей н ы х

у р а в н е н и й

д л я

приближенной

оценки па­

р ам етр о в

0 j

( j

=

к ) :

d l n L Y. ( 0 )

d ü j

, a - ( b > - ^ j o ) W

= 0 .

0=0,

О ткуда

8i f =

б у о + ^ 7

( б 0 )

d l n L YX B ) / d Q j

( 2 . 6 )

Следующее

п ри бли ж ен и е

о п р ед ел и м , п о д с т а в л я я

0jj

в

правую

ч а с т ь

( 2 . 6 )

в м е с т о

Qjq

п ри

ф иксированны х

остальн ы х п ар ам етр ах .

П родолж ая п р о ц е с с

п о с л е д о в а т е л ь н о ,

наприм ер

д л я п о и ск а

реш е­

ния у р а в н е н и я ( 2 . 2 ) ,

получи м

р - е

приближ ение в

ви де

П

Ь о н > + JJ J ( «

я

- - ) ( « - f t * , * ) -

,

Ч

9

«т s, , e0 )n

( 2 . 7 )

Зн ачен и я частных производны х

сп ектр ал ьн ы х

составляю щ и х

м одели

по п арам етру

0^ можно н а й ти ,

диф ф еренцируя

а н а л и т и ч е с к о е

вы ра­

жение

д л я сп ектр а

м одели .

Среди

оцениваемых п ар ам етр о в

с и г н а л а а н а л и т и ч е с к о г о

при ­

б ора

особое

м есто

зан и м ает

а м п л и ту д а . В с л е д с т в и е

л и н е й н о с т и

опе­

рации

д и скретн ого

п р ед ставл ен и я

и м еет м есто

л и н е й н а я

з а в и с и ­

м ость

интенсивности

спектральны х

составляю щ их

с и г н а л а

о т

его

амплитуды . Оценка м аксим ального

п равд о п о д о б и я

ам п ли туды

(

А

)

н аходи тся из

условий ( 2 . 2 ) ,

( 2 . 3 ) . Д ля

н ек о р р ел и р о в ан н ы х

вы бо­

рочных

значений сп ектральн ы х

составляю щ их

(у р а в н е н и е

( 2 . 2 ) ) п о ­

лучим

È

a ; !t{ r i W

- ^ F ' ( k

, 6 ) - F

d i ( k ) ) A F 'l k , B )

=

О,

г д е

F '( k ,9 ) = A

F ( ÿ ) - с п е к тр

модели' с и г н а л а

с

А

=

I .

Т о гд а

д л я

А

получим

д

Ё ( П ( « - Ъ , Ш ) г ' ( М > < £ *

д

—

* = У п

_____________________________ =

2

( г ' ( М

) ) Х

г

=

р"2 S

0

? ( r i W

- F

d { ( k ) ) F '( k ,

в

) ,

( 2 . 8 )

7с—■i

г д е

р1 =

2

^

0 ) ) 2 -

отнош ение

с и г н а л /п о м е х а

д л я

ч ас т и

си гн ала

с А =

I , охваты ваем ого

вы б о р ко й .

С ледует

пом нить, ч то

А

может

бы ть

п о л у ч е н а п о

( 2 . 8 )

при

и звестн о м

в е к то р е

остальны х

п ар ам етр о в

и

е с л и

вы б о р к а

с о д ер ж и т

в е с ь

с п ек тр

ком понента с и гн а л а . П оэтому

с н а ч а л а

н ео б х о д и м о

п р о ­

и з в е с т и по

крайней

м ере оц ен ку

су щ ествен н о го

п а р а м е т р а .

Е сли

д л и н а

выборки

меньше длины

с п е к т р а к о м п о н е н та ,

т о

в к а ч е с т в е

м одели лолж н ы

и с п о л ь зо в а т ь с я

м одели

ц ен тр ал ьн ы х

у ч а с т к о в

с п е к ­

т р а с и г н а л а .

В

некоторы х

сл у ч ая х оц ен ку

п ар ам етр а

(в к л ю ч а я

с у щ е с т в е н ­

ный)

можно

н а й т и ,

н е п р и б е га я

к

диф ф еренцированию ,

т о л ь к о

п о ­

иском

максимума

L y . ( ® )

по

скользящ ей

вы борке

и

с о п о с т а в л е ­

нием

полученны х н а

со сед н и х

вы борках зн ач ен и й L y ^ ( b ) .

Р а с с м о ­

трим

э т у п роцедуру

прим ен и тельн о

к о ц ен ке

с у щ е с т в е н н о го

п а р а ­

м етр а

I .

В

этом

сл у ч а е а л го р и тм

с в о д и т с я

к п о и с к у

з н а ч е н и я

I,

вы числения моментов с и г н а л а ,

о п р ед ел яю тся

з а р а н е е

в

п е р и о д

р а з ­

р аб о тки

м атем атического

о б е с п е ч е н и я .

С ледует

такж е о тм е ти т ь ,

ч то

приведенны й

а л г о р и т м

реш ен и я

уравн ен и я дравдоподобия

( 2 . 7 )

п утем

п о с л е д о в а т е л ь н о г о

п о и ск а

оценок

может

о к а з а т ь с я неприемлемым

в с л е д с т в и е

б ольш и х

з а т р а т

врем ен и ,

а

также

возможных ош ибок,

е с л и ф ункция

п р а в д о п о д о б и я

не уним одальна.

В то же

в р е м я н о р м ал ьн о сть

з а к о н а

р а с п р е д е л е ­

ния

спектральны х

составляю щ их

вы борки п о з в о л я е т

з а м е н и т ь

эту

процедуру хорошо разработан н ы м

ап п ар ато м п о и с к а

о ц е н о к

м етодом

наименьших к в ад р ато в (МНК). В

этом

с л у ч а е

о ц е н к и ,

п олучаем ы е

"обоим и

методами,

совпадаю т [ 3 4 - 3 6 ] .

О собен н ости

п о л у ч е н и я

оц е­

нок МНК будут рассм отрены

подробно

п р и м ен и тельн о

к

оцениванию

парам етров

неразделенны х п и к о в .

2 . Оценка п арам етров

наложивш ихся с и г н а л о в

«В случае налож ения

с и гн а л о в

в о

врем ен н ой

о б л а с т и

и л и

в

дискретных

спектральны х

о б л а с т я х

в

СБС е с т ь

в о зм о ж н о с ть

у л у ч ­

шить их

р азд ел ен и е переходом

в

сп ектральн ую

о б л а с т ь

СБСД ,

и с ­

п о л ьзу я

формулы

( 1 .3 5 )

и

( 1 . 4 0 ) .

Е сли п ри

это м

в с п е к т р а х

си ­

гн ал о в

имеются ч етк и е максимумы,

т о можно

о г р а н и ч и т ь с я д и с к р е т ­

ной

сп ектр ал ьн о й областью

в

СБС

и о ц ен и ть

п ар ам етр ы

м ето д о м

м аксимального п равдоп одоби я

по условию ( 2 . Ï ) .

В

ч а с т н о с т и ,

по

алгоритм ам

( 2 . 8 ) и ( 2 . 9 )

можно

л е г к о о ц ен и ть

полож ение

ком п о ­

н ен та

и

е г о

ам п ли туду,

а

такж е

моменты с и г н а л а

(п о

( 2 . 1 0 )

и

( 2 . I D

) .

Для оценки

п ар ам етр о в си льн о наложенных

с и г н а л о в

( о т с у т ­

стви е минимумов между ком понентами

в с п е к т р е ) ,

а

та к ж е

о ц ен ки

нелинейных

napaMeipoiB при

слабом налож ении

с и г н а л о в

ц е л е с о о б ­

р азн о

д л я решения уравн ен и й

п р авд о п о д о б и я

( 2 . 1 )

в о с п о л ь з о в а т ь ­

с я , к а к

уже

у к а зы в а л о с ь ,

процедурам и МНК.

Оценками' п а р а м е т р о в в

этом сл у ч ае

б у д ет со во ку п н о сть

зн ач ен и й

Bj ( у

= 1 , 2 , .. . , Л ^ / У П;

-

число

наложившихся

ком понентов с и г н а л о в ;

/Уп

- ч и с л о

п а ­

рам етров н а

один к о м п о н е н т),

минимизирующих взвеш ен н ую

сумму

//,

Л

к в ад р ато в н е в я зо к :

/ ^ ( * , 9 ) ~ / ^ ( А

)

,

т .е .

п

А =

i n f

Ц

И/. Д*

( 2 . Ï 2 )

*=■1

Л

А

Wk ~ к - й в е с о в о й к о эф ф и ц и е н т;

^ ( * , 8 ) ;

Р ^ Ш - к - е

с п е к -

тральны е

со ставл яю щ и е

м о д ел и

т - г о

ко м п о н ен та

с и г н а л а

и

д р ей ­

ф а.

У словие

м иним ум а ( 2 . 1 2 )

е с т ь

р а в е н с т в о

нулю частн ы х

п р о и з­

водных

п о

п а р а м е т р а м .

В е к т о р

о ц ен о к

нелинейны х

п а р а м е тр о в

в

обычно

н а х о д и т с я

с помощью

и те р ац и о н н о й

ц р о ц ед у р ы . Д ля

i - й и т е ­

рации им еем

е ш

=

в <{' ° +

- )8 в ( 0 ,

( 2 .1 3 )

где

^

-

демпфирующий

м н ож и тель

(в в о д и т с я

д л я

улучш ения

сх о ­

д и м о сти );

8 8

-

в е к т о р п о п р а в о к ,

определяем ы й

и з у р ав н ен и я

[ 3 4 ]

S e = C ~ '< P T m

;

( 2 .1 4 )

С н

-

м а т р и ц а ,

о б р а т н а я

м атр и ц е

С = ф гу у ф ;

ф -

в е к т о р

с

э л е -

ментами

в и д а

Q j ~ d F ( k ,Q ) /d B j ;

W

-

м атр и ц а весовы х

коэффици­

ен то в ;

А

-

в е к т о р н е в я з о к

с

эл ем ен там и

Д л . Д ля

реш ения

это й

системы

м о гу т и с п о л ь з о в а т ь с я

р а зн ы е

м етоды ,

о б зо р

которы х

ц р и -

в е д е н , н а п р и м е р , в р а б о т а х [ 3 5 - 3 7 ] .

С ходи м ость

и т е р а ц и о н н о г о

п р о ц е с с а

к о н т р о л и р у е т ся

по

сум ­

седними

и т е р а ц и я м и

н е з н

а ч и т е л ь н о

(н ап р и м ер ,

н а

5 - 1 0 $ ) , то

про­

цесс

з а к а н ч и в а ю т .

Б ел и

п е р в о н а ч ал ь н ы е

оценки

п ар ам етр о в

не

о т ­

клоняю тся о т и х

и сти н н ы х зн а ч е н и й

б о л е е

чем

н а

20$ь, то

д л я с х о ­

димости

п р о ц е с с а д о с т а т о ч н о

3 - 4 и т е р а ц и й . Следует,

такж е

пом­

н и ть, ч т о ч и с л о

и т е р а ц и й о п р е д е л я е т

машинное

в р е м я , требующе­

е с я

д л я

р а с ч е т а .

П о с л е д н ее

такж е

р е з к о в о з р а с т а е т .п р и

увел и ч е ­

нии

ч и с л а п а р а м е т р о в , в

ч а с т н о с т и

с

р о сто м ч и с л а

перекрываю ­

щихся к о м п о н е н т о в .

П оэтом у

с п е к т р

с и г н а л а ц ел ес о о б р а зн о

д ел и ть

на зо н ы ,

к а ж д а я

и з

к о то р ы х

вк л ю ч ает

о д н у гр у п п у

наложившихся

с и г н а л о в .

О чень важ н о

к о н т р о л и р о в а т ь вы ход

п ар ам етр о в

з а

границы

реальны х

з н а ч е н и й

(н а п р и м е р , вы ход

о ц ен о к сущ ествен н ого

п а р а ­

м етра з а

г р а н и ц е й у ч а с т к а Ап о д б о р а ,

вы ход

оц ен ок

в

о тр и ц а т ел ь ­

ную

о б л а с т ь ,, о т к л о н е н и е

б о л е е

чем

н а

заданную

вели чи н у

о т

ср е д н е го

ож и д аем о го з н а ч е н и я и т . д . ) .

В

к р и т е р и й ,

определяющий

сходи м ость и т е р а ц и о н н о г о п р о ц е с с а ,

м о гу т

такж е вх о д и ть

с о с т а в ­

ляющие,

оцениваю щ ие зн а ч и м о с т ь

8 0 j l)

,

Например

н а

о с н о в е

оценки о ж и д аем о го

с р е д н е к в а д р а т и ч н о г о

о тк л о н ен и я парам етра [2 2 ].

Решающим

у с л о в и е м

сх о д и м о сти

я в л я е т с я правильны й

выбор

п ер во н ач ал ьн ы х

зн а ч е н и й

п а р а м е т р о в

0 ( 0 ) . При

больш их

р а з л и ­

чиях

их

с истинны м и и тер ац и о н н ы й

п р о ц есс

может

р а з о й т и с ь .

Вы­

бор

н ач ал ьн ы х

зн а ч е н и й

н еко то р ы х

п а р а м е тр о в наложивш ихся

ком ­

п о н ен то в

о б е с п е ч и в а е т с я

по

в и д у н еп реры вн ого

с п е к т р а

в

СБСИ .

При

это м

т а к и е

п а р а м е т р ы , к а к полож ение

ком п о н ен та

н а

о си

р а з -

в е р т к и ,

определяю тся д о с та то ч н о

точно

и м о гу т

бы ть

исклю чен ы из

процедуры

МНК.

_

ж е л а те л ь н о

п р о и з в е с т и

так,

Н азначение весовы х

коэф ф ициентов

чтобы оценка

( 2 .1 3 ) со в п ал а

с

оценкой

м ак си м ал ь н о го

п р а в д о п о д о ­

б и я ,

получаемой и з

у сл о ви я

( 2 .- 2 ) .

Можно п о к а з а т ь ,

ч т о

п о и ск

su p IV( Ye |в 0)

св о д и тся

к минимизации

вы раж ения

А 7* В

1А

,

а

оценки

МНК с тр о я т с я н а

о сн ове

минимизации

к в а д р а т и ч н о й

формы

A ^ W A

. Таким

об разом ,

если

п ри н ять

W = B “ \

( 2 . 1 5 )

то

оценки

( 2 . Î 3 ) д о сти гн у т

м аксим ально

возм ож ной

т о ч н о с т и

и

бу­

д у т

оценками

м аксим ального

п р авд о п о д о б и я . Д ля

у д о б с т в а

ч а с т о

в е ­

совые коэффициенты

назначаю т

о тн о си тел ьн о

в е с а

о д н о й

(н ап р и м ер ,

к I - й )

сп ектральной составляю щ ей,

которы й

п р и н и м а е т с я

з а

е д и ­

ницу:

W = B ; 1 ,

( 2 . 1 6 )

гд е

элементы

матрицы

В ^ 1

получаю тся

и з эл е м е н то в

м атри ц ы

В 1

умножением на

с г ^

Для уменьшения вли ян и я

н е а д е к в ат н о с ти

м одели

ч а с т о

в е с о ­

вые

коэффициенты назначаю т

т а к ,

чтобы

в к л а д

у ч а с т к о в

п и к а , п л о ­

хо

описываемых моделью ,

был ум еньш ен . А налогично

можно

у м е н ь ­

шить

весовы е

коэффициенты д л я

у ч а с т к о в

с п е к т р а

с

малым

с и г н а ­

лом ,

потому

ч то оп ределен и е

е г о сп ектральн ы х

составляю щ их з д е с ь

ц рои зводи тся

м енее

т о ч н о .

Точность

м етода

си льн о

за в и с и т

о т

с о о т в е т с т в и я

и с п о л ь з у е ­

мой

модели реальном у

с и г н а л у . Возможны

д в а

п у ти повы ш ения т о ч ­

н о с ти :

первый ^.состоит

в

п ои ске

н о в о й ,

б о л ее а д е к в а т н о й

м о д ел и

п и ка либо экрпериментальны м

п у те м , либо н а

о с н о в е

т е о р и и

д а н ­

н ого

ви да

а н а л и за :

вто р о й

за к л ю ч а е т с я

в и с п о л ь зо в а н и и

формы

с п е к тр а (г л а в н о г о )

ц е л ев о го

ком п он ен та

в к а ч е с т в е

м о д ел и

д л я

в с е х перекрывающихся

с и гн а л о в

в

с п е к т р е . Д ля

э т о г о

п о лучаю т

вспом огательны й сп ек тр

ц е л е в о го

ком п он ен та

с

последую щ ей

н о р ­

м ализацией данных

о

нем

и

запом инанием

и х

в циф ровой ф орм е

или

вы би рается о тд ел ьн ая

гр у п п а

сп ектр ал ьн ы х

л и н и й ,

п ри н ад леж ащ ая

хорошо

разреш енному

ком поненту

с и гн а л а '. Ч астны е

п р о и зво д н ы е,н е ­

обходимые

д л я

работы

МНК-,

вы числяю тся

ч и сл ен н о

н а

о с н о в а н и и сле­

дующих

соображ ений: м одель

ком п он ен та

з а в и с и т

о т

р а з н о с т и t - l ,

сл ед о вател ьн о

вы ражения производны х

по

I

и

Ь

с о в п а д а ю т ,т о г ­

д а

производную по

I

можно

п о л у ч и т ь ,

п р о и зв о д я

д и ф ф ер ен ц и р о ва ­

ние

этал о н н о го

с п е к тр а

по Ь ;

кром е

т о г о ,

по

за в и с и м о с т и

F ( k ) -

= Â F (k ) с л е д у е т , ч то п р о и зв о д н ая по ам п л и ту д е с о в п а д а е т

- с

р ( к ) ;

д л я многих

м оделей

ширина

с и г н а л а

jx

и

р а з н о с т ь

Ъ ~ Ь

вх о д я т

в

виде

отнош ения, поэтому

и зм ен ен и е

/ а

ф а к т и ч е с к и

с о о т ­

в е т с т в у е т

изменению

масш таба

вр ем ен и ,

ч т о ‘п о з в о л я е т

с в я з а т ь

производны е

по I

и

jx .

Б о л ее точные

р е зу л ь т а т ы

получаю тся при и сп о л ьзо ван и и

в с п о ­

м огательны х индивидуальны х

сп ек тр о гр ам м ,

р е ги с тр и р у е м ы х д л я всех

Из

обобщ енного

н е р а в е н с т в а

Р ао -

К р ам ер а

в ы т е к а ю т

н е р а ­

в е н с т в а ,

ограничивающие д и сп ер си и

о ц ен о к

п а р а м е т р о в

с н и з у .

Вид

н ер ав ен ств ан ало ги ч ен

( 2 . 1 7 ) ,

но

в

правую

и х ч а с т ь

п о д с т а в л я ­

ю тся элементы

матрицы

1 ~ * (0 ) .

Получим выражения д л я д и сп ер си и

и

см ещ ения

о ц е н к и

одн ого

п ар ам етр а

B j . При конечном

соотнош ении

м ощ н остей

с и г н а л ь н о й

и помеховой с о с т а в л я щ и х

z

( с м . р а з д е л

4

г л . 1 )

п о я в л я ю т с я , ошиб­

ки при определении и сти н н ого

зн а ч е н и я

п а р а м е т р а

0 оу

. В лияние

помехи

может с к а з а т ь с я

в

смещении

оц ен ки

0^* о т

9 0j-

и

в

у в е ­

личении

д и сп ер си и . Будем

и с к а т ь

смещ ение

и д и сп ер си ю

о ц е н к и

в

ви де соответствую щ их приближений

с

и с п о л ь зо в а н и е м

м е т о д а

м ало ­

г о п арам етра

е

[ 3 2 ] ,

в к а ч е с т в е

к о т о р о г о

у д о б н о

п р и н я т ь

е *

= р - *, причем

р

о п р е д е л я е т с я по

( Ï . 6 6 ) .

^

Пронормировав

сигнальную

S ( 0 ) ,

пом еховую

Н

( 0 ) и д р ей ­

фовую Л 7 ^ (0 )

составляю щ ие

логари ф м а

отнош ения

п р а в д о п о д о б и я :

Я 0 ) = ? ( 0 ) р Л

А / ( 0 ) = / / ( е ) р _ < ,

& F d ( B ) = A F d { B

) f ~ \

получим

уравнение

цравдоподобия в

ви д е

M ( # i )

+

е

9 W

; )

dAFd ( . 6 jï

( 2 . 2 1 )

9 0 ,

8 0 ;

( j t o j

П редставим оц ен ку

h

к а к

Ь = e 0j + e f y j + e %

+

( 2 .2 2 )

При о тсу тстви и

аномальны х ошибок можно

п р е д п о л а г а т ь ,

ч т о

см е­

щение оценки

J g . =

6 0 y + 6 a 0 ^ + . . .

м ало

и

м аксим ум л о гар и ф м а

о т ­

ношения правдоподобия

i< y .(0 )

н а х о д и тс я в б л и зи

B0j . Т о гд а , р а з ­

л а г а я ( 2 . 2 Ï ) в

р я д

Т ей лора

в

о к р ё с т н о с т я х

BQj

,

п о л у ч и м

Г к т

. j

m W

.

r j ^ s t o / )

L t o j

V Щ

t o j

/ J e oi

L

д гЩ

)

9 zAFd ( 6 j )

( е 0 у

+ е * е у

+ . . . ) +

+ 6 1

- ^ 5

—

+

t o

-----------

Щ

f

. . .

o;

( 2 . 2 3 )

д 3Щ )

c ( dd 3Hm

Q. j),

d h F d ( e j)

i « W Y

К

+

е\

+ 4 =

0 .

+ J

e T +

T

l

a e ; ' + E W

S

В ведем следующие

о б о з н а ч е н и я :

h :

=

г гя ( е ; ) '

s e =

Щ

4 j

Щ

4 >

i £+ h

B jŸ

__

I

d ; =

d l * k S ( B j ,,B j z )

Щ

s l k ~

Щ

,

n } >

} h .

«J

Т огда,

с г р у п п и р о в а в

ч лен ы в

( 2 . 2 3 )

по

с теп ен я м

е

.п о л у ч и м [32]

s ,+ e ( 0 1 ji i!, +

A.1 + r f , ) +

6 a ( e 2 j i a + e ^ A iï+ 8 y f lîa

+

e , j « 3 A ) + •••

ft*

Т ак

к а к с и с т е м а

г

л

4

2.

i

линейно

12*24)

| £

и,

е 1 , 6

, . . . J

н е зав и си м а,

то

р авен ство

( 2 . 2 4 )

в ы п о л н я е т с я

д л я

любых 6 то л ьк о

при

нулевых, ко ­

эф ф ициентах. При

это м

н у л е в о е

приближ ение

с о в п а д а ет

с 0О^ ,

т а к

как

{ d S ( B ) /d & ) ^ Q. =

0 .

П р и р авн и вая нулю

коэффициенты

в ( 2 .2 4 ) ,

получим

д л я

п е р в о г о

и в т о р о г о

приближений

0^-

и Bzj

следующие

выражения :

0 ^ . =

- (А 1 +

d x ) / s z

,

Qzj = -

[

0 ^

( h + d z ) + Qf. s3 /Z ] / s z .

Тогда смещ ение

и

д и с п е р с и я

о ц ен ки

б у д у т

о п и сы ваться

к а к

\

в < ® у > + 8 * < ® * У > *

( 2 .2 5 а )

e a ( < 0 ^ > - < 0 v > a ) + 2 е * ( < е у в 1 у > - < в у Х в у » .

Это

приближ ение

д а е т

п о гр е ш н о с ть

п о р я д к а

м алости

е 2, [3 2 ] .

В

случае

н е о б х о д и м о с ти

можно

у в е л и ч и т ь число

член ов

приближения,

но

это

п р и в е д ё т

к р е з к о м у р о с т у

объем а вы числительны х

р аб о т и

само по

с е б е н е э ф ф е к т и в н о ,

т а к к а к при

малых

зн ачен и ях

с и г н а л /

/п о м ех а

в л о гар и ф м е

отн ош ен и я

п р авд о п о д о б и я,

к о гд а

сущ ественны

смещение

и

д и с п е р с и я

о ц е н к и ,

в о з р а с т а е т

в е р о я т н о ст ь

п оявления

аномальных

о ш и б о к . П оэтом у

ч а с т о

вообщ е

огран и чи ваю тся

первым

приближ ением:

Ч ” е < Ч > 9

(2 .2 5 6 )

Н айдем

м ом ен ты

с л у ч а й н о й

величины

0 ^ -.

У читы вая,

ч то

м а­

те м ати ч еск и е о ж и д ан и я

п рои зво дн ы х

пом еховой составляю щ ей равны

производным

е е м а т е м а т и ч е с к о г о ож идания,

т . е . нулю , получим

< 0 , , > = - £

;

< * • > = ! & £ ?

( » • * )

* 4

’

Таким образом ,

оц ен ка п ер в о го

приближ ения не см ещ ен а

т о л ь ­

ко

при

о тсу тстви и

(или

полной

ком п ен сац и и )

д р е й ф а .

В

э т о м

с л у ­

ч ае

д и сп ерси я

оценки

(Jq .

с о в п а д а е т с

д и с п е р с и е й

эф ф екти вн о й