книги / Спектральный подход к первичной обработке сигналов аналитических приборов

4 ^ X i ( %

) > = 4 ( W

( 1 .6 4 6 )

<

#„*

( 9

»

=

^

( в , 0 ) 4

I а (9 , Щ

( 9 ,M

l .

I

В ы раж ения

д л я

м а т е м а т и ч е с к и х

ожиданий М . ( 0 )

и

А / - ( б )

ан а л о ги ч н ы . Д л я

отн ош ен и я с и г н а л /п о м е х а

z z

(п о э н е р г и и )

в

ф ун кц и о н алах

А/и - ( 0 )

и

А /* (0 )

получим с о о т в е т с т в е н н о

г и ( 8 ) = ^ Щ

7 «

l F K ( 9 , l ) W , l ) M ,

z * ( 9 ) = £

, &

; z F * ( k , 9 ) ,

( I ' 65)

т . е . п о в е л и ч и н е

0 )

с о в п а д а е т с д и с п ер с и е й (с м . ( 1 .6 4 ) ) .

В т о ч к е

б = 6q з н а ч е н и е z z м ак си м ал ьн о :

Z z ( 9 0 ) = р г .

( 1 .6 6 )

/V

А н алоги чн о

( 1 . 6 3 )

м о ж н о ^ввд ел и ть

сигнальную

^ ( 0 ) ,

д р ей ­

фовую

Д

( б )

и

пом еховую

/ / ( 0 )

составляю щ ие

в

вы ражениях

д л я

^ у ч ( б ) .

Н ап ри м ер,

и з

( Ï . 6 0 )

с

у ч ето м

( 1 .6 3 а ) при

у сл о ­

вии

а д е к в а т н о с т и

м одели

с л е д у е т ,

ч то

3 ( B ) = 3 ( о , в 0 ) - 3 ( е , б ) / г .

и ,6 7 а )

Д р ей ф о вая

со ставл яю щ ая

в

( 1 . 6 0 )

б у д ет

о п р е д е л я т ь с я

р азн о стью

Щ ь ( 9 ) = Ê F ( k , 9 ) ( D i ( k ) - F d i ( k ) ) .

( 1 .6 7 6 )

Л=7

<v*

П о м еховая

с о став л я ю щ ая

И (В )

в

( 1 .6 0 )

с о в п а д а е т

с

д е й -

ствую щ ей

в

( 1 . 6 3 ) .

К о р р ел яц и о н н ая

ф ункция

и

д и с п е р с и я /У (0)

оп ­

р е д е л я ю т с я по ( 1 . 6 4 ) .

Из

( 1 . 6 5 )

с л е д у е т ,

ч т о

можно

вы дели ть р я д

п ар ам етр о в

си ­

г н а л а ,

н е

влияющих

н а

z z (B )

-

н е э н е р г е т и ч е с к и е парам етры .Д ля

них

Z Z( 9 ) = Z Z (6 0) =

р 2'.

Д л я н е э н е р г е т и ч е с к и х п а р а м е тр о в

си ­

г н а л ь н а я ф ун кц и я з а в и с и т о т р а з н о с т и зн ач ен и й п а р а м е тр а ( 0

_

- е 2> [ 3 2 ] :

Щ

, е 2 ) = $ ( б 1 - е г ) = Щ

- е 1 ) .

5 . Алгоритм

обнаруж ения

п о л е зн о го

с и г н а л а

З ад ач а

обнаруж ения

п о л е зн о го

с и г н а л а

с о с т о и т в

т о м ,

чтобы

по дискретным спектральны м составляю щ им

Y ^ k )

р е ш и т ь ,

с о д е р ­

ж ится л и

х о тя бы

один

ком понент

с и г н а л а

( В . 2 )

в с м е с и

( B . I ) .

П роцедура

обнаружения

с в о д и т с я

к

п р о в е р к е

д в у х

г и п о т е з :

о при­

надлеж ности

выборки

Yj

сп ектральн ы х

о т с ч е т о в

с м е с и

п о л е з н о г о

си гн ал а и

помехи

(г и п о т е з а

)

и

о

наличии

в

э т о й

вы борке

только

помехи (г и п о т е з а

Hq ) .

В

нашем

с л у ч а е

в м е с т е

с

пом ехой

п р и су тству ет

остаточны й

д р е й ф . Из

разн ы х

к р и т е р и е в

о б н ар у ж ен и я

в рассм атриваем ом

сл у ч ае

н аи б олее

п о д х о д и т к р и т е р и й

Н ей м ан а -

П ирсона,

который

не

т р е б у е т

н ал и чи я ап р и орн ой

и нф орм ации

о по ­

тер ях при принятии ошибочных

реш ений

и

з н а н и я

ап р и о р н ы х

в е р о ­

ятн о стей

р асп ред елен и я п ар ам етр о в

[ б ] .

Г и п о т е з а

Нл

в

э т о м слу­

ч ае

приним ается при

выполнении

у с л о в и я

i y ( f l ) > Л 0 ,

( 1 . 6 8 )

гд е

L yX Q )

оп ределяю тся

в

зав и си м о сти о т в и д а

с п е к т р а л ь н ы х

представлений вы ходного

с и г н а л а

y ( t )

по

( 1 .6 0 )

и л и

( I . 6 Ï ) .

Зд есь

Л 0 -

п о р о г,

выбираемый т а к , чтобы можно

было

м ин и м и зи ­

р о вать

в ер о я тн о сть

п р о п у ска

си гн ала.

Р

п ри

з а д а н н о й

в е р о я т ­

ности

ложных обнаружений

Рл>0 :

рл . о = р { у в ) > л о К } = о с -

( 1 -6 9 )

П одставив выражение

L y . ( 0 )

и з

( Г .6 1 )

в

( 1 . 6 8 ) ,

п олучим , о с т а ­

ви в

в

л е в о й

ч ас т и н е р а в е н с т в а

то л ьк о

ч л е н , зави сящ и й

о т

о б р а ­

баты ваем ой р еал и зац и и

с и г н а л а

с

у ч ето м

( 1 . 6 2 ) :

Зн ачен и е

п о р о га найдем и з

э то й

формулы,

в о с п о л ь зо в а в ш и с ь п р е д ­

положением о норм альности

р а с п р е д е л е н и я

п о м ех о в о й

со ставл яю щ ей

МЬМ )

с

парам етрам и

<M i ( Q \ Q ) > = l L & ( b ,l) F Vid( l ) d l

и д и с п е р ­

с и е й ,

оп ределяем ой по

формулам

( 1 . 6 4 6 ) .

Т о г д а , п о д с т а в л я я

его

в ( Ï . 6 9 ) ,

получим

оо

i

( a - S L a ( M

f

=

У з я < # 2( 9 ) > - W

-

2 < /7 а ( 0 ) >

- J t f x

° ' °

K - l L a ( b , t ) F „ d ( i ) d t \

0 ,5

-

< р |

■a..

( î .7 1 )

V < / 7 * ( 9 ) >

7

гд е

Ф

-

и н т е г р а л в е р о я т н о с т и

[ З З ] .

Отсюда

Л = Г ? 1 < Н г ( в ) > + 1 Q . ( 6 , l ) F u d W c U .

( 1 .7 2 )

З д е сь ^

- п р о ц е н т н а я т о ч к а н о р м ал ьн о го р а с п р е д е л е н и я

( с м . ,

н ап р и м ер , р а б о т у [ 5 ] ) .

В е р о я т н о с т ь

п р а в и л ь н о г о

об н аруж ен и я

о п р е д е л я е т с я

и з у сл о ­

ви я

^ а ( 0 ,

i K ( b , i ) d i

+ z l La ( 6 ,i) K ,d ( i ) d i '

Я , =

0 ,5 + Ф -{ Т а"

2 < Я Ч 9 ) >

В

с л у ч а е н е к о р р е л и р о в а н н о с т и

выборочных

зн ач ен и й

(и сп о л ь ­

зо в а н и е

СБС)

к р и т е р и й о б н ар у ж ен и я

( 1 .7 0 )

у п р о щ ается:

И 4( 9 ) = ё < т ~ а К А , 9 ) 1 * ( * ) * Л ,

( 1 -т а )

причем

з н а ч е н и е

п о р о г а н а х о д и т с я ан ал о ги ч н о

( Î . 7 2 ) :

Л =

у а у

Ê < 5 ~ ZF Z(K B )

+

t

f

? F ( k , 9 ) F d ( k ) .

( 1 .7 4 )

В

вы р аж ен и я

д л я

п о р о г а

в х о д я т

функции

0 .(6, В)

или

F ( k , В ),

зави сящ и е

о т

п а р а м е т р о в , ко то р ы е к

м ом енту

вы полнения

операции

о б н аруж ен и я

еще

н е и з в е с т н ы .

Обычно

н е и зв е с т н о

такж е

и

чи сло

ко м п о н ен то в

с и г н а л а .

П оэтом у

р а з м е р

вы борки

п

необходим о в зять

та к и м ,

ч тобы

о н а

о х в а т ы в а л а

н е

б о л е е

о д н о го

к о м п о н е н та .

Спектр

м одели

F ( k , 0 )

п р и

это м такж е

долж ен

бы ть

п о лучен

по

одному

ко м п о н ен ту

п р и ф и кси рован н ы х

зн а ч е н и я х п ар ам етр о в

0 ,

наприм ер

их ср е д н и х в е л и ч и н а х .

Т аким

о б р а з о м ,

п р о ц е д у р а

обн аруж ен и я

с о с т о и т

в вы числении

и н т е г р а л а

(сум м ы )

взвеш енны х

зн а ч е н и й

сп ектр ал ьн ы х

со ставл яю ­

щих

с и г н а л а

( Ï . 7 0 ) и

( Т .7 3 )

н а

£ - й

вы борке

и ср авн ен и и

п о л у ­

чен н ой

суммы

с п ороговы м зн ач ен и ем

п о

( Т .7 2 ) или ( Ï . 7 4 ) .

Если

н е р а в е н с т в а

( Ï . 7 0 ) ,

( 1 . 7 3 )

н е

вы п олн яю тся,

вы борка

с д в и г а е т с я

р а в е н с т в а выполняю тся,

принадлеж ит

с п е к тр у о д н о го

к о м п о н е н та

п о л езн о го си гн ала (или

н е с к о л ьк и х ,

есл и они

н е р а зд е л е н ы ).

Сле­

д о в а т е л ь н о ,

процедура обнаруж ения

п о зв о л я е т

н ай ти у ч ас т к и

с п е к ­

тров компонентов

си гн ал а п о с л е д о в а т е л ь н о .

Ф акти ч ески в

р а с с м о ­

тренном

виде

ее

ц ел есо о б р азн о прим енять д л я

с и г н а л о в 2 - г о

к л а с ­

с а после

их

р а зд ел е н и я ;

д л я си гн ал о в

I - г о

к л а с с а в

б о л ьш и н стве

сл у ч аев

можно процедуру обнаруж ения

у п р о с т и т ь ,

в о с п о л ь з о в а в ­

шись обобщенными

отсчетам и

( 1 . 3 8 ) .

О бнаруж ение

п о

п р е ­

вышению

обобщенным

о тсч ето м

н е к о то р о го п о р о г а

A fl

с о о т в е т с т в у ­

е т применению кри тери я

Неймана -

П ирсона в

и сх о д н о й (в р е м е н н о й )

области

с у щ е ств о в ан и я 'с и гн а л а .

Д ей стви тельн о,

функции

п равдоп одоби я

вр ем ен н о й вы борки

имвт

ют в и д ,

аналогичный

( 1 . 5 8 ) ,

г д е составляю щ ие

в е к т о р о в

,

F ,

-

временные

отсчеты с и г н а л а

y

( i ) t м одели

с и г н а л а

f ( i ) и

дрейфа ^ ( i ) ; элементы матрицы В

о п р ед ел яю тся к о р р е л я ц и о н н о й

функцией

помехи f h ( t ) .

Соответствую щ ие век то р ы

о б о зн а ч и м стр о ч ­

ными буквам и . Т огда

д л я

логариф м а

отнош ения

п р а в д о п о д о б и я

а н а ­

логично

выражениям

( 1 .6 0 ) и

( I . 6 I )

с у ч ето м

( 1 . 2 7 )

( 1 . 3 8 )

п о ­

лучим

т

( т

-

объем вы борки,

по к о то р о й

о п р е д е л я е т с я

i

à t = 1 ) .

Выражение

( 1 .7 5 )

сп р авед л и в о

при циф ровой

о б р а б о т к е п о д и ­

скретны м

временным о тсч етам

д л я

н еко р р ел и р о ван н ы х

зн а ч е н и й в ы ­

раж ение

( 1 .7 6 )

сп р авед ли во

при

ан а л о го в о й о б р а б о т к е .

Критерий

обнаруж ения приним ает ви д

( Г . 7 7 )

г д е

Л

найдем

ан алоги чн о

( 1 . 7 2 ) ,

( 1 . 7 4 ) :

Б

А

ГЪ

■^В

Тостов.о +

<3% jÇ j

( 1 . 7 8 )

Л в —

7

T

зд есь

<TQg 0 -

д и с п е р с и я обобщ ен н ого о т с ч е т а , при н ек о р р ел и р о ­

ванных

о т с ч е т а х

р а в н а я :

а д л я н еп р ер ы в н о го с л у ч а я

в « в .о =

( 1 .7 9 6 )

и - 7» * '

т

С л е д о в а т е л ь н о ,

в

вы раж ение

д л я

вх о д и т

э н е р г и я

ож идае­

мого

с и г н а л а . Е е

в е л и ч и н а

д олж н а

бы ть вы бран а

р а в н о й

эн ер ги и

м иним ального

п о и н т е н с и в н о с т и

к о м п о н е н та ,

которы й

необходим о

о б н ар у ж и ть .

В ч а с т н о м

с л у ч а е

ко м п ен сац и и

д р ей ф а

ал го р и тм и ч ески

вторым

членом в

( Т .7 8 )

можно

п р е н е б р е ч ь .

Т о г д а ,

у ч и ты в а я ,

ч то

при

и з ­

м енении

ос

в р е а л ь н ы х

п р е д е л а х

1СП3 - 2 *1СР2

у а =

3,09-5-2,05 ,

в п редполож ении

н е к о р р е л и р о в а н н о с т и

временны х

о т с ч е т о в

с и гн а л а

получим

п р а в и л о

о б н ар у ж ен и я

к о м п о н ен то в

по

ь - й

вы борке

в с л е ­

дующем п р о с то м

в и д е :

( 1 .8 0 а )

При

это м

в

с л у ч а е а н а л о г о в о й

о б р аб о тк и

и

при

белом

шуме

( 1 .8 0 6 )

П р а к т и ч е с к а я

р е а л и з а ц и я

а л го р и тм а обнаруж ения

( 1 .7 7 )

мо­

жет

бы ть

о с у щ е с т в л е н а

к а к

в

д и с к р е т н о м ,

т а к и

в

ан ало го во м

ви ­

д е .

В ел и ч и н а

п о р о г а

при это м

о п р е д е л я е т с я

выражениями

( Т . 7 8 ) .

Н аиболее

п р о с т о

р е а л и з у е т с я

а л го р и тм

( 1 .8 0 а )

или

е г о

а н а л о г о ­

вый

в а р и а н т

( 1 . 8 0 6 ) .

О днако

э т и

алгоритм ы

получены

при

сущ ест­

венны х о г р а н и ч е н и я х ,

в л и я н и е

которы х

н а к а ч е с т в о

обнаруж ения

необходим о

и с с л е д о в а т ь . Т ак и е

и с с л е д о в а н и я

были

проведены

а н а ­

л и т и ч е с к и

и

м ето д о м

м а т е м а т и ч е с к о г о

м о д е л и р о в а н и й

. Были р а с ­

см отрены

в л и я н и я

н а

Рл о

и

Рп

=

Ï

- Pn Q

( Рп о

-

в е р о я т ­

н о с ть п р а в и л ь н о г о

о б н ар у ж ен и я

к о м п о н ен та' с и г н а л а )

каж дого

и з

следующих

ф а к т о р о в :

отн ош ен и я

с и г н а л /п о м е х а , н е с о о т в е т с т в и я

дли ­

ны вы борки

и

с и г н а л а ;

н е а д е к в а т н о с т и

м о д ел и ,

п лохой

ко м п ен са ­

ции

д р е й ф а ,

к о р р е л и р о в а н н о е ™

п о м ех и , н ал и чи я

импульсны х помех.

В ли ян и е

отн ош ен и я

с и г н а л /п о м е х а

и з у ч а л о с ь

по.

х а р а к т е р и -

сти кам о б н ар у ж ен и я п ри

и зм ен ен и и

z

в п р е д ел а х

Ï -

2 0 .п р и

этом

о к а з а л о с ь , ч т о а л г о р и т м ( Î .8 0 а ) о б е с п е ч и в а е т Р

и Р

, б л и з ­

кие

к нулю

в п л о т ь

д о

2 = 2 ^ 4 .

"

л ‘

вым.

И с с л е д о в а н и е

вы полнено

авто р ам и со в м естн о

с

В .Н .С о к о л о -

55

Влияние н есо о тв етств и я длины

вы борки

и с и г н а л а .

Уменьше­

ние

длины выборки

ухудш ает

х а р а к т е р и с т и к и

о б н ар у ж ен и я в с л е д с т ­

ви е

уменьшения

энергии

ч асти

с и г н а л а ,

о х в а т ы в а е м о го

вы б о р ко й и

увели чен и я флуктуаций

. Е сли

э то

произош ло

з а

с ч е т

у м ен ь ­

шения и н тер вал а

к ван то ван и я

А Ь

при

п о сто ян н о м

о б ъ ем е

выборки

т а ,

то

Рл о

и

Рп р ,

н ач и н ая

с

н е к о т о р о го

A i = A tm in * р е з к о воз­

р а с та ю т . Например,

при

гау ссо в о м

п о л езн о м с и г н а л е

э т о т

эффект

н ачи н ает

ск азы в аться

при

д £ < 0 , 2 5 р , :

Яп р \ м

=

о

5 р

=

Рп | A t=Q125i * ^ 0

{пг

=

5 ,

z

=

8 , у

- с р е д н е к в а д р а т и ч н а я

шири-

наР с и г н а л а ;.

Уменьшение

длины

вы борки

в

р е з у л ь т а т е

с н и ж е н и я ее

объема

(я г )

с к а зы в ае тс я

м ен ее

зам етн о

в п л о т ь

д о

я г

=

5 .

О ткло­

нения длины выборки

1Ъ

д л я

г а у с с о в а

с и г н а л а

в п р е д е л а х

1 ,5 ^ <

4 1 ъ 4

З ц

не

сказы ваю тся

н а

к а ч е с т в е

о б н ар у ж ен и я .

Влияние

н еад ек в атн о сти

м одели

п р о в е р я л о с ь н а

п р и м е р е

об ­

наружения

п олезн ого

с и гн а л а

г а у с с о в о й

формы

п р и

и с п о л ь з о в а н и и

моделей других ви д ов

(л о р е н ц е в о й ,

п а р а б о л и ч е с к о й ,

т р е у г о л ь н о й ) .

Ухудшения х ар ак тер и сти к

обнаруж ения

н е

н а б л ю д ал о с ь ,

т . е .

а л г о ­

ритм

( ï . 8 0 a )

в зн ач и тел ьн о й

степ ен и

и н в а р и а н т е н

к

т и п у и

к а ч е ­

ств у

применяемых

м оделей

(э т о г о

и

с л ед о в ал о о ж и д а т ь , т а к

к а к на

к ач еств о обнаружения

сущ ествен н ее

в л и я е т в е л и ч и н а

э н е р г и и

си ­

г н а л а ,

чем е го

ф о р м а).

Влияние

к а ч е с т в а

компенсатш и

(дп ей сЬ а). Н аличие

д р е й ф а цри -

водит

к

изменению

У0 ,

а

зн а ч и т

к

зап азды ван и ю

(и л и

опереж ению ,

в зависим ости о т

з н а к а

дрей ф а)

о б н аруж ен и я .

З а п а зд ы в а н и е в об­

наружении может

п р и вести

к

п о т е р е

начальны х

о т с ч е т о в

п о л е з н о г о

с и г н а л а . На

п ракти ке

обычно

со б ств ен н о

дрей ф

б а з и с н о г о

с и г н а л а

з а врем я

д ей стви я

п о л е зн о го

с и г н а л а

н е в е л и к ,

с у щ е с т в е н н е е

в л и ­

яние

е г о

постоянной

составляю щ ей ,

к о т о р а я

долж на

бы ть

о б я з а ­

тельн о

ском пенсирована

и л и

у ч т е н а

при

вы числении

з н а ч е н и й

п о ­

р о г а (п о ( 1 . 7 8 ) ) .

о т с ч е т о в

пом ехи

ухудш ает

х а р а к т е р и с т и к и

К оррелированность

обнаруж ения: р а с т е т

за п а зд ы в а н и е . Н априм ер,

п ри

г а у с с о в о м

си ­

гн а л е

и

помехе

с

корреляц и он н ой

ф ункцией

i B . ï B a )

п ри

т = р , A t=

= 0 ,2 5 р .

и уменьшении

с

z

= 2 0

д о

z

= 8

за п а зд ы в а н и е

в

о б н а р у ­

жении

у в е л и ч и в а е тс я

о

2 A t

д о 4 * д £

.

Уменьшение

z

п р и

б о л ь ­

ших

т

сущ ественнее

в л и я е т

н а

в о з р а с т а н и е

Рп ^ ,

чем

п р и малых х .

ния

Наличие

импульсных

пом ет

п р и вод и т

к

н ео б х о д и м о сти

и з м е н е ­

ви д а

функций

п р авд о п о д о б и я,

которы е

в

это м с л у ч а е

( с

у ч е -

том

( B . Ï 9 ; )

будут

равны :

m

( I . 8 I )

гд е

1

C3CDf

( У

Ш

- У

ш ) * ]

* ' U )

Æ

^ e x p l

г в £

) ’

При

вы чи слен и и

л о г а р и ф м а

отн ош ен и я

п р а в д о п о д о б и я e(Yj) в о с п о л ь ­

зуем ся следующим

р я д о м

[1 2 3* сп р авед ли вы м при

малы х

c l i

lib ( х

+ а ) =

1 п х

+

а

а (

( 1 .8 2 )

Z x + a

3 ( 2 х + а ) г

Т огда

1 ф и тер и й

( Ï . 8 0 )

п р и

о г р а н и ч е н и и

первым член ом

р я д а ,с т о я ­

щим

в

к в а д р а т н ы х

с к о б к а х

( 1 . 6 2 ) ,

прим ет

ви д

'Ш

{ y i U ) - m b ) - f d U ) f „

-1

0,5 +

т

Е

е х р {

> Л В.(1.83)

г

■г—А

Как

в и д н о , вы раж ен и е

д л я

к р и т е р и я

при

наличии

пом ех

зн а ч и т е л ь ­

но у с л о ж н я е т с я

(п о

сравн ен и ю с

( 1 . 8 0 ) ) ,

ч то неудобно

в

р е а л и ­

зац и и ,

а в

р е а л ь н о м

в р е м е н и

п р е д с т а в л я е т

зн ачи тельн ы е

трудно­

сти

в с л е д с т в и е

б о л ьш о го

о б ъ ем а

в ы ч и сл ен и й . П оэтому проверим воз­

можность и с п о л ь з о в а н и я

к р и т е р и я ( 1 . 8 0 ) ,

но при

р асп р ед ел ен и и

с т о х а с т и ч е с к о й

со ставл яю щ ей

с и г н а л а

по ( 1 . 8 0 .

Это вп олн е

д о ­

п у сти м о , т а к к а к

в

( 1 . 8 3 )

р а з н о с т ь

п о сл ед н и х ч л ен о в

при

р е а л ь ­

ных

зн а ч е н и я х

п а р а м е т р о в

м а л а .

Н айдем

р а с п р е д е л е н и е

ау£( 0 ) в

это м

с л у ч а е , в о с п о л ь зо в а в ­

шись

те м ф а к т о м ,

ч т о

р а с п р е д е л е н и е т

случайны х

вел и ч и н

даже

при

небольш их

з н а ч е н и я х т

можно д о с т а т о ч н о то ч н о

ап тэо кси м и р о -

в а т ь

норм альны м р а с п р е д е л е н и е м

с

поправочны м ч л ен о м [ 3 3 ] :

w ( e ) = i à s e È M

- f } [ 1 4 t « o * 3- 3 * ) +

+ ^ Т

а

( зе* _ 6 з е +

3 )

+

••

• ] >

( 1 .8 4 )

гд е

э е = ( е - < е > ) / с г е ;

^

= А/3 [е ]/(У е3 ;

у а =*Л/4 [ е ] / о г е*;

А /^ [ е ]

- с о о т в е т с т в е н н о

3 - й

(ас и м м е тр и я )

и 4 - й

( э к с ц е с с )

мо­

менты

р а с п р е д е л е н и я . W ( e ) \

< е

> ,

g £ ,

_

м ат ем ати ч еск о е

ожида­

ние

и д и с п е р с и я ,

о п р ед ел яем ы е

а н а л о ги ч н о

( 1 . 7 9 ) .

Д л я н е к о р р е л и р о в а н н о г о

шума

получим

т

< r o J 9 > = ? , Л л в к з д о > = 0 ;

Vl.OO)

J

*

7П

Ч ? = < & . =

S A J . 9 ) .

J

*

П о ско л ьк у р а с п р е д е л е н и е

( 1 . 8 1 )

си м м етри ч н о, то

М3 ( е ) =

0 .

На­

к о н е ц ,

д л я

г

с о г л а с н о

[3 3 ]

получим

Второй ч л е н п о л у ч е н н о й

суммы

( 1 . 8 9 )

х а р а к т е р и з у е т

влияние,

п о ­

м ех . С р ав н и в ая

( 1 . 8 9 )

с I I . 7 1 ) можно

з а м е т и т ь , ч то

в е р о я т н о с т ь

Рл 0 п ри т е х же п а р а м е т р а х а л г о р и т м а об н ар у ж ен и я

в о з р а с т а е т .

У читы вая, ч т о обы чно

Л B/(V Ê a e )

= ï , 4 * 2

, 0 ,

а п ри

X =

О Д

и

т < 1 0 в е л и ч и н а

х

и м е е т п о р я д о к

1 0 " ^ - 1 0

° ,

получим

д л я

оценки

вл и ян и я п ом ех в ( 1 . 8 9 ) в е л и ч и н у п о р я д к а l O ^ - Î C T ^ , ч т о

в е с ь м а

с у щ е с т в е н н о . Э то

п р и в о д и т к

н ео б х о ди м о сти

у в е л и ч е н и я порога

Л в

по сравн ен и ю с

( 1 . 7 8 ) .

Е с л и

даж е

в

( 1

. 8 9 )

н е у ч и ты в а ть

в т о р о й

ч л е н , т о п о д с т а в л я я

в

( Ï . 7 8 )

<зе

и з

(

1 . 8 5 ) ,

н ай дем

( 1 .9 0 )

С равнивая э т у

ф орм улу и

( Ï . 7 8 )

при

реальн ы х

зн а ч е н и я х ос =

ОД и

'J —

5 , получи м

о ц е н к у

п о р о г а

À fl

д л я обнаруж ения

с оди н ако ­

вой с

( Ï . 7 I )

в е р о я т н о с т ь ю

/ ^

о = о t

(п о 1 .9 0 ) , п очти

в д в а

р а з а

большую, чем

п о

( 1 . 7 8 ) ) .

Э то

может

п р и в е с ти

к

увеличению

коли ­

ч е с т в а п р о п у с к о в

п и к о в

с

малым

отнош ением с и г н а л /п о м е х а

и

к

уменьшению в е р о я т н о с т и

п р а в и л ь н о г о

обн аруж ен и я

Рп

Q .

На р и с . 7

п р и вед ен ы

за в и с и м о с т и

РЛI и

и

РI ■

в

функции

от

коэф ф ициента

К А у в е л и ч е н и я

п о р о г а

А в п

,

п о л у чен н о го по

( Ï .9 0 )

по сравн ен и ю

с п о р о го м

Л в

в

о т с у т с т в и е

пом ех

и д р е й ф а . Кривые

а

5

Р и с . 7 .

были получен ы

д л я

вы б о р о к объемом т = 9

(сплош ны е)

и

т

= 5

(п у н к т и р н ы е ).

А нализ

р и с у н к а п о к а з ы в а е т ,

ч т о им пульсны е помехи

сущ ествен н о ухудш аю т

х а р а к т е р и с т и к и обн аруж ен и я и

ж е л а те л ь н а

их

п р е д в а р и т е л ь н а я

ф и л ь т р а ц и я ,

наприм ер

по м еди ан е

[ П .

В р е з у л ь т а т е

и с с л е д о в а н и я

а л го р и тм

об н аруж ен и я

( 1

. 8 0 )

мо­

жет

бы ть

р е к о м е н д о в а н

д л я п р а к т и ч е с к о г о

и с п о л ь зо в а н и я

при

о б ­

р а б о т к е

с и г н а л о в в

с п е к т р а л ь н о й

о б л а с т и

в СБС.

Г . О бщ е

вопросы

о ц ен и ван и я

п а р а м е тр о в

в сигнальны х

б ази сн ы х си стем ах

Из

разнообразны х

м ето д о в п о л у чен и я

о ц е н о к

в о с п о л ь з у е м с я

методом

м аксим ального

п р ав д о п о д о б и я . Эти

о ц ен к и

ц р и у сл о ви и

не­

прерывности производной логари ф м а

функции

п р а в д о п о д о б и я

п о

п а ­

рам етру

(ч т о

н аблю дается

в нашем

с л у ч а е )

с о с т о я т е л ь н ы

и

аси м п ­

тоти чески эффективны

[ 5 ,

3 4 ] . О ценкой м ак си м а л ь н о го

п р а в д о п о ­

добия

п арам етра

0 я в л я е т с я

т а к о е

е г о зн а ч е н и е

(

0 ) ,

к о т о р о е

д о став л я ет максимум

функции

п р авд о п о д о б и я

( 1 . 5 8 ) .

Т а к

к а к

э т а

функция

г л а д к а я ,

то

ш кси м и зи рую т д л я

упрощ ения

в ы ч и с л и те л ь н о й

схемы не саму функцию, а

е е л о гар и ф м .

Т о г д а

н ах о ж д ен и е

о ц ен о к

парам етров 0

по

i - й

вы борке с в о д и т с я

к решению

с и стем ы

н ели ­

нейных уравнений

в и д а

d ( l n l V 0 Ç \ Q ) ) / d Q j

=

О IВ

.

П о д с т а в л я я

в э т у

систем у зн ач ен и е

JV (yjjlB )

и з

( Ï . 5 8 ) ,

п о л у ч а е м

J

3

Л ев а я

ч а с т ь

у р авн ен и я

( 2 . 1 )

с о в п а д а е т

с

ч а с т н о й

п р о и зв о д н о й ло­

гариф м а

отнош ения п р авд оп од об и я

( 4 . 5 9 )

по

п а р а м е т р у

0у .

Э того

и сл ед о в ал о

ож и д ать,

т а к к а к входящ ая

ад д и ти вн о

в

( 1 . 5 9 )

ф унк­

ц и я

И /(У * |0 )

не

за в и с и т

о т

B j .

Таким о б р азо м ,

п ои ск оц ен ки

с в о д и т с я

к м а к си м и за ц и и

L y (0),

ч то

д о с т и г а е т с я

при

вы полнении у с л о в и я

( 2 . 1 ) .

*

П ереходя к

скалярны м п р о и зв ед е н и я м ,

и з

( 2 . 1 )

п о л у ч а е м

П

т

к

ю

-

о

? : < j - 4 V i W - F ( w ) - F d i m )

( 2 . 2 )

3 8 ;

А —1

Э тот общий

ал го р и тм ц е л е с о о б р а зн о

и с п о л ь з о в а т ь

п р и

о ц е ­

нивании

в д и с к р е т н о й

с п е к т р а л ь н о й

о б л а с т и СБС.

А налогично

и з

ф ун кц и он ала отнош ения

п р а в д о п о д о б и я

( 1 . 6 1 )

можно

п о л учи ть с и стем у

у р а в н е н и й д л я

о ц ен и в ан и я

в в и д е