книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

Анализ напряжений при плавлении или затвердевании яв­ ляется сложной задачей, так как свойства материалов, в осо­ бенности изменения их с температурой, оказывают существен­ ное влияние на поле остаточных напряжений.

Рис. 25. Распределение напряжений при затвердевании упругопластического

область.

4.8. Топливные элементы и покрытия

Осесимметричные задачи для циклических стержней и труб, подвергающихся воздействию внутренних источников тепла, поверхностному нагреву и давлению, имеют большое значение для приложений в ядерной технике. В топливных эле­ ментах реакторов температурные градиенты возникают за счет тепла, выделяющегося при расщеплении ядер, т. е. за счет распределенных источников тепла. Вследствие расширения расщепляемого сердечника, стесненного нерасщепляемым по­ крытием, возникает давление, действующее на топливные эле­ менты. В этом случае давление является результатом воздей­ ствия температурного поля. Покрытие трубы, которое служит для отвода тепла, подвергается комбинированному воздей­ ствию температуры и давления.

Как топливные элементы, так и покрытия можно рассма­ тривать как упругопластические тела со свойствами, завися­ щими от упрочнения и температуры. Можно достигнуть зна­ чительного выигрыша в мощности реактора, если допустить возможность пластического течения топливных элементов. С другой стороны, для исследования малоциклового усталост­ ного разрушения имеет большое значение упругопластический анализ, так как усталостный срок службы зависит от неупру­ гих деформаций.

В работе [114] рассмотрена плоская квазистатическая де­ формация упругопластического цилиндра, подвергающегося действию радиально распределенных источников тепла, осе­ вого усилия и бокового давления. Полученное решение отно­ сится к случаю упрочняющегося материала Треска, подчи­ няющегося ассоциированному закону течения. Задача рассма­ тривалась при помощи несвязанной термомеханической теории, согласно которой решения для температурной и механической задач раздельны и определяются последовательно. Изложим основные этапы анализа напряжений в сердечнике.

Источник тепла, связанный с делениями ядер внутри ци­ линдрического элемента сердечника, экспоненциально распре­

где р — параметр, А — радиус сердечника. Если источник рас­ пределен равномерно, то р = 0 и Q = Q0 Уравнение тепло­ проводности (4.1) имеет решение, содержащее экспоненциаль­ ные интегралы. Поэтому следует ожидать, что напряжения можно определить только численно.

Для равномерно распределенного источника уравнение теплопроводности имеет решение

После того как определено поле температуры, можно найти напряжения. Задача не является статически определимой. Тре­ бование непрерывности смещений на границе между сердеч­ ником и покрытием дает возможность определить неизвестное давление. Его интенсивность зависит от механических и тепло­ вых характеристик сердечника и покрытия. Кроме того, вслед­

ствие принятых условий плоской деформации появляется не­ известное осевое усилие.

Если предположить, что свойства материала не зависят от температуры, то распределение температур (4.54) наводит на мысль, что течение начинается прежде всего по оси сердеч­

ника. При увеличении Q0 пластическая зона распространяет­ ся, и на поверхности сердечника развивается новая область, которая продвигается внутрь него. Пластические зоны отде­ лены друг от друга упругим кольцом, которое никогда не ис­ чезает. Эта ситуация совершенно аналогична той, которая по­ казана на рис. 23, и относится к классу задач теплопроводно­ сти без внутренних источников. Напряжения в пластических

зонах соответствуют различным режимам напряжений на по­ верхности поля. В [114] дается подробное решение этой за­ дачи.

В работе [114] получен ряд характерных распределений на­ пряжений для уранового стержня, окруженного алюминиевым покрытием. На рис. 26 распределение напряжений в начале текучести, pi = 0, сравнивается с распределением, относя­ щимся к развитию пластической деформации, когда упругий

кольцевой слой становится узким. Заметно существенное раз­ личие между обоими решениями как в распределении напря­

заметного влияния на распределение напряжений в топлив­ ных элементах, так как пластическая деформация имеет ве­ личину порядка упругой деформации.

Толстостенная труба, подвергающаяся действию однород­ ного в радиальном направлении выделения тепла, была рас­ смотрена в [ИЗ] в условиях плоской деформации. Материал,

подчиняющийся критерию текучести Треска и ассоциирован­ ному закону течения, был исследован для характерного для графита очень крутого линейного упрочнения. При увеличении интенсивности воздействующего на трубу теплового источника течение начинается на изолированной внутренней поверхности и распространяется наружу.

На рис. 27 показано типичное распределение радиальных смещений. Видно, что упрочнение мало влияет на величину смещений, хотя различие между упругим и упругопластиче­ ским поведением для радиальных смещений достаточно ве­ лико. В [113] описываются эксперименты, проведенные на про­ мышленном графите. Разрушение в трубе возникает до того,

как она становится полностью пластической. В работе [88] при­ ведены дальнейшие результаты.

В работах [13, 293, 294] рассмотрен случай толстостенных труб, подвергающихся действию градиентов давления и тем­ пературы при установившемся поле температуры для материа­ лов с тепловыми и механическими константами, не завися­ щими от температуры. При решении упругопластических за­ дач о трубах напряжения, смещения и граничные условия, как правило, относятся к исходной форме трубы. Таким образом, эти задачи рассматриваются при помощи геометрически ли­ нейной теории. В работе Бленда [13] проанализированы также остаточные напряжения и течения при разгрузке, чтобы оце­ нить состояние приспособляемости в случае, когда после не­ которого числа циклов нагружения и разгрузки пластическое течение прекращается. В. И. Даниловская [35] рассмотрела аналогичную задачу, предположив линейную зависимость пре­ дела текучести от температуры. При этом использовалась де­ формационная теория пластичности.

Швиберт [258] исследовал переходные состояния в цилинд­ ре при комбинированном действии внешней нагрузки и осе­ симметричного поля температуры. Он применил соотношения Прандтля — Рейсса для материалов с зависящими от темпе­ ратуры пределом текучести и коэффициентом теплового рас­ ширения. Числовые результаты были получены для случая, когда предел текучести уменьшается примерно вдвое в обла­ сти изменения температуры от 21 до 815 °С.

Б. Ф. Шорр [269] применил теорию упругопластических де­ формаций для решения задач о трубах, изготовленных из ма­ териала, свойства которого произвольно меняются с темпе­ ратурой. Он разработал сответствующий алгоритм метода уп­ ругих решений, требующего пошаговой процедуры, о котором говорилось в разд. 4.3. На рис. 28 проиллюстрированы харак­ терные черты результатов по деформационной теории и ме­ тоду упругих решений. На этом рисунке показаны значения эквивалентных напряжений при последовательных шагах вы­ числений. Следует прежде всего отметить, что при переходе от чисто упругого поведения материала к упругопластическому имеет место существенное перераспределение напряжений. Од­ нако более важным является тот факт, что происходит раз­ грузка, поэтому частицы материала, в которых напряжение первоначально соответствовало пределу текучести, на после­ дующих этапах вычислений становятся упругими. Это тре­ бует модификации соотношений напряжения — деформации таким образом, чтобы в зонах, становящихся упругими, была учтена разгрузка. На рис. 28 участок справа от точки А со­ ответствует разгрузке. В нулевом приближении выбирается

термоупругое решение. При развитой пластической деформа­ ции метод упругих решений требует выполнения многих ша­ гов.

Мендельсон и Мэнсон [171] использовали деформационную теорию пластичности для определения напряжений и дефор­ маций в цилиндре методом последовательного интегрирова­ ния. Дальнейший упругопластический анализ цилиндров дан в работах [111, 106, 295, 296, 37, 254, 287, 272, 273, 157]. Ра­ боты [295, 296] посвящены расчету сосудов давления.

Рис. 28. Распределение эквивалентных напряжений в нагретом цилиндре, полученное методом упругих решений; а — упругое решение при Д0 = 250 °С; б — второе приближение; в — шестое приближение [269].

Анализ напряжений в топливных элементах сложнее рас­ смотренных выше стационарных или квазистатических задач. Быстрый нагрев при расщеплении ядер, происходящий в слу­ чайных условиях, приводит к внутреннему тепловому удару. Часть энергии переходит в кинематическую энергию, поэтому возникают динамические напряжения. При этом уже нельзя пренебрегать инерционными членами. Расчет для этого случая дан Ройшером [246]. Кроме внутренних источников тепла в топливных элементах анализ напряжений топливных стерж­ ней и частиц усложняют такие факторы, как радиоактивность, выгорание топлива, развитие газового расщепления и рекри­ сталлизация. До сих пор еще не было систематического тер­ мопластического анализа данного вопроса.,

Вальтер [288] описал в общих чертах механические задачи для топливных частиц с покрытием. Методы расчета, в неко­ торой степени учитывающие пластические свойства топлив­ ных материалов и материалов покрытия, даны Гюйеттом [90]. Предшествующие методы обсуждались И. И. Гольденблатом и Н. А. Николаенко [81].

4.9. Элементы машин и конструкций

При анализе напряжений элементов машин и при расчете сосудов наполнения или оболочек при комбинированных теп­ ловых и механических воздействиях возникают в основном задачи плоского напряженного состояния. При анализе термо­ пластических напряжений не появляется существенно новых особенностей. Новой проблемой является оптимальное проек­ тирование, например определение оптимальной толщины ди­ ска, вращающегося в заданном тепловом режиме.

В тонкой пластине существует тепловой поток через по­ верхность в окружающую среду. Этот отток тепла характери­ зуется коэффициентом поверхностной теплопередачи h. Если поверхность не изолирована, то существует распределенный сток тепла. Мощность этого стока пропорциональна темпера­ туре в рассматриваемой точке, Q = —Л0. Так как диск тонок, то можно ввести в уравнение теплопроводности (4.1) среднюю величину оттока. Поле температуры становится двумерным, и основное уравнение принимает вид

ный смысл. В стационарном состоянии, например в случае осевой симметрии, решение уравнения (4.55) выражается че­ рез модифицированные функции Бесселя. Это означает, что при определении напряжений должны быть использованы чис­ ленные методы. Чтобы получить аналитические выражения, в технические расчеты часто вводятся приближенные темпера­ турные поля.

Паркус [208] рассмотрел тонкий бесконечный диск, подвер­ гающийся воздействию точечного источника тепла постоянной интенсивности. Для квазистатического случая в пластической зоне было получено однородное напряженное состояние. На­ пряжения в бесконечном изолированном диске, нагреваемом кольцевым источником тепла с постоянной отдаваемой мощ­ ностью, исследовал Гамер [59]. На рис. 29 показаны типичные распределения переходных и остаточных напряжений для уп­ ругоидеальнопластического материала, подчиняющегося кри­ терию текучести Треска и ассоциированному закону течения.

При числовых расчетах использовалось точное решение урав­ нения теплопроводности для установившегося потока. Из ри­ сунка можно видеть, что основное значение имеют окружные напряжения, поэтому после охлаждения могут развиться ра­ диальные трещины, вызванные остаточными напряжениями.

Термопластическая деформация кольца при отсутствии теплообмена на поверхности исследовалась в работах [297, 299], при этом использовалось уравнение (4.55). Кольцо, из­ готовленное из материала, подчиняющегося критерию Треска,

Рис. 29. Переходные и остаточные напряжения в бесконечном упругопла­ стическом диске, подверженном воздействию кругового источника тепла [59]; 1 — источник тепла; т = at /А2 = 0,01.

со свойствами, не зависящими от температуры, нагревается по периферии. Течение начинается сперва на внутреннем крае. Теплообмен на поверхности задерживает течение во внешней зоне. Упругое кольцо, которое разделяет пластические обла­ сти, соответствующие различным режимам напряжений на ше­ стиугольнике Треска, исчезает лишь при бесконечно большом градиенте температур, аналогично случаю, изображенному на рис. 13.

Напряжения и деформации в круглом диске с заданной ис­ торией нагрева на внешнем крае рассматривались в работе [191] для случая идеально пластического материала. В [192] исследовалась аналогичная задача в предположении л и н е й *

ного падения предела упругости с повышением температуры. В обоих случаях применялись соотношения пластической тео­ рии течения. Чтобы упростить обсуждение основных особенно­ стей задач о переходных напряжениях, решение уравнения (4.55) было аппроксимировано при помощи соответствующего приближенного аналитического выражения.

В квазистатических задачах при изменении температуры пластические зоны образуются, распространяются и затем ис­ чезают. Некоторые аспекты данного вопроса уже рассматри­ вались в разд. 4.4 при обсуждении рис. 14. Вернемся теперь

к этому вопросу в связи с обсуждением переходного напря­ женного состояния в диске, в котором температура на перифе­ рии экспоненциально возрастает до постоянного значения, при­ чем внутри тела перемещаются различные упругопластические границы. Эта ситуация изображена на рис. 30. С течением времени на периферии начинается течение и упругопластиче­ ская граница £i смещается внутрь кольцевой области. В неко­ торый момент времени скорости пластических деформаций в зоне пластического нагружения становятся отрицательными. Поэтому в соответствующей частице происходит разгрузка, и пластическо-упругая граница £2 смещается внутрь. Затем воз­ никает и распространяется обратная текучесть, тогда как на­ чальная зона текучести исчезает при £1 = £2* Если градиент

температуры не изменяется, то упругопластическая граница перестает смещаться и окончательно достигается установив­ шееся состояние. На рис. 30 изображено распределение упру­ гих и пластических зон в каждый момент времени. При т = 1 температура периферии становится постоянной.

Из рисунка можно сделать вывод, что зависимость предела текучести от температуры существенно влияет на геометрию пластических зон и что чем больше глубина проникания пла­ стического состояния, тем резче уменьшение предела текуче­ сти при повышении температуры. Аналогичный анализ для

Рис. 31. Остаточные напряжения, остаточные деформации и смещения в диске [256].

упрочняющегося материала был проведен в [193]. Установлено, что упрочнение влияет только на протяженность зон обратной текучести. Как правило, влияние упрочнения больше для ма­ териалов с зависящим от температуры пределом текучести, так как пластическая деформация для них более заметна.

Остаточные деформации в кольцевом диске, изолирован­ ном на внешнем крае и подвергающемся действию постоян­ ного притока тепла на внутреннем крае, были определены в работе [256]. Рассматривался материал, подчиняющийся кри­ терию Губера — Мизеса, с зависящим от температуры преде­ лом текучести, при этом для поля температур использовалось приближенное решение уравнения (4.55). На рис. 31 показаны вычисленные остаточные деформации. Следует заметить, что в пластически деформированной зоне основное значение