книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

Д о к а з а т е л ь с т в о . Задача (33) непосредственно сле­ дует из определения s, теорем I, II и замечания, согласно ко­ торому требование k ^ 0 несущественно (поскольку ограни­ чения могут быть, очевидно, удовлетворены при k = 0). Аль­ тернативная, имеющая преимущества в вычислительном отношении формулировка (33а) основывается на теореме III. Формулировки (34) и (34а) получаются путем дуализации (33) и (33а) соответственно при интерпретации переменных двойственных задач как пластических множителей (это тре­ бует введения р). Таким образом, теорема доказана.

V Даже если (16) не выполняется, оптимальное значение /е° задач линейного программирования, включенных в IV, оп­ ределяет верхнюю границу для s.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Любое k в пределах k° < k < s оз­ начало бы приспособляемость, согласно определению s, и от­ сутствие приспособляемости, согласно теореме II. Отсюда

матрица, приспособляемость произойдет при произвольных на­ грузках Ft, Dt.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если (16) выполняется, теорема IV может быть применена. При det А Ф 0 ограничения задачи (34) являются несовместными при любом М. Но к ограниче­ ниям двойственной формулировки (33) это не относится, по­ этому, когда А — положительно определенная матрица, ква­ дратичная задача (31) допускает для любого М решение, которое одновременно является решением задачи (32) и, сле­ довательно, удовлетворяет ограничениям последней. Единст­ венная альтернатива состоит в том, что множитель k не огра­ ничен сверху во всей области, определяемой (33) [7], т. е. s = оо (что и требовалось доказать).

Замечания. Хотя переменные к* и к относятся к одним и тем же механическим величинам, их'роль, смысл и оптималь­ ные значения различны. Теория двойственности линейного программирования дает следующее «комбинаторное» соотно­ шение для решений задач (33) и (34):

Ввиду недостаточного объема статьи соотношения (35) и относящиеся к нему вопросы не могут быть здесь обсуждены (некоторые пояснения можно найти в [11] для более узкого изложения); это относится также к сопоставлению решений,

опирающихся на теорему IV, с аналогичными решениями при континуальном подходе.

Если Н и —Z симметричны и положительно полуопреде-

лены (это всегда выполняется для —Z при G = 0), то Ак = 0 требует одновременного выполнения:

с (6), (7) и уравнение (37) с (14а) означают соответственно,

что пластические деформации р, определяемые к, должны со­ ответствовать неизменяющимся поверхностям текучести и не должны приводить к возникновению напряжений (оба требо­ вания неприменимы в процессе пластического деформирова­ ния, они выполняются только в конце). Если G = 0, уравне­ ние (37) устанавливает, что деформации р совместны, т. е. определяет тип «механизма»; фактически оно становится экви­ валентным Nk = Си, как легко увидеть из (14). При G = 0 и также Н = 0 первичную и двойственную линейные задачи в IV можно без труда свести к статической и соответственно ки­ нематической матричным формулировкам, данным в [11] для задачи анализа приспособляемости в классической поста­ новке.

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

Процесс пластического течения it ^ 0 за некоторый интер­ вал времени т, характеризуемый свойствами

х

будет называться «допустимым пластическим циклом».

VII. Конструкция не приспособится, если

для каких-либо путей нагружения Ft, Dt внутри установлен­ ных границ их изменения и для некоторого допустимого пла­

стического цикла и соответствующих ему а?,

Вектор к, удовлетворяющий одновременно (38) и (45), отве­ чает ограничениям задачи (34) (при соответствующем, всегда возможном выборе р) и делает ее целевую функцию меньшей единицы. Отсюда минимальное значение k° задачи (34) и ко­ эффициент запаса s ^ k° также должны быть меньше еди­ ницы (что и требовалось доказать).

VIII. При выполнении условия (16) приспособляемость имеет место, если все значения Fti Dt, находящиеся внутри установленных пределов, и все допустимые пластические цик­ лы удовлетворяют неравенству

XX

До к а з а т е л ь с т в о . В классе всех комбинаций не свя­ занных между собой нагрузок и траекторий пластического те­ чения возможно выделить те, которые отвечают следующему

условию: в то время как некоторая компонента Xt больше нуля, остальные компоненты равны нулю и соответствующая

составляющая NQf достигает своего максимума. При таком процессе, с учетом определения (29) для Af, нестрогое нера­ венство (43), а следовательно, (44) выполняются как равен­ ства; отсюда из (46) следует

Это неравенство приводит к значению ^ 1 целевой функции задачи (34). Поскольку аналогичное заключение можно по­

лучить для любого Х} удовлетворяющего (38) и, следователь­ но, ограничениям задачи (34), соответствующее минимальное значение k° должно быть больше или равно единице. Таким образом, если (16) выполняется, s ^ 1 согласно IV (что и тре­ бовалось доказать).

Замечания. Работа, произведенная в течение пластического цикла, определяемого X на основании определяющих законов

лишь в определении (38).

Вследствие аналогии и симметрии по отношению к крите­ рию, выведенному из теорем I и II, можно легко преобразо­ вать теоремы VII, VIII в достаточное и необходимое «кине­ матическое» условие для неприспособляемости, основанное на (46) и удовлетворяющее ограничению (16). Отметим, однако, различие в уровнях общности теорем VII и VIII по сравне­ нию с (16) в зависимости от наличия упрочнения и (или) геометрических эффектов.

Частные случаи. Если G = 0 и Н = 0 (но еще при нали­ чии переменных дислокаций Dt), теоремы VII и VIII сводятся

кинематическую теорему предельного анализа.

ВЕРХНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Коэффициент запаса s, который был определен выше, ча­ сто дает неадекватную, а иногда лишенную смысла информа­

*) Автор, по-видимому, незнаком с советскими работами в данной области. Дислокационные члены (в частности, тепловые деформации) были

цию. Фактически, даже если приспособляемость должна про­ изойти (s > 1), развитие пластических деформаций может привести к одному из следующих последствий: а) чрезмерные перемещения сделают конструкцию неработоспособной или

(и) теорию ненадежной; б) напряжения превысят прочност­ ные характеристики хрупких элементов, которые может содер­ жать конструкция; в) будет исчерпана способность материала к деформированию; г) деформации превысят значения, при ко­ торых принятая идеализация поведения материала является обоснованной.

Методы, позволяющие контролировать эти ситуации, при­ обретают особое значение, когда учитываются упрочнение и геометрические эффекты: действительно, s = оо может быть в этом случае естественным и иногда очевидным результатом (см. теорему VI); но это скорее подчеркивает неадекватность приспособляемости критерию безопасности, чем лишает саму теорию практического значения. Представляется, что способы получения верхних оценок, рассматриваемые ниже, способны удовлетворить соответствующим требованиям и окажутся естественным, часто необходимым продолжением анализа, при котором определяется s.

Пусть Vs есть значение, принимаемое после приспособляе­

Если х есть А-я компонента и? или Q?, то вектор а есть Л-я

строка матрицы S~lCEN (равенство (13а)) или матрицы ZN (равенство (14а)) соответственно. Если а образуется верх­ ними строками, модифицированными путем замены всех от­ рицательных элементов нулями, то, поскольку fa ^ 0, равен­ ство (49) дает верхнюю границу Vm по отношению к макси­

мальному значению, достигнутому величиной tint или Qht в ин­ тервале 0 ^ ^ оо. Однако в большинстве практических слу­

чаев для имеющих значение составляющих ир, Qh (например, прогиб посредине пролета) можно легко предвидеть, что вели­ чина Vs в условиях приспособляемости будет представлять максимум; в этих случаях проверка возможностей (а) и (б) может быть выполнена просто путем добавления к Vs легко вычисляемых максимумов соответствующих упругих «слагае­

мых» max иму т а xQht без обращения к Vm.

/*

Если х есть составляющая fa, например fau то, очевидно, Vm= V s = fais- Величина, принимаемая fas при приспособ­ ляемости, может быть использована для проверки (в) и (г). Строгие критерии для (б), (в) и (г) включали бы нелинейную

функцию от к8. Однако, поскольку такие критерии представ­ ляются одновременно излишними для оценок, требуемых в большинстве случаев, и перекрываются более удобными обоб­ щениями, мы будем рассматривать ниже только общий метод получения верхних границ значений Vs на основе (49). По от­ ношению к этой задаче следующее утверждение является цен­ тральным.

До к а з а т е л ь с т в о . Покажем вначале, что ограничения

(51)—(55) определяют в пространстве X область А ( к * ) у к ко­ торой принадлежит вектор ks действительных пластических множителей в условиях приспособляемости. Согласно (30) и (33), а может быть заменена 5 в неравенстве (24), которое тогда совпадает с (55). Кроме того, (27), вытекающее из (24),

выполняется при а = s, и при помощи (21) и некоторых пре­ образований дает ограничение (54). Отсюда, с учетом (21) и

и (16) для А. Область Л(Х*) является непустой, поскольку, если s > 1, по крайней мере возможный вектор к = ks ей при­ надлежит; ограниченной, поскольку уже (52) и (53) четко определяют ограниченную область; выпуклой, поскольку ле­ вая часть (54) представляет выпуклую функцию вследствие того, что (16) и все другие ограничения линейны. Так как це­ левая функция (50) линейна, предполагаемые ограниченность и выпуклость обоснованы (что и требовалось доказать)

Пусть Л' есть область, содержащая определенную выше ■область Л. Следующие способы определения верхних границ

Частные случаи. При G = 0 и Н = 0 неравенства (53), (54) сводятся к ограничениям Койтера для полной пластиче­ ской работы [10]; формулировки (i), (iii) при Л7 = Л, исполь­ зуемые для ограничения компонент вектора Л*, совпадают с установленными Витиелло [13], который получил также об­ надеживающие числовые результаты. Представляется, что при s —> оо все изложенные выше выводы остаются неизмен­ ными.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

То, что сделано в этой работе, предназначено скорее в ка­ честве вклада в развитие теории приспособляемости, чем для совершенствования методов, доступных уже сейчас для реше­ ния частных задач. В заключение представляется уместным критическое рассмотрение достигнутых результатов.

а) Существенное значение изменений геометрии является очевидным во многих практических ситуациях, оно было вы­ яснено и изучалось ранее в [14]. Однако эти эффекты, насколь­ ко известно автору, игнорировались до сих пор в фундамен­ тальных теоремах о приспособляемости. Ограниченность под­ хода, с помощью которого они учитываются в представленной теории (как эффекты «второго порядка»), определяется ли­ нейностью уравнений совместности (1) и равновесия (2), в которых как матрица совместности С, так и матрица жест­ кости G предполагаются постоянными. Фактически геометри­ ческие эффекты учитываются только благодаря наличию «гео­

метрического члена» G(Q)ut в уравнении равновесия (1). Это достаточно верно в общем для инкрементальных процессов, начинающихся с какой-то конфигурации при нагружении, к ко­ торой относятся С и G. Балки, подверженные постоянным осе­ вым и переменным поперечным нагрузкам, несомненно, допу­ скают указанный подход (в диапазоне прогибов, для которых использование геометрии недеформированного состояния было бы законным при отсутствии осевых сил).

Аналогичное различие между постоянными напряжениями

Q, для которых значение геометрического члена в уравнениях равновесия считается существенным, и переменными напряже­ ниями Qt, для которых оно полагается несущественным, мо­ жет быть принято для тонкостенных конструкций различного типа; иногда может быть допущено приближенное вычисление

Q (например, для высоких рам, подверженных ветровым и большим весовым нагрузкам). Очевидно, что такая дифферен­ циация является произвольной, и ее точность во многих слу­ чаях неясна. Поэтому при наличии значительных геометриче­ ских эффектов данная теория «второго порядка» должна ис­

пользоваться с осторожностью, и присущие ей ограничения следует иметь в виду.

б) Кусочно-линейная аппроксимация поверхностей текуче­ сти является общепринятым приемом в прикладной пластич­ ности. Описание действительного поведения материала при деформационном упрочнении посредством переносно-взаимо- действующих плоскостей текучести еще не получило сравни­ тельной оценки на основании вычислительного опыта, но оно представляется наиболее естественным развитием ранее ис­ пользовавшихся аппроксимаций, в равной степени гибким и практически удобным.

в) Использование векторно-матричной аналитической фор­ мы записи обеспечивает компактность и простоту при предва­ рительном изучении и естественным образом устанавливает четкие связи между теорией и эффективным аппаратом мате­ матического программирования, предназначенным для ее при­ ложений. Рассмотренные дискретные модели конструкций включают, кроме некоторых элементарных конструкций стерж­ невого типа, сплошную среду с дискретизацией конечными элементами с постоянной деформацией. Данный тип дискре­ тизации, очевидно, не всегда удобен в вычислительном отно­ шении (это, конечно, относится к пластинкам и оболочкам), но особенно хорошо сочетает в себе общность и простоту; бо­ лее того, его сходимость при описании континуума имеет ин­ туитивное и вычислительное [3, 4], а также недавно получен­ ное теоретическое [15] обоснование.

Использование более современных конечноэлементных мо­ делей, в частности подходящих для пластин и оболочек, здесь не обсуждается; эта задача заслуживает дальнейшего изу­ чения. Модели с «сосредоточенными податливостями», уже успешно используемые в упругопластическом анализе пласти­ нок [16], представляются особенно перспективными для непо­ средственного приложения полученных в данной работе ре­ зультатов.

г) В расширенной теории, в отличие от классической, ос­ новное значение имеют два элемента: распределение пласти­ ческих множителей (X) и оператор (Z), преобразующий пла­ стические деформации в соответствующие напряжения. По­ следний намного проще реализуется для дискретизированной конструкции, чем при тензорном описании среды, где он при­ нимает форму, которая обсуждалась в [17].

Размерность первого вектора X может быть уменьшена при численном решении прикладных задач (в частности, при вы­ числении верхних границ [13]) путем пренебрежения теми ре­ жимами течения, которые предположительно (априори) нереализуются в процессе нагружения конструкции.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Матрицы и векторы-столбцы изображаются полужирным шрифтом; 0 — матрица или вектор, в которых все элементы равны нулю; тильда ~ означает транспонирование; точка — производную по времени; s — коэффициент запаса; е — при­ надлежность к некоторой области. Под нагрузками понимают­ ся внешние силы и дислокации (например, тепловые деформа­ ции).

Индекс t внизу означает зависимость от текущего времени, индексами е и р сверху отмечены величины, являющиеся ре­ зультатом упругого деформирования при приложении нагру­ зок или вследствие наложенных пластических деформаций со­ ответственно.

F, и суть я-мерные векторы от всех компонент внешних сил и перемещений соответственно, приложенных в свободных уз­ лах.

q, е, р, D, Q суть m-мерные векторы от всех компонент соответственно: общей, упругой, пластической обобщенных деформаций: дислокаций; обобщенных напряжений. Они рас­ членены на подвекторы, каждый из которых относится к соот­ ветствующему конечному элементу, согласно установленной последовательности.

К Ф* К суть (/-мерные векторы пластических множителей, пластических потенциалов (предполагаемых линейными) и по­ ложительных постоянных соответственно для всех (у) режи­ мов течения в конструкции, с подразделением по элементам в том же порядке.

G — геометрическая матрица упругой жесткости конструк­

упругой жесткости конечного элемента i (индекс i пробегает в установленном порядке номера всех элементов).

внешние нормальные векторы к плоскостям текучести в про­ странстве напряжений i-го конечного элемента.

Н = diag W — диагональная блочная матрица размера У У, У где Я' — матрица коэффициентов упрочнения, которые управляют перемещениями плоскостей текучести i-го элемента в соответствии с происходящим пластическим течением.

Z — матрица размера т у т , преобразующая векторы дислокаций в соответствующие векторы напряжений.

Определение других обозначений дано там, где они исполь­ зуются впервые.