книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfного с точностью до множителя, и применении теоремы Мелана для нахождения наибольшего возможного значения этого множителя для рассматриваемой программы нагружения. Поле остаточных напряжений обычно задается в виде термо упругого решения.
Пусть конструкция подвергается действию механической нагрузки. Если считать поведение материала чисто упругим, то поле напряжений будет линейно зависеть от параметра нагружения р\ следовательно,
аеи (х, t) = p(t)r\eu (x), |
(5.5) |
где х\еи — единичное поле напряжения, зависящее только от
положения частицы. Предположим, кроме того, что вид поля остаточных напряжений определяется выражением
о?/= 7 (О Л?/ М> |
(5.6) |
где q — неопределенный множитель, а л?/ — единичное |
поле, |
удовлетворяющее однородным граничным условиям для на пряжений.
Согласно теореме Мелана, наложенные поля напряжений (5.5) и (5.6) должны удовлетворять условию текучести
Ф((Т,/)= ф (р л :/ + К /) = У" |
(6J) |
Задача состоит в нахождении такого значения q, при котором область изменения р будет как можно большей. Для фикси рованной точки х требование (5.7) определяет кривую на пло скости множителей (р, q). Поэтому для совокупности точек конструкции оно задает семейство кривых. Огибающей этого семейства является не зависящая от времени кривая f(q,p) = = 0, ограничивающая область приспособляемости снизу. Опи санная процедура легко распространяется на случай нагруже ния со многими параметрами.
Вкачестве примера рассмотрим диск постоянной толщины
ирадиуса В. Диск вращается с угловой скоростью со и нахо дится в поле температур
0 ( р ) = = 0 О + 0 i p 2 , 9 = R I B , ( 5 . 8 )
где R — текущий |
радиус. Для |
удобства введем |
следующие |
||
безразмерные нагрузки: |
|
|
|
||
|
v |
з + v |
в2со2 |
t — '/2 |
(5.9) |
Р ~ |
8 |
8 |
К„ |
||
где у — плотность материала.
Если предположить материал линейно-упругим, то напря жения, обусловленные инерцией и действием температурного поля, соответственно выражаются в виде
of = pY0(1 - |
Р2), |
ст* |
= |
pY0(1 - хр2), |
(5.10) |
о* = Чг 1У00 |
~ Р 2). |
< |
= |
'/a(Y0d ~ Зр2), |
(5.11) |
где х = (1 + 3v)/(3 — v).
Предположим, что поле остаточных напряжений является
полем типа |
(5.11) и определяется с точностью до скалярного |
множителя q выражениями |
|
а? = |
- ' / 2 ^ 0( 1 - Р 2). <== — 72^0 (1 — Зр»)- (5.12) |
Таким образом, результирующее поле напряжений принимает вид
<ТГ/У0= |
( 1 - Р 2) [ Р |
+ |
72 (/ - ? )] . |
сГф/Ко = |
р (1 — хр2) |
+ |
7г (i — я) (1 — Зр2). |
Нашей целью является нахождение области приспособляемости с использованием теоремы Мелана, причем программа нагружения такова:
0 < р < р 0, |
(5.14) |
Подставляя (5.13) в условие текучести Губера — Мизеса, мы будем искать для всех точек в области 0 ^ р ^ 1 наибольшее возможное значение q, допускаемое программой нагружения (5.14). Оказалось, что наиболее строгие требования касаются частиц р = 0 и р = 1 Соответствующее значение q, допускае мое программой нагружения, можно найти путем непосред ственного анализа основных неравенств [251].
Если ро — разрушающая нагрузка, обусловленная только силой инерции, a U — максимально возможная область изме нения температуры, которая не приводит к текучести, причем
Ро= 3/(3 + к), t0 = 4У/а£, |
(5.15) |
то соответствующая область приспособляемости имеет вид, показанный на рис. 36. Так как при выводе использовалось требование (5.7), то граница представляет нижнюю оценку для кривой взаимодействия приспособляемости в случае рас сматриваемого взаимодействия температуры и вращения.
Этот метод использовался Д. А. Гохфельдом и О. Ф. Чер нявским [76, 77], применившими процедуру линейного програм мирования к анализу приспособляемости пластин. В. И. Фо мин [54] рассмотрел толстостенную трубу в условиях комбини рованного нагрева и давления. Л. И. Фридман [57] и И. 3. Паллей [204] рассмотрели вращающийся диск при произвольном
изменении температуры. Дополнительную литературу можно найти в книге Д. А. Гохфельда [75].
Ряд работ посвящен определению пластических деформа ций при тепловом циклическом нагружении, сопровождаю щемся действием постоянного давления.
В тех случаях, когда давление достаточно велико, происхо дит инкрементальное разрушение, т. е. пластические деформа ции возрастают при каждом цикле нагрева. Другая возмож ная ситуация — возникновение циклического пластического
Рис. 36. Приспособляемость вращающегося диска [251, 75]; 1 — инкремен тальное разрушение; v = 0,5; ta= 4К0/£а; р0 — 3/(3 + х).
течения. В этом последнем случае пластические деформации, которые возрастают в первой части цикла, снимаются на его заключительной части, в конечном счете происходит усталост ное разрушение конструкции.
В работах этой группы используется обобщенная теорема Койтера, хотя первые работы на нее явно не ссылаются. Д. А. Гохфельд [69, 71] рассмотрел инкрементальное разруше ние вращающегося диска. Соответствующее условие инкремен тального разрушения, выраженное с использованием величин,
определяемых согласно |
(5.9) и (5.15), принимает вид |
р |
, 2 У з ^ ___ |
Ро + |
9 |
t0 ~ |
(5.16) |
На рис. 36 оно показано пунктиром. Мы привели здесь выра жение (5.16) для того, чтобы проиллюстрировать различие между кривыми взаимодействия приспособляемости, получен ными двумя способами — из теоремы Мелана и из теории ин крементального разрушения.
Инкрементальное разрушение толстостенных сфер и ци линдров рассматривалось Д. А. Гохфельдом [70, 71], а инкре ментальное разрушение конической оболочки — О. Ф. Черняв ским [23].
Теорема Койтера утверждает, что при программе нагруже ния со многими параметрами p(x,t) = \ii(t)pi(x) для кине
матически допустимого поля скоростей v(x, t) |
выполнение не |
|||
равенства |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
^ dt |
^ |
у.#!? d A ^ ^ d t |
(e^) dV |
(5.17) |
0 |
A |
0 |
V |
|
гарантирует инкрементальное или малоцикловое разрушение конструкции. Через D(e^) обозначена диссипация, т. е. D =
= ai t f r
Для инкрементального разрушения, соответствующего фак тически рассматриваемому механизму, ё^у в (5.17) можно про
интегрировать по замкнутому циклу нагружения, что дает
$ о*, Де?, d V = ^ D (ДгРи) dV. |
(5.18) |
|
V |
V |
|
Левая часть (5.18) подчиняется условию e*it Ае^у > 0, причем а*у — не зависящее от времени поле фиктивных напряжений.
Поле фиктивных напряжений определяет не зависящую от вре мени огибающую всех упругих напряжений, которые могут возникнуть в рассматриваемой конструкции при данной про грамме нагружения. Через Де£у обозначено приращение пла
стической деформации, достигнутое на рассматриваемом цикле нагружения, хотя эффективное движение может проис ходить только на части этого цикла. Так как множители на грузки входят в (5.18) через а*у, это соотношение в конечном
счете дает поверхность взаимодействия для рассматриваемого инкрементального разрушения. Условия инкрементального разрушения изучались Д. А. Гохфельдом [72—75] и Савчуком [255]. Теоремы приспособляемости и некоторые их следствия обсуждались Кёнигом [128].
Циклическая пластическая деформация «противоположного знака» будет иметь место тогда, когда разность между значе ниями максимального «положительного» сг^ и «отрицатель-
лого» <j-j напряжений, достигаемых при рассматриваемой про
грамме нагружения, удовлетворяет условию |
|
Ф ( а + - а Г/)> (2У Г . |
(5.19) |
Это означает, что разности упругих напряжений для данной программы при подстановке их в рассматриваемое условие текучести Ф(а//) = Yn превышают вдвое значение предела те кучести. Этот вопрос обсуждал Д. А. Гохфельд [75].
Примеры, относящиеся к инкрементальному разрушению цилиндрических оболочек и круглых пластинок, подвержен ных действию термических и механических нагрузок, можно найти в книге Д. А. Гохфельда [75]. Экспериментальные дан ные по термическому разрушению дисков приведены в рабо тах [ПО, 126, 75]. Инкрементальное возрастание пластических деформаций под действием циклического нагрева рассматри валось в работах [79, 80, 47] применительно к оболочкам и в [48] применительно к пластинкам.
Применение линейного программирования к термомехани ческому инкрементальному разрушению рассматривалось Д. А. Гохфельдом и О. Ф. Чернявским [77, 78]. Задачи терми ческой приспособляемости изучались также Л. И. Фридманом [55,56] и Ю. Н. Шевченко [268]. Широкое изложение цикличе ской термопластичности применительно к задачам приспособ ляемости можно найти в специальной монографии Д. А. Гох фельда [75].
б.З. Разрыхление
Термическим разрыхлением принято называть увеличение объема металла, вызванное циклическим потоком тепла и не измененными нагрузками. Действие чередующихся термиче ского и теплового нагружений может вызвать монотонно воз растающую деформацию даже в том случае, когда при после довательных циклах величина внешних нагрузок не увеличи вается и остается ниже предела текучести. Увеличение объема материала вызвано комбинированным действием температуры и текучести. В конечном счете конструкция выходит из строя вследствие чрезмерных деформаций, а не из-за термической усталости.
Так, например, изолирующий кожух реактора подвержен действию внутреннего давления, вызванного выделением газо образных продуктов распада. Кожух испытывает также высо кие термические напряжения, порожденные чередующимися потоками тепла, циклически изменяющимися при каждом за пуске и остановке реактора. При некоторых условиях для на пряжений при каждом цикле нагрева могут возникнуть пла стические деформации. Эти пластические деформации из-за
их необратимого характера накопляются и приводят к про грессирующему увеличению размеров кожуха. Разрыхление оказывает отрицательное влияние на скорость охлаждающего потока, поэтому необходимо определить приращение деформа ции за каждый цикл.
При комбинированном действии термического и механиче ского нагружений напряжения и деформации могут зависеть от порядка приложения термической и других нагрузок. По этому при анализе деформаций существенна история нагру жения.
Прежде чем приступить к краткому обсуждению работ по разрыхлению, рассмотрим элементарный пример упруго идеальнопластической конструкции. Конструкция, состоящая из стержня с поперечным сечением А и трубы того же попе речного сечения, подвергается циклическому нагреву и дей ствию постоянной внешней нагрузки Р. Стержень помещен в центр трубы. Он последовательно нагревается до темпера туры 0 и охлаждается до исходной температуры, а темпера тура трубы сохраняет постоянное исходное значение. Такой неоднородный нагрев приводит к температурным напряже ниям. Если напряжения, вызванные осевой нагрузкой, доста точно высоки, тепловое удлинение стержня за первую поло вину цикла вызовет течение трубы при растяжении, Возник нет перераспределение напряжений, так что труба сможет выдержать большую нагрузку.
При охлаждении стержня произойдет разгрузка трубы, тог да в стержне возникнет пластическое течение при растяже нии. Таким образом, при каждом цикле будет иметь место некоторое пластическое удлинение стержня и трубы. Вычисле ния показывают, что при замкнутом цикле нагрева и охлажде ния приращение деформации выражается в виде
Де = |
а0 + 4 (a — Y)/E, |
(5.20) |
где а = Р/2А — среднее |
напряжение. |
|
Из (5.20) видно, что при а яз Y приращение длины будет близко к а0. Для того чтобы возникло разрыхление, среднее напряжение должно, очевидно, удовлетворять условию
4(т > 4У — Еа0.
Подробное изложение задач о разрыхлении можно найти в работах [36, 162]. Миллер [174] рассматривал накопление пластических деформаций в сосудах давления. Аналогичные
вопросы |
анализировались |
в статьях |
Эдмундса и Бира |
||
(1961 г.), а также в [173, 281]. Задачам |
разрыхления |
посвя |
|||
щен сборник работ под редакцией Литтлера [152]. |
|
||||
В работах [47, |
48] рассматривалось прогрессирующее из |
||||
менение |
размеров |
и формы |
циклически |
нагреваемых |
труб и |
14. Boley В. A. The analysis о! problems о! heat conduction |
and |
melting. |
|
In: High Temperature Structures |
and Materials. — Proc. |
3rd Symp. |
|
Naval Struct. Mechanics, Oxford: |
Pergamon Press, 1964, |
p. |
260. |
15.Boley B. A. Temperature and deformations in rods and plates melting under internal heat generation.— First Int. Conf. Struct. Mech. Reactor
Techn, Berlin |
1971, Paper L 2/3. |
field |
of heat |
conduction |
16. Boley B. A. Survey of recent developments in |
||||
in solids and |
thermo-elasticity, Nuclear Engng. |
and |
Design, |
18 (1972), |
377.
17.Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений.—М.: Мир, I960.
18.Вгее J. Elastic-plastic behaviour of thin tubes subjected to internal
pressure and intermittent high-heat fluxes with application to fast-nuc- lear-reactor fuel elements. — J. Strain Analysis, 2 (1967), 226. ,
19.Bridgman P. W. The thermodynamics of plastic deformation and ge neralized entropy. — Rev. Mod. Phys., 22 (1950), 56.
20.Campbell J. D., Cooper R. H. Yield and flow of low-carbon steel at medium strain rates.—Proc. Conf. Phys. Basis Yield Fracture, 1967, p. 77
21.Campbell J. D., Ferguson W. G. The temperature and strain-rate depen
dence of the shear strength of mild steel.— Philos. Mag., 21 (1970), 63
22.Casimir H. B. G. On Onsager’s principle of microscopic reversibility.— Rev. Mod. Phys, 17 (1945), 343.
23.Чернявский О. Ф. Несущая способность идеально пластической кони* ческой оболочки при теплосменах. — В сб.: Тепловые напряжения эле
ментов конструкций. — Киев: Наукова думка, 1970, № 10, с. 166.
24. Chiddister J. L, Malvern L. Е. |
Compression-impact testing of alumi |
||
nium at |
elevated temperature. — Exp. Mech, |
3 (1963), 81. |
|
25. Chmelka |
F. Warmespannungen |
in einem |
Prandtl — Reussschen Kor- |
per. — Ost. Ing.-Arch, 10 (1956), |
133. |
|
|
26.Coleman B. D. Thermodynamics of materials with memory. — Arch. Ra tion. Mech. and Analysis, 17 (1964).
27. Coleman B. D. On -thermodynamics, strain |
impulses and viscoelastici |
ty .— Arch. Ration. Mech. and Analysis, 17 |
(1964), 230. |
28.Coleman B. D, Gurtin M. E. Thermodynamics with internal state va riables. - J. Chem. Phys., 47 (1967), 597.
29.Coleman B. D , Mizel V. J. Existence of caloric equations of state in thermodynamics. — J. Chem. Phys, 40 (1964), 1116.
30.Coleman B. D , Noll W. The thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity. — Arch. Ration. Mech. and Analysis, 13 (1963) , 167.
31. |
Coleman |
B. |
D, |
Mizel V. J. A general theory of dissipation in mate |
||||||
|
rials |
with |
memory. — Arch. Ration. |
Mech. |
and |
Analysis, |
27 |
(1968), |
||
|
255. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32. |
Coleman |
B. D , |
Noll W. Foundations of linear |
visco-elasticity. — Rev. |
||||||
33. |
Mod. Phys, 33 (1961), 239. |
|
of |
metals.— J. |
Metals, 16 |
|||||
Conrad H. Thermally activated deformation |
||||||||||
34. |
(1964) , 582. |
|
|
|
|
|
|
|||
Cowper G. R. The elasto-plastic thick-walled sphere subjected to a ra |
||||||||||
|
dial |
temperature |
gradient. — J. Appl. Mech, 27 (1960), 496. |
|
|
|||||
35. Даниловская В. |
И. Упруго-пластическая симметричная деформация |
|||||||||
|
толстостенной трубы с учетом неравномерности распределения темпе |
|||||||||
|
ратуры |
вдоль |
радиуса. — Прикл. |
механ, |
АН УССР, |
1 |
(1965), |
|||
№6, 8.
36.Давиденков Н. Н , Лихачев В. А. Необратимое формоизменение ме
таллов при циклическом тепловом воздействии. — М.: Машгиз, 1962.
37.Derrington М. G. The outset in thick cylinder subjected to uniform in
ternal or external pressure and steady heat flow, — Int. J. Mech. Sci, 4 (1962), 83.
38. Се Donato О., Second shakedown theorem for cycles of both loads and
temperature. — Rend. Inst. Lomb. Sci. Lett., |
A104 |
(1970), |
265. |
|
39. De Groot S. R. Thermodynamics of irreversible |
processes. — Amster |
|||
dam: North-Holland Publ., 1966. |
Mech. and |
Phys. |
Solids, |
|
40. Dillon 0. W. Coupled thermoplasticity. — J. |
||||
11(1963), 21.
41.De Groot S. R., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. — Amster dam: North-Holland Publ., 1962.
42.Drucker D. C. Extension of the stability postulate with emphasis on temperature changes.— In: Plasticity Proc. Second Symp. Naval Struc
43. |
tural Mech. — Oxford :Pergamon |
Press, 1960, p. |
170. |
thermodyna |
|||||||
Drucker D. C. Stress-strain-time relation |
and |
irreversible |
|||||||||
|
mics. — Proc. |
Int. |
Symp. |
Second |
Order |
Effects |
Elasticity, |
Plasticity |
|||
44. |
Fluid Dyn., 1962, p. 331. |
Neutron |
irradiation |
and the yield |
surfaces |
||||||
Dudderar T. |
D., |
Duffy J. |
|||||||||
|
of copper. — J. Appl. Mech., 33 |
(1966); |
русский |
перевод: |
Прикл. ме- |
||||||
|
хан. — М.: Мир, 1966. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
45. |
Eckart С. The thermodynamics of irreversible processes. I. The simple |
|||||||
|
fluid. |
II. |
Fluid mixtures. |
III. |
Relativistic |
theory of simple fluid. — |
||
46. |
Phys. |
Rev., 58 |
(1940), 267. |
of |
elasticity and |
anelasticity. — Phys. Rev., |
||
Eckart |
С. |
IV. |
The theory |
|||||
|
73 |
(1948), |
373. |
|
|
|
|
|
47.Ермаков П. И. Исследование необратимого формоизменения цилиндра при теплосменах. — В сб.: Тепловые напряжения элементов конструк ций.— Киев: Наукова думка, 1964, вып. 4, с. 214.
48.Ермаков П. И., Морозов В. И., Несмеянов А. С. Необратимое формо
|
изменение |
пластин |
при теплосменах. — В |
сб.: Тепловые напряжения |
49. |
элементов |
конструкций. — Киев: Наукова |
думка, 1970, вып. ТО, с. 87. |
|
Evans A. |
G., Rawlings R. D. The thermally activated deformation of |
|||
50. |
crystalline |
materials. — Phys. Status Solidi, |
34 (1969), 9. |
|
Ferguson W. G., Kumar A., Dorn J. E. Dislocation damping in alumi |
||||
|
nium at high strain |
rate. — J. Appl. Phys., 38 (1967), 1863. |
||
51.Fine A. D. Continuity conditions at wave fronts in coupled thermo plasticity.— Quart. Appl. Math., 26 (1967), 121.
52. Fine A. D., Kraus H. On wave propagation in thermoplastic media. —
J. Appl. Mech., 33 (1966), 514.
53.Финкелыитейн Б. H. Условия возникновения пластической деформации
|
в телах |
простейшей |
формы, резко охлажденных |
с поверхности. — |
|||
54. |
Журн. техн. физ., 18 (1948). 1026. |
|
|
|
|||
Фомин В. И. О приспособляемости упруго-пластических труб при воз |
|||||||
|
действии |
теплового |
поля и равномерного внешнего |
давления. — Изв. |
|||
55. |
АН СССР, Механ. и машиностр., 1962, № 1, 149. |
|
|
||||
Фридман Л. И. Изменение пластических деформаций при многократ |
|||||||
|
ных |
неравномерных |
нагревах. — В |
сб.: Тепловые |
напряжения элемен |
||
|
тов |
конструкций. — Киев: Наукова |
думка, 1963, |
вып. 3, с. 120. |
|||
56.Фридман Л. И. Непрерывный рост пластических деформаций при многократных обратных нагревах. — В сб.: Тепловые напряжения эле ментов конструкций, 1964, вып. 4, с. 204.
57.Фридман Л. И. Приспособляемость неравномерно нагретого вращаю
щегося диска. — В |
сб.: Тепловые напряжения элементов конструк |
|
ций — Киев: Наукова думка, 1967, вып. 7, с. 108. |
||
58. Friedman |
Е., Boley |
В. A., Stresses and deformations in melting pla |
tes.— J. |
Spacecraft |
Rock., 7 (19701, 324. |
59.Gamer U Ein radialsymmetriscnen Warmespannungzustand in der ideal-plastischen Scheibe. — Ing.-Arch., 36 (1967), 174.
60.Gibbs G. B. The thermodynamics of creep deformation. — Phys. Status Solidi, 5 (1964), 693.
61.Gibbs G. В. The activation parameters for dislocation glide. — Philos. Mag., 8, 16 (1967), 97.
62.Giles R. Mathematical foundations of thermodynamics. — Oxford: Per-
63. |
gamon |
Press, |
1964. |
|
mechanics.— J. |
Math. |
Phys., |
11 |
|||
Giles R. Foundations for quantum |
|||||||||||
64. |
(1970), |
2139. |
|
Dynamical |
dislocation |
theory of crystal |
pla |
||||
Gillis P. P., Gilman J. J. |
|||||||||||
|
sticity. |
I. The yield stress. II. Easy glide and strain hardening.— |
|||||||||
65. |
J. Appl. |
Phys., |
36 (1965), |
3370. |
|
flow |
at |
constant |
stress.— |
||
Gilman |
J. J. |
Microdynamics of plasic |
|||||||||
|
J. Appl. |
Phys., |
36 (1965), |
2772. |
|
theory |
of |
plasticity. — Proc. |
|||
66. Gilman |
J. J. |
Progress in |
microdynamical |
||||||||
U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. 5th, 1966, p. 385.
67.Gilman J. J. Dynamic behavior of dislocations. — Symp. Mech. Behav., Mater. Dyn. Loads, 1967, p. 152.
68. Gilman J. J. Dislocation dynamics and the response materials to im pact.— Appl. Mech. Rev., 21 (1968), 767.
69.Гохфельд Д. А. Приспособляемость многопараметрических систем при неравномерном нагреве. — В сб.: Тепловые напряжения элементов кон струкций. — Киев: Наукова думка, 1964, вып. 4, с. 191.
70.Гохфельд Д. А. О прогрессивном разрушении в условиях теплосмен.— Прикл. механ., АН УССР, 1 (1965), № 6 , 26.
71.Гохфельд Д. А. Несущая способность диска турбины при не-
установившихся условиях работы. — Машиностроение, 1965, № 6,
61.
72.Гохфельд Д. А. Некоторые задачи теории приспособляемости пластин
иоболочек. — Труды Всесоюзной конференции по оболочкам и пла стинам, Баку, 1966. — М.: Наука, 1966.
73.Гохфельд Д. А. Теоремы и методы теории приспособляемости упруго пластических тел. — В сб.: Тепловые напряжения элементов конструк ций. — Киев: Наукова думка, 1967, вып. 7, с. 93.
74.Гохфельд Д. А. О применении теоремы Койтера к задачам приспо
собляемости неравномерно |
нагретых упруго-пластических тел. — |
Прикл. механ., АН УССР, 3 |
(1967), № 8 , 41. |
75.Гохфельд Д. А. Несущая способность конструкций при циклических тепловых воздействиях. — М.: Машиностроение, 1970.
76.Гохфельд Д. А., Чернявский О. Ф. Применение методов линейного программирования к некоторым двумерным задачам предельного рав
новесия и приспособляемости в статической формулировке. — В сб.: Тепловые напряжения элементов конструкций. — Киев: Наукова дум ка, 1967, вып. 7, с. 103
77.Гохфельд Д. А., Чернявский О. Ф. Применение методов линейного программирования к задачам приспособляемости в кинематической
формулировке.— В сб.: |
Тепловые напряжения |
элементов конструк |
ций. — Киев: Наукова думка, 1970, вып. 9, с. 273. |
|
|
78. Gokhfeld A. D., Chernyavskii О. F. Methods of |
solving problems in |
|
the shakedown theory of |
continua. — In: Problems |
in Plasticity. — Gro |
ningen: Wolters-Noordhoff, 1973.
79.Гохфельд Д. А., Ермаков П. И. Расчет толстостенных цилиндров на повторные воздействия давления и температуры. — В сб.: Тепловые напряжения элементов конструкций. — Киев: Наукова думка, 1963,
№3, с. 111.
80.Гохфельд Д. А., Ермаков П. И. Приспособляемость толстостенных труб при неравномерном нагреве. — Журн. прикл. механ. и техн. физ., 1963, N° 3, 107.
81.Гольденблат И. И., Николаенко Н. А. Определение температурных напряжений в ядерных реакторах. — М.: Госатомиздат, 1962.