книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

проникания пластических зон зависит от тепловых граничных условий. Эти вопросы рассматривались Ранецким [242] и бу­ дут обсуждаться ниже.

Рассмотрев рост пластических зон и последующую раз­ грузку при понижении температуры, перейдем к другим харак­ терным аспектам переходных термопластических напряжений: зависящему от времени распределению напряжений и остаточ­ ным напряжениям. С этой целью используем результаты, по­ лученные в работе [100], относящиеся к сфере, изготовленной

Рис. 14. Упругие и пластические зоны во внезапно охлажденной сфере [207] / — фронт текучести; 2 — фронт разгрузки; р = У/(6Оа0о).

из упрочняющегося материала, обладающего механическими и термическими свойствами, не зависящими от температуры.

Закон упрочнения для материала сферы можно записать в виде

(4.38)

*$= - ( * г- * ф)/2Я,

где Н — модуль упрочнения, постоянный в рассматриваемом случае. Закон течения (4.5) принимает теперь вид

Таким образом, при активном нагружении материал изотроп­ но упрочняется с постоянной скоростью, тогда как при раз­ грузке он подчиняется закону линейной упругости.

Комбинируя уравнения (4.39) и (4.26), записанные в ско­ ростях, можно получить соотношения совместности в форме дифференциального уравнения для скоростей изменения на­ пряжений. Равенство

(4.41)

совместно с уравнением равновесия (4.24) образуют систему соотношений для решения данной задачи, если температурное поле известно, например оно задано выражением (4.33). В ра­ боте [100] численно проинтегрированы уравнения этой задачи, причем для температуры приняты значения, получающиеся из (4.1) с учетом поверхностного теплообмена. На рис. 15 пока­ зано распределение напряжений, полученное для определен­ ного соотношения Е/Н и числа Био т = 5.

Из этого рисунка видно, что в сфере, которая первоначаль­ но имела температуру 0О, после помещения ее в среду с тем­ пературой 0 = 0 с течением времени происходит существен­ ное перераспределение напряжений. На ранней стадии охла­ ждения развиваются высокие растягивающие тангенциальные напряжения. В определенный период в центральной части воз­ никают высокие сжимающие напряжения. Остаточные напря­ жения соответствуют моменту времени t = оо и приводят к вы­ сокому сжатию у поверхности. Дальнейшие данные, относящие­ ся к влиянию упрочнения, глубине пластических зон, течению обратного знака и использованной технике вычислений, при­ ведены в цитированной работе. Представленные здесь частич­ ные результаты дали возможность привести основные соотно­ шения и процедуру их решения применительно к квазистатическим задачам термопластичности.

На сравнительно простом примере мы покажем иной ас­ пект анализа термопластических напряжений, а именно влия­ ние поверхностного теплообмена на поле остаточных напря­ жений в упругопластических телах. Этот вопрос изучали В. Ф. Грибанов [89] и Ранецкий [241] и на примере показали большое значение указанного фактора.

Решение уравнения теплопроводности (4.1) при граничном условии теплообмена kdQ/dR = Qh на поверхности R = В за­

Пш.\ "L П J

Рис. 15. Поля переходных и остаточных напряжений в упрочняющейся

В (4.42) через Ьп обозначены последовательные корни урав­ нения b ctg b + m — 1 = 0 . Коль скоро распределение темпе­ ратуры известно, напряжения определяются согласно (4.35) и (4.36).

На рис. 16 показаны некоторые результаты, полученные Ранецким [242] для упрочняющейся сферы при Н/Е = 0,022. Видно, что поверхностный теплообмен значительно изменяет поле остаточных напряжений. Приняв пг = с», т. е. пренебре­ гая контактным сопротивлением, мы завышаем значения

остаточных напряжений. Этот факт следует учитывать при изучении закалки.

Термопластическим сферам было посвящено много работ. В дополнение к уже упомянутым для полноты картины ука­ жем еще несколько. Уравнения для переходных напряжений в упругоидеальнопластической сфере при закалке для тем­ пературного поля (4.33) даны Б. Я. Любовым и Б. Н. Финкельштейном [156]. Величина падения температуры, необходи­ мая для создания первой текучести, была найдена Б. Н. Фин-

Рис. 16. Влияние поверхностного теплообмена на остаточные напряжения в упругопластической сфере [242]; т = hB/k', (1 — v ) Y 0/( E a 6 0) = 0,4; Н / Е —

= 0,0222.

кельштейном [63]. Соотношения деформационной теории пла­ стичности были применены В. А. Ломакиным [153] для ана­ лиза термических напряжений. Однако корректные решения для остаточных напряжений были даны позже Паркусом [207]

иХуанем [100].

В.М. Соболевский [270] применил деформационную тео­ рию пластичности при изучении текучести в полой сфере, подвергающейся совместному воздействию давления и на­ грева. Рогоэинский [248] вывел уравнения для случая линей­ ного понижения предела текучести при повышении темпера­ туры. Аггарвала [1] рассмотрел аналогичный вопрос для упру­ говязкопластического материала и произвольной зависимости предела текучести от температуры. В. А. Ломакин [153] уста­ новил, что величина коэффициента поверхностной теплопро­

водности имеет большое значение для остаточных напряже­ ний. Общее решение для упрочняющейся сферы с не завися­ щими от температуры свойствами материала было дано Ранецким [239, 241]. Названные работы содержат тщательное рассмотрение вопросов, касающихся поля переходных напря­ жений, зон нагружения и разгрузки и движущихся упругопла­ стических границ.

4.5. Проблема связанной термопластичнооти

Теории связанного термомеханического поведения учиты­ вают взаимосвязь напряжений и температуры. Неоднородное температурное поле создает напряжения, в свою очередь де­ формационные процессы приводят к изменениям температуры и образованию в телах тепловых потоков. Поэтому энергети­ ческое уравнение теплопроводности содержит дополнительный член, обусловленный тепловыми источниками, связанными с деформациями. Характерной особенностью такой связанной теории является совместное определение температуры и де­ формаций. В теории линейной термоупругости проблема хоро­ шо изучена и тщательно разработана в монографиях В. Новацкого [187, 188].

Эффекты взаимосвязи более явно выражены в пластично­ сти, так как пластические, деформации могут вызвать в неко­ торых материалах заметное повышение температуры.

В случае простейших взаимодействий уравнение теплопро­ водности дополняется соответствующим членом, учитываю­ щим выделение тепла за счет пластической дисторсии. Так как термопластические взаимодействия уже обсуждались в разд. 2, сошлемся здесь только на работы [181, 282, 303, 40]. В последней из них получено простое выражение для повыше­ ния температуры в процессе пластической работы. Нид и Баттерман [183] применили эту теорию для решения краевой за­

Все константы материала считаются не зависящими от темпе­ ратуры. Сосуд подвергается равномерному возрастающему внутреннему давлению (см. рис. 17). В уравнении теплопро­ водности учитывается только источник, связанный с диссипа­ цией пластической работы; взаимодействия в упругой области считаются пренебрежимо малыми.

Когда давление возрастает, сфера сначала ведет себя как упругое тело. Затем возникает течение на внутренней поверх­ ности радиуса R = А. При дальнейшем возрастании давле­ ния пластическая область расширяется, и упругопластическая граница %А смещается. В пластической зоне работа диссипируется в виде тепла, которое вызывает повышение темпера­ туры и распространяется в упругую область. В конечном счете

распределение напряжений в сфере изменяется. Если предпо­ ложить, что теплопроводность пренебрежимо мала, то непо­ средственно изменятся напряжения только в пластической зоне.

Этот частный случай изучен в работе [183]. Рост темпера­ туры происходит только в пластической области, и уравнения для связанных термопластических напряжений сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению. В случае ког­ да теплопроводность незначительна, рассматриваемая задача

Если не пренебрегать инерцией тела, то тепловой удар на поверхности приведет к распространению волн напряжений. Возникнут поверхности, при переходе через которые смеще­ ния будут непрерывны, но будут иметь разрывные первые производные, т. е. появятся волны сильного разрыва, несущие скачки деформации. Могут существовать как фронт нагруже­ ния, так и фронт разгрузки. Более того, будет распростра­ няться упругопластическая граница.

Картина распространения термопластических волн весьма сложна. Чтобы воспроизвести некоторые характерные особен­ ности волновых решений и сравнить их с квазистатическими решениями, приведем некоторые результаты Ранецкого [238, 240]. Они относятся к материалам, подчиняющимся деформа­ ционным теориям пластичности согласно уравнениям (4.8), (4.9). Как в упругой, так и в пластической областях термоме­ ханические взаимодействия не учитываются.

Сравним сперва квазистатическое и динамическое решения для случая неограниченной среды, имеющей сферическую по­ лость радиуса А. Поверхность полости внезапно нагревается от 0 = 0 до 0 = 0О= const, затем эта температура сохраняет­ ся постоянной. Уравнение теплопроводности решается при на­ чальном условии 0(0,/?) = 0 и в предположении, что на бес­ конечности температура стремится к нулю. Поэтому решение имеет вид функции ошибок.

Если не равно нулю только радиальное смещение U(Ry/), то уравнение движения имеет вид

Для определяющих законов (4.8), (4.11) система основных уравнений является гиперболической. Поэтому входящий в ра­ венство (4.8) член, связанный с тепловым расширением, при своем внезапном появлении будет генерировать волны силь­ ного разрыва. Эта ситуация аналогична известной ситуации в динамической термоупругости, за исключением того, что в данном случае распространяется упругопластическая граница и, кроме того, возникает пластическая волна, скорость распро­ странения которой зависит от действительного закона упроч­ нения. В дальнейшем картина распространения волн будет пояснена путем использования соответствующей характери­ стической плоскости.

На рис. 18 в соответствующих безразмерных переменных представлено сравнение деформаций для двух случаев — ди­ намического, согласно (4.46), и квазистатического, согласно (4.24). С течением времени эквивалентная деформация, вы­ званная тепловым ударом на поверхности, локализуется в

двух точках, расположенных на определенном расстоянии от полости. Примером таких точек служит точка S рис. 18. Вид­ но, что на ранней стадии силы инерции заметно изменяют кар­ тину деформации. После прохождения фронта сильного раз­ рыва интенсивность деформации быстро приближается к квазистатическому решению.

Рис. 18. Сравнение квазистатических и динамических решений для упруго­ пластического тела, деформированного путем теплового удара [239];

Полную картину распространения тепловых ударов в упру­ гопластических телах можно получить на примере рассмотре­ ния внезапно нагретого полупространства с нулевым началь­ ным состоянием. С этой целью мы воспользуемся работами

Ранецкого [238, 244], а позднее обсудим и другие исследова­ ния.

Систему уравнений, определяющих теплопроводность и ме­ ханическое поведение линейно-упрочняющегося материала, подчиняющегося законам деформационной теории пластично-

сти, не учитывающей термомеханические взаимосвязи, можно в конечном счете выразить в следующем виде:

Кроме того, yi = 1 в упругой области и yi = у в пластиче­ ской области, причем

k — модуль объемной деформации, Н — модуль упрочнения,

смысл. Через eY обозначена безразмерная деформация, соот­ ветствующая пределу текучести У0-

Задачу о распространении тепловой волны удобно интер­ претировать при помощи характеристической плоскости, пока­

соответствуют упругому и пластическому волновым фронтам. Они являются единственными фронтами волн сильного раз­ рыва, которые допускаются уравнениями (4.47).

Если температура 0Она поверхности полупространства до­ статочно высока, то от некоторой точки А начнет распростра­ няться упругопластическая граница. Так как скорость рас­ пространения тепла бесконечна, упругопластическая граница, обозначенная на рис. 19 линией т = ср(л:), предшествует вол­ не расширения. Область ОАВ является упругой и по линии t = ф(х) отсутствует разрыв деформации. Упругопластиче­