книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

Отсюда видно, что 5* представляет собой разность между пластической работой и теплотой, которая выделяется в ис­ пытаниях при циклическом нагружении. Следовательно, s*

Рис. 4. Зависимость накопленной энергии от пластической работы: # , мелко­ зернистая сталь, + , крупнозернистая сталь [2].

можно определить из экспериментов. На рис. 4 показана за­ висимость S*/Wp от Wp. Диаграмма относится к испытаниям меди при комнатной температуре [2].

После того как записаны формулы для скоростей упругих деформаций и температуры и соотношения, описывающие термомеханические взаимодействия, мы можем перейти к вы­ воду закона пластического течения, так как до сих пор в этой работе не были получены соотношения для скоростей пласти­ ческих деформаций.

4.ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. ЗАКОН ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ

Скорость полной работы, выполненной на элементарной подсистеме, можно записать в виде

где отдельные матрицы имеют вид

Они представляют собой соответственно скорость выбранных обобщенных термодинамических перемещений, обратимые и необратимые термодинамические усилия, а

причем единичная матрица в (29) есть матрица 3X3 . Таким

(16), равна D = tr(^i(i)*).

Дальнейшие соотношения, необходимые для того, чтобы система уравнений поля была полной, состоят из зависимо­ стей между полной системой термодинамических сил {Т/,

X(i)} и потоков {qr,x}; таким образом, неравенство (18) удо­ влетворяется. Так как не существует экспериментальных дан­ ных о термодинамических связях между теплопроводностью

Из второго закона термодинамики следует, что эти функции подчиняются ограничениям

Ф?/®?/ + Ф(3) * ^ 0» cp{ll)qi IS* 0. (33)

Так как необратимые термодинамические силы, сопряженные с ге, равны нулю, при постулировании (30) —(32) величиной

е* можно пренебречь. С другой стороны, в этих феноменоло­ гических соотношениях учитывается возможное влияние переменных состояния 0 и и.

Выражение (30) относится к теплопроводности и в прак­ тических задачах обычно принимает вид линейного закона Фурье. Выражение (31) представляет закон пластического течения, а равенство (32) вместе с выражением (13) опреде­ ляет эволюцию параметра состояния к.

Второе из соотношений (36) совместно с (13) определяет внутренний параметр у. В этом отношении наш выбор вну­ тренней переменной отличается от выбора А. А. Вакуленко [14], который постулировал априори линейное соотношение

между % и ер и использовал принцип ортогональности только для того, чтобы вывести закон течения.

Перейдем теперь к выводу обратной формы соотношений

(36), чтобы определить ер и у в явном виде и замкнуть си­ стему уравнений в скоростях для переменных поля. Обозна­ чим функцию текучести следующим образом:

При известной функции текучести соотношения, обратные к (36), имеют вид

•где %— неопределенный множитель. Следует заметить, что второе из равенств (40) можно вывести, используя только предположение (12).

Условие (18) и выпуклость диссипативной функции (37) означает, что

критерий, чтобы различить нагружение и разгрузку, получаем

Для упрочняющихся материалов h > 0, и при помощи ра­ венства (44) можно исключить К из выражения (42). В слу­ чае идеальнопластического тела и внутренняя энергия, и дис­ сипативная функция не зависят от внутреннего параметра и. Поэтому dfi/дл = df/дк = h = 0.

Выражения (42) — (45) описывают пластическое течение и изотропное упрочнение. Они отличаются от закона течения Прагера для неизотермической пластичности [И] в том отно­ шении, что к не является в них параметром упрочнения, свя­ занного с работой, тогда как Прагер определяет й = аи*!г наш взгляд, внутренний параметр должен быть определен так же, как это сделано в разд. 2. Вопрос о соответствующем оп­ ределении внутреннего параметра для изотропного упрочне­ ния в условиях сложного нагружения будет рассмотрен более детально в следующем разделе. Обсуждение более общего слу­ чая упрочнения, связанного с деформацией, содержится в [8].

б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ПАРАМЕТРА

Переходим к процедуре определения внутреннего пара­ метра в случае изотропного упрочнения. Для определенности в дальнейших рассуждениях будет принят критерий текуче­ сти Губера — Мизеса.

Примем сперва функцию текучести в следующем виде:

аУ[ — предел текучести при одноосном растяжении. Ассоциированный закон течения (40) принимает вид

где

<х(/) = У1, ер = dev ер.

Нашей целью является представление внутреннего пара­ метра в таком виде, который допускает его эксперименталь­ ное определение. Разрешая систему уравнений

относительно л и х , можно записать следующие соотношения:

Вводя обозначение

(47) и может рассматриваться как уравнение, определяющее эволюцию внутреннего параметра к. С другой стороны, пер­ вое из соотношений (49) представляет собой условие текуче­ сти Губера — Мизеса, разрешенное относительно и. Обе функ­ ции, а именно Т и ш , могут быть экспериментально определены при одноосном растяжении, как это указано в разд. 2. Однако необходимо помнить, что 0(/)0д(о(о, 0) можно опреде­ лить с точностью до масштаба измерений. Обычно требуют,

После того как внутренняя переменная к определена пу­ тем надлежащего выбора масштаба измерений, из экспери­ ментов можно найти отношение скорости изменения накоп­ ленной энергии к скорости изменения внутреннего параметра:

Используя определение (24), можно получить далее следую­ щее дифференциальное уравнение для аффинного парамет­ ра я:

Очевидно, что я определяется с точностью до произвольной функции внутренней переменной к.

По-видимому, трудно дать указания относительно экспе­ риментального определения на макроскопическом уровне функций, входящих в предложенную теорию. Эти трудности имеют некоторую общую природу, они свойственны примене­ нию концепций термодинамики при описании упругопластиче­ ского поведения. Грубо говоря, они сводятся к следующим двум вопросам.

Первый вопрос относится к наименьшему возможному чис­ лу и природе параметров состояния, используемых при они-

сании упругопластического поведения. Второй вопрос отно­ сится к методике измерения обратимой внутренней работы на макроскопическом уровне.

Можно надеяться, что развитие статистических теорий твердых тел даст соответствующий ответ на эти вопросы.

Следует, возможно, отметить, что отсутствие ответа на первый вопрос приводит к недостаточным указаниям по по­ воду выбора масштаба измерений функции сТ(осо По этой же причине нельзя получить удовлетворительной проверки прин­ ципа ортогональности. Аналогично отсутствие ответа на вто­ рой вопрос приводит к невозможности определения произ­ вольной функции от %, входящей в решение уравнения (53).

Однако в прикладной термопластичности упомянутые трудности не имеют чрезмерного значения. Теплотой пласти­ ческой деформации, входящей в множитель уз, обычно можно пренебречь. Поэтому на рис. 3 связи 8 и 9 обозначены пунк­ тирными линиями. При таком упрощении часть Ар свободной энергии (12), например, зависит только от внутреннего пара­ метра к. Тогда для упругопластического материала энтропия и удельная теплота будут иметь тот же вид, что и в случае упругого тела. Далее, сопряженная величина я может быть экспериментально определена путем измерения скорости из­ менения накопленной энергии благодаря упрощениям, полу­ чающимся, если в уравнении (53) положить уз = 0 и принять, что х не зависит от температуры.

Из-за недостатка экспериментальных данных относитель­ но функции Ч'0, входящей в (2) и определяющей приращение пластической деформации при нагреве, когда напряжение остается неизменным, обычно вводятся дополнительные допу­ щения. Предполагается, что среди всех возможных инте­

переменная и становится обычным параметром упрочнения, связанного с работой, который, как правило, используется в изотермической пластичности, а также в теории Прагера [11].

СП И С О К Л И ТЕРА ТУРЫ

1.Callen Н. В. Thermodynamics. — New York: Wiley, 1960.

2.Clarenbrough L. M., Hargreaves M. E., Loretto M. H. The influence of

3. Keslin J., Rice J. R. Paradoxes in the application of thermodynamics to

4.Kluitenberg G. A. Thermodynamical theory of elasticity and plasticity. — Physica, 28 (1962), 217—232.

3207—3218.

6 . Lehmann Th. Some thermodynamic considerations of phenomenological

7.Ludwik P. Elemente der technologischen Mechanik. — Berlin: Springer, 1909.

8. Mroz Z., Raniecki B. On the uniqueness problem in coupled thermoplasticity. — Internat. J. Engng. Sci., 14 (1976), 211—221.

9. Nye J. F. Physical properties of crystals. — Oxford: Clarendon Press, 1957.

12.Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970.

13.Smith W. К., Robinson А. Т. Strength of metals undergoing rapid hea­

ting. — In: Short-time high-temperature testing. — Amer. Soc. Metals, 1958, p. 5—35.

14.Вакуленко А. А. Термодинамическое исследование соотношений напря­ жения-деформации в изотропных упруго-пластических телах.— ДАН

СССР, 126 (1959), 736—739.

15.Willhelm А. С., Kattus J. R. Stress-strain characteristics of metals under conditions of transient heating and loading. — Proc. Amer. Soc. Testing Mat., 63 (1963), 613—619.

16.Циглер Г., Экстремальные принципы термодинамики необратимых про­ цессов и механика сплошной среды. — М.: Мир, 1966.

17.Ziegler Н. Proof of an orthogonality principle in irreversible thermody­ namics. — ZAMP, 21 (1970), 853—863.

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАСТИЧНОСТИ ЧАСТЬ 111 ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

ИПРИЛОЖЕНИЯ')

Б.Ранецкий, А. Савчук

Аналазируется согласованность определяющих соотношений, установ­ ленных в первой части работы. Обсуждается обращение полученных соот­ ношений в скоростях и единственность решения краевых задач при свя­ занной термопластичности. Выведены упрощенные соотношения в скоростях в пренебрежении некоторыми взаимодействиями. Исследуется значение эффектов взаимодействия при анализе устойчивости термопластической деформации. Описывается поведение элементов конструкций при цикли­ ческих нагревах и нагружениях, напоминаются теоремы об оценках теории приспособляемости.

1. ВВЕДЕНИЕ

Определяющие уравнения теории, изложенной в первой части работы, были получены исходя из весьма общих пред­ посылок, поэтому они могут содержать некоторые соотноше­ ния, неприемлемые с математической точки зрения. Необхо­ димо определить условия, обеспечивающие единственность решения краевых задач.

В разд. 2 обсуждается обращение полученных соотноше­ ний между скоростями изменения напряжений и скоростями деформаций. В разд. 3 представлены упрощенные уравнения, полученные при пренебрежении некоторыми взаимодействия­ ми. В разд. 4 обсуждается единственность решения краевых задач. Дан критерий локальной стабильности (бифуркации) термопластической деформации. В разд. 5 рассматривается значение связанных эффектов и дается пример, иллюстрирую­ щий влияние нагрева за счет пластической деформации на устойчивость. В разд. 6 приведены уравнения несвязанной теории пластичности.

Циклический нагрев при наличии механических сил может привести к усталости, разрыхлению или приспособляемости на границе программы нагружения. Эти типы поведения

О Raniecki В., Sawczuk A. Thermal effects in plasticity. Part II: Uni­ queness and applications. — ZAMM, 55 (1975), 363—373.

©Akademie-Verlag, 1975.

©Перевод на русский язык, «Мир», 1979,