книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

ные кривые напряжения — деформации для шести ориента­ ций монокристалла и аналогичные кривые для поликристаллического материала. Полученные результаты позволяют рас­ считать объем активации как функцию от деформации.

На рис. 11 приведены результаты для моно- и поликристаллических образцов из высокочистого алюминия. Наиболее ин­ тересной особенностью этих кривых является то, что для поликристаллического материала объем активации меняется в тех же пределах и близок к средним значениям данных, получен­ ных для монокристаллов. Это показывает, что один и тот же механизм контролирует деформации в монокристаллах и поли­ кристаллах и распределение активационных барьеров в обоих случаях в основном одинаково.

Таким образом, данный анализ показал, что введение в оп­ ределяющие уравнения (2.39) —(2.41) нелинейной функции ЗЦ/7) и способ подбора ее на основании экспериментальных результатов для области II можно считать хорошо обоснован­ ной гипотезой.

3. ТЕРМОПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ - ДЕФОРМАЦИИ

3.1. Бесконечно малые деформации

Чтобы обсудить допущения, приводящие к бесконечно ма­ лым деформациям, удобно ввести вектор смещения и:

выразить градиент деформации F через градиент смещения Vu и обратно. Градиент смещения Vu можно использовать в

при условии, что градиент смещения Vw в данный момент вре­ мени t ^ [0, оо) является малой величиной, т. е. удовлетво­ ряется условие

В дальнейшем будем рассматривать временные функции, определяемые значениями Vu(t) и обладающие тем свойством, что для каждого момента времени t е [0, оо) абсолютные зна­ чения этих функций ограничены величиной Сб", где С — по-

стоянная; каждую из этих функций обозначим символом 0 ( 6"), который определяет ее порядок. Например, мы будем говорить, что функция ср(0> определяемая градиентом смеще­ ния Vu(t), является функцией порядка 0(6"):

Тензор бесконечно малого смещения (3.3) является тензо­ ром порядка 0(6). При выполнении условия (3.4) тензор на­

3.2. Упруговязкопластическая теория

Рассмотрим теперь термодинамический процесс, при кото­ ром деформации удовлетворяют условию (3.4). Предположе­ ние (3.4) дает возможность записать тензор деформации Е в виде суммы двух тензоров:

где V — тензор вязкопластической деформации, а Р — тензор неупругой деформации (пластической природы).

Локальную деформационно-температурную конфигурацию для частицы X можно описать следующим образом:

Термомеханическое состояние частицы X в момент времени t в этом случае описывается выражением

g (X, () = (Л* (X, (); а<Л (X, (), %(X, /), Р (X, (), Г</> (X , /)} (3.10)

Определение устойчивого неупругого материала можно вы­ разить в следующем виде:

где t = 0 — момент времени, в который прикладывается при­ ращение внешней нагрузки.

Предполагая, что рассматриваются только однородные со­ стояния напряжения и деформации, введя два пути нагруже­ ния для напряжения и скорости деформации

которые становятся различными после t = 0, и используя принцип виртуальной работы, можно записать условие (3.23) в виде

*k

J (Г<2>— Г<») (£<2>- £<*>)dt > 0. (3.25)

о

Предположим, что состояние TW является установившим­ ся состоянием Т* в момент времени t = 0, а состояние Т<2) яв­ ляется переменным во времени; обозначим его через Т. Рас­ смотрим следующий замкнутый цикл нагружения. При / = 0 состояние нагрузки Т совпадает со стационарным состоянием Т*. Далее, Т меняется вдоль пути М0Мi (рис. 12), достигая при t= ti точки Mi, которая представляет состояние текучести.

На пути М\М2 возникают приращения пластической де­

если ограничиться рассмотрением «устойчивости в малом»),

Неравенство (3.29) [182] дает возможность получить важ­ ные выводы относительно направления вектора скорости не­ упругой деформации Р.

Предположим, что для изотермического процесса поверх­

когда тензор V является тензором чисто упругой деформации. В этом случае упругая работа на замкнутом цикле равна ну­ лю. Это условие удовлетворяется в случае пластических ма­ териалов, чувствительных к скорости, которые до возникнове­ ния текучести ведут себя упруго подобно упругопластическим материалам. Для таких материалов неравенство (3.29) при­ нимает вид

териала. Установившееся состояние теплового потока при от­

Температурное поле всюду в теле зависит от начальных и граничных условий. Начальная температура обычно постоян­ на. Краевые условия могут иметь вид заданной температуры поверхности, заданного притока тепла (включая идеальную изоляцию) или заданной конвекции. В последнем случае пред­ полагается, что поток тепла через поверхность пропорциона­ лен разности температур поверхности и окружающей среды. Коэффициентом пропорциональности служит коэффициент h поверхностного переноса тепла. Он встречается в приложе­ ниях в виде числа Био:

где L — некоторая характерная длина. Число Био, очевидно, имеет значение для термопластического анализа напряжений.

Вданном разделе мы будем пока считать поле температур известным. При анализе термических напряжений в элементах конструкций граничные тепловые условия обычно задаются на фиксированных поверхностях, тогда как в таких случаях, как затвердевание или плавление, возникают задачи с движу­ щимися границами.

4.2.Соотношения напряжения— деформации

Вприкладной неизотермической пластичности критерий текучести включает, помимо коэффициента упрочнения с, в качестве параметра температуру 0:

где У — предел текучести, п — целое число. Определяемое экс­ периментально изменение предела текучести с температурой

обсуждалось в разд. 2.

Обычно предполагают, что в упругой области поведение ма­ териала подчиняется закону Гука. В пластической области считается, что упругая е*у, пластическая е^ и тепловая

деформации аддитивны и что пластических изменений объема нет.

Теория идеальной пластичности в скоростях, использую­ щая закон пластического потенциала, является в настоящее

8*