книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАСТИЧНОСТИ ЧАСТЬ I; СВЯЗАННАЯ ТЕОРИЯ 1)

Б . Ранецкий, А. Савчук

В рамках классической термодинамики исследуется связанное поведе­ ние термопластических материалов. Дается классификация температурных эффектов и предлагается модель теории, позволяющей дать прямую ин­ терпретацию наблюдаемых особенностей необратимой деформации. Разви­ вается процедура построения простой неизотермической теории термопла­ стичности. Вводится соответствующий простой внутренний параметр. При выводе уравнений для температуры, напряжений и скоростей пластиче­ ских деформаций используется принцип ортогональности Циглера. В яв­ ной форме выведены определяющие уравнения для упругопластического материала с изотропным упрочнением.

1. ВВЕДЕНИЕ

Взаимосвязь между температурой и деформациями при пластическом течении проявляется в различных формах. Тем­ пературное поле влияет на свойства материала, изменяет про­ тяженность пластических зон, приводит к разрыхлению при циклическом нагреве и т. д.; в свою очередь деформация вы­ зывает изменения в распределении температуры. Таким обра­ зом, уравнения, определяющие тепловые поля и поля напря­ жений, являются взаимосвязанными.

С точки зрения анализа напряжений влияние температур­ ных эффектов на пластичность может быть изучено на двух уровнях в зависимости от того, какая применяется теория тер­ момеханического поведения — связанная или несвязанная. Большинство важных для техники проблем, касающихся раз­ рыхления, напряжений при сварке, остаточных напряжений после закалки, расчета топливных элементов реакторов и т. д., могут быть достаточно точно изучены в рамках несвязанной теории. При таком подходе температура входит в соотноше­ ния между напряжениями и деформациями только благодаря члену, определяющему тепловое расширение; кроме того, учи­

Уравнение теплопроводности и соотношения, определяющие поле напряжений, рассматриваются раздельно.

Однако существует много случаев, когда важна связь по­ лей температуры и деформаций. Отметим по этому поводу анализ устойчивости при обработке металлов, катастрофиче­ ские сдвиги при резании и явление усталости. Что касается связанной термопластичности, то мы еще не располагаем тео­ рией, одновременно удовлетворяющей требованиям адекватно­ сти и разумной простоты. Кроме того, не существует обще­ принятого подхода к таким основным принципам, как, на­ пример, выбор системы соответствующих параметров тер­ модинамического состояния. Более того, возникающие вза­ имосвязи не подвергались систематическому анализу и оценке.

В предлагаемой работе делается попытка классифициро­ вать температурные эффекты и предложить схему для тео­ рий, позволяющих дать прямую интерпретацию наблюдаемых особенностей необратимой деформации. Мы наметим проце­ дуру построения простейшей неизотермической теории термо­ пластического поведения материала в рамках классической термодинамики. Вводится соответствующий простой внутрен­ ний параметр. Для вывода уравнений, связывающих темпера­ туру, напряжение и скорость пластической деформации, при­ меняется принцип наименьшего необратимого усилия (прин­ цип ортогональности Циглера). Для упругопластических материалов с изотропным упрочнением, для которых при по­ строении адекватной неизотермической теории достаточно ис­ пользовать один скалярный внутренний параметр, выведены в явной форме определяющие уравнения. Анализ прово­

Статья делится на две части. Первая содержит вывод про­ стейшей теории. В разд. 2 проанализированы некоторые экс­ периментальные данные, относящиеся к совместному нагреву

инагружению, и высказано предположение о надлежащем выборе параметра упрочнения. В разд. 3 обсуждаются тер­ мостатические свойства пластического тела с изотропным уп­ рочнением и выводится общая форма уравнения для темпера­ туры, учитывающая возможные термомеханические взаимо­ действия для рассматриваемого материала. В разд. 4 дан в явной форме закон пластического течения; в разд. 5 разраба­ тывается процедура выбора внутреннего параметра.

Во второй части работы в рамках развитой теории будут рассмотрены вопросы единственности решения краевых задач

иприведены приложения.

2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Чтобы очертить интересующую нас область исследований термопластических взаимосвязей и пояснить выбранный под­ ход, рассмотрим поведение стержня при двух программах нагружения. Удлинение, вызванное растяжением, которое со­ провождается мгновенным нагревом, может заметно отли­ чаться от удлинения, предсказываемого с использованием только данных, полученных при испытаниях на растяжение, когда поддерживается постоянная температура. Это наблюде­ ние опровергает предположение относительно существования механического уравнения состояния, выдвинутое Людвиком [7]. Такое механическое уравнение состояния для материалов,

не чувствительных к скорости, показывает, что напряженное состояние при совместном нагреве и нагружении может пол­ ностью описываться в терминах деформации и температуры, а = а(е, 0). В настоящее время, однако, установлено, что ме­ ханическое уравнение состояния справедливо только при очень ограниченных условиях.

Чтобы подтвердить вышесказанное положение о различии между действительным поведением материала при совмест­ ном термомеханическом нагружении и предсказаниями, осно­ ванными на теории механического уравнения состояния, обратимся к экспериментальным данным, полученным Виль­ гельмом и Каттусом [15]. Сплошные линии на рис. 1 изобра­ жают экспериментально полученные кратковременные харак­ теристики связи между напряжениями и деформациями для нержавеющей стали при переходных условиях нагрева и де­ формирования согласно следующей программе:

где Т — действительная температура, Г0— начальная темпе­ ратура, е — деформация. Испытания проводились для трех значений коэффициента пропорциональности в (1), а именно 10“4 а = —16,4 °С; —15 °С; —6,7°С (соответственно кривые /, 2У3 на рис. 1). Пунктирные линии изображают соответст­ вующие соотношения, полученные в случае применения меха­ нического уравнения состояния.

Отсюда следует, что расчетные данные, относящиеся к конструкциям, которые должны выдерживать высокие по­ стоянные нагрузки и быстрый нагрев, должны быть получены из испытаний с высокой скоростью нагрева. При этом обра­ зец подвергается действию постоянной нагрузки и нагревает­ ся с постоянной скоростью вплоть до разрушения, при этом записывается деформация в функции температуры. Экспери­ менты этого вида необходимы также для определения функ­ ций, входящих даже в простейшие законы неизотермической пластической деформации, содержащиеся в последующих разделах.

Обрисуем теперь теорию, позволяющую согласовать на­ блюдаемые факты, ограничив анализ одномерным напряжен­ ным состоянием. Пусть положительное приращение пласти­ ческой деформации выражается в следующем виде:

при а = 0. Функции Ч™ и Ч70 находятся из результатов испы­ таний, выполненных при 0 = const и о = const соответствен­ но, причем е р > 0.

Экспериментальные данные, представленные на рис. 1, по­ казывают, что выражение (2) не является полным диффе­ ренциалом. Если бы оно являлось полным дифференциалом, то это означало бы, что существует механическое уравнение состояния о = а(е, 0). Дифференциальное выражение (2) со­ держит только две независимые переменные, следовательно, оно является интегрируемым. Существует такая функция <но (а, 0), что правая часть равенства

асо(а, 0) dep= асо'Р® da + асо¥е dQ

является полным дифференциалом функции, которую мы обо­ значили через 'Р. Определив параметр упрочнения

можно получить соотношение

Обозначив через f функцию текучести, получим условие теку­ чести в виде

Введенное совершенно естественным путем определение пара­ метра упрочнения к не является единственным. Введем в рассмотрение произвольную монотонную функцию ЧГ*(ЧГ). Не­ трудно показать, что aodW*/dW представляет собой интегри­ рующий множитель для соотношения (2). Тогда соответст­ вующий интеграл имеет вид Ч1** [Ч^сг, Г)]. Функция (5) в слу­ чае неизотермической теории пластичности играет ту же роль, что и кривая напряжения — деформации для изотермической теории пластичности.

Допущение о существовании в пространстве а, х, 0 по­ верхности текучести (6) является более общим, нежели пред­ положение о механическом уравнении состояния. Оно вклю­ чает в себя больше данных и доставляет больше информации о поведении металлов в условиях мгновенного нагрева и на­ гружения в рассматриваемом одномерном случае.

Процедура, использованная для получения поверхности те­ кучести (6), намечает принцип, который будет использован для развития теории неизотермической пластичности. Для описания поведения материала введем соответствующие па­ раметры, относящиеся к истории пластической деформации и температуры, но не к самой пластической деформации. В рас­ сматриваемом случае, например, достаточно, по-видимому, лишь одного такого дополнительного параметра (4), чтобы достигнуть логической интерпретации экспериментальных ре­ зультатов, представленных на рис. 1.

Для определения поверхности текучести необходимо про­ вести две серии испытаний. Одна серия, при которой 0 = = const, является обычной, т. е. является стандартным испытанием на растяжение; другая, при а = const, сопро­ вождается нагревом с заданной скоростью. К сожалению, только часть результатов [13] является пригодной с точки зрения выяснения поведения металлов, подверженных на­ греву с высокой скоростью при постоянной нагрузке. Такие испытания позволили бы определить функцию Ч'0, входящую в (2).

Эти случаи изображены на рис. 2.

Рис. 2. Поверхность текучести и характеристики нагружения; 1 — нагру­ жение, 2 — нейтральный процесс, 3 — разгрузка.

Исходя из соображений, относящихся к одноосному слу­ чаю, можно сделать некоторые общие выводы относительно неизотермической теории пластичности. Первое замечание состоит в том, что в теориях, пренебрегающих эффектом Баушингера, параметр упрочнения в одноосном случае должен иметь форму (5).

Второй вывод заключается в том, что в отличие от слу­ чая изотермической теории пластичности неизотермические теории пластичности, использующие соответственно параметр упрочнения, определяемый работой, и параметр упрочнения, определяемый деформацией, неизбежно приводят к различ­ ным результатам. Если используется параметр упрочнения, определяемый деформацией, то теория, использующая кон­ цепцию механического уравнения состояния, в одноосном слу­ чае оправдывается, так как выражение (2) становится пол­ ным дифференциалом.

Следующее замечание касается выбора надлежащего вну­ треннего параметра, входящего в термодинамическую теорию.

Внутренний параметр в термодинамической теории должен быть определен так, чтобы в пространстве «напряжение — температура — внутренний параметр» поверхность / = 0 изо­ бражала однопараметрическое семейство интегралов уравне­ ния x¥°do + Ч^О = 0.

3.ТЕРМОСТАТИКА ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

СИЗОТРОПНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ

Учитывая, что в настоящее время не существует общепри­ нятого формализма для описания процессов необратимой де­ формации твердых тел [3], предложим один из возможных ва­ риантов применения термодинамики для простейшей модели пластических тел. Необходимо ясно подчеркнуть, что мы не

концепций, имея в виду получить вывод системы эффектив­ ных соотношений, описывающих термопластические деформа­ ции.

Так как мы остаемся в рамках необратимой термодина­ мики, используем принцип локального состояния. Мы предпо­ лагаем, что состояние некоторого малого элемента модель­ ного тела (элементарной подсистемы) полностью характери­ зуется тензором бесконечно малых упругих деформаций 8е, плотностью энтропии г\ и скалярным внутренним переменным к смысл которого пока еще не определен. Некоторые предпо­ ложения относительно этого параметра будут даны в разд. 5. Предполагается, что величины ге и х исчезают в исходном состоянии при температуре Т = Т0.

Обозначим через п величину, аффинно сопряженную с к. Тогда обратимая внутренняя работа будет равна ndx. Основ­ ное уравнение для плотности локальной внутренней энергии на единицу массы и, записанное в дифференциальной форме,

где po — плотность массы в исходном состоянии. Два послед­ них члена в правой части равенства (10) описывают идеаль­ ную работу, произведенную на элементарной подсистеме при необратимом процессе.

Соотношение Гиббса (10) является частной формой уравненйя, посту"лироваиного впервые А. А. Вакуленко в его ран­ них работах, например в [14]. Равенство (10) можно также рассматривать как частную форму выражения, предложен­ ного Леманном [6]. Вместо применяемой в данной работе упругой деформации ее Кестин и Райс [3] использовали в

качестве параметра состояния полную деформацию в. В [4] и [12] в качестве переменного состояния была принята пластиче­ ская деформация, а в [5, 10] применен формализм теории поля.

Для дальнейшего развития теории мы намереваемся ис­ пользовать принцип ортогональности Циглера [16, 17]. Имея это в виду и ставя целью получить эффективную систему тер­ модинамических соотношений, предположим, что энергия вы­ ражается в виде суммы двух функций:

В этих равенствах через и[Т, *, •] обозначена свободная энер­ гия Гельмгольца, т. е. функция, полученная путем преобразо­ вания Лежандра [1] по т] функции и(т], е*, х), так что в и[Т, •, •] независимыми переменными служат Г, ге и х. Аналогично м[Т, о, •] является свободной энергией Гиббса.

Благодаря предполагаемой форме свободной энергии Гельмгольца, аффинно сопряженное я является функцией только от Г и х, а именно

тогда как коэффициенты упругой податливости и коэффи­ циент теплового расширения не зависят от х.

Уравнение энергетического баланса записывается в виде

ность выразить скорость возрастания энтропии а71 в следую­ щем виде:

В приведенных выше выражениях запятая при нижнем ин­ дексе означает дифференцирование по пространственной ко­ ординате xr, D —диссипация энергии:

точкой обозначено дифференцирование по времени. Пласти­ ческая часть тензора деформации определяется как

внутренней энергии (10). В конечном итоге получается выра­ жение для температуры в иной форме:

где с0— удельная теплота при постоянных а и х, а се— соот­ ветствующая удельная теплота при постоянных е и х.

Множители у не имеют физического смысла; это просто числа, равные 0 или 1 В общем случае всех возможных допу­ стимых взаимодействий все у равны 1, а в случаях, когда от­ дельными взаимодействиями можно пренебречь, эти множи­ тели соответственно равны нулю:

Yi = 0, когда можно пренебречь диссипацией энергии; у3= 0, когда можно пренебречь теплотой пластических

деформаций;

YI2= 0, когда отсутствует пьезокалорический эффект; Y*2= 0, когда можно пренебречь теплотой упругих де­

формаций;

Y21 = 0, когда отсутствует тепловое расширение;

Y2! = 0, когда отсутствуют температурные напряжения.

Эти множители удобно использовать в различных упро­ щенных теориях.

Уравнения (21) и (22) можно получить при помощи за­ кона теплопроводности.

При выводе общих термопластических зависимостей сле­ дует иметь в виду, что пластическая работа не переходит в теплоту полностью, частично она переходит в энергию, накоп­ ляемую на микроскопическом уровне. Правую часть уравне­ ния (21), определяющую скорость изменения температуры, можно переписать в виде

— скорость энергии, накопленной на микроскопическом уров­ не и отнесенной к единице массы [5]. Она состоит из части ско­ рости диссипации энергии и обратимой скорости изменения теплоты пластической деформации. Величину s* можно изме­ рить на макроскопическом уровне.

Для доказательства этого положения рассмотрим в про­ странстве а процесс нагружение — разгрузка при Т = const.