книги / Проблемы теории пластичности и ползучести
..pdfи его сотрудниками [1], подтверждают справедливость гипо тезы Харта. Этот подход находится, однако, в начальной ста дии исследования, и его реализация требует еще большего объема экспериментальных работ.
2. Оказалось [3], что в физической химии существуют при меры термодинамических систем, не удовлетворяющих ис пользованному в разд. 4 ч. I нашей работы принципу ортого нальности Циглера. В настоящее время часто [4, 5] пользуют ся постулатом Дьярмати [6] или его обобщениями. В своей первоначальной форме этот постулат формулируется так: су
ществует функция ф(*) скорости термодинамических обоб
щенных перемещений х [см. (27), ч. I] класса С2, которую на зывают диссипативным потенциалом. Необратимые термоди
намические силы |
связаны с х при помощи потенциального |
закона |
|
(з.п)
д х
Вид потенциала tp может в общем случае зависеть от термо динамического состояния. Чтобы этот постулат относился так же к практическим материалам, не чувствительным к скоро сти деформаций, его следует понимать в более общем смысле, а именно потенциал <р можно дифференцировать всюду, кроме
точки х = 0. При такой трактовке постулаты Циглера и Дьяр мати совпадают в случае выпуклых и однородных диссипатив ных потенциалов (что имеет место в термопластичности).
Как показал в последнее время Эделен [7, 8], постулат Дьярмати отбрасывает возможность существования недисси пативных сил, не имеющих влияния на производство энтро пии. Дальнейшие обобщения постулата Дьярмати дал в последнее время Немат-Нассер [9]. В ч. I нашей работы мы от метили трудности, связанные с экспериментальным определе нием соответствующих уравнений состояния для энтропии в случае пластических тел. Эта тема обсуждается в другой ра боте [10] Немат-Нассера. В ней модифицируется классическая формулировка Каратеодори второго закона термодинамики и делается вывод, что энтропия упругопластического тела не может быть определена однозначным способом.
Халфен и Нгуен Кок Сон [11] развивают теорию, которая в принципе представляет собой частный случай теории, обсу ждаемой нами в ч. I. Они принимают следующие дополни тельные предположения: а) функция Gp(Tt х), а также диссипа
тивный потенциал cp(jc) должны быть выпуклыми функциями; б) диссипативный потенциал ф не зависит от термодина мического состояния. В [11] используется теория выпуклых
функций, причем рассуждения авторов ограничиваются слу чаем изотермических процессов. Принятые дополнительные допущения относительно математических свойств функции свободной энергии и ее диссипативного потенциала дали ав торам возможность доказать теорему об единственности ре шения краевой задачи теории пластичности. Из работ, касаю щихся теоретических и экспериментальных основ термопла стичности, внимание заслуживает работа Айзенберга и др. [12]. В ней обобщается теория термопластичности, обсуждав шаяся ранее [13], и дается сравнение этой теории с экспери ментальными результатами, полученными в [14].
В [15] при помощи [16] дана модификация неизотермиче ских законов пластического течения Прагера, которая дала возможность провести анализ напряжений в процессе закал ки для некоторых сталей.
3. В области фундаментальных теорем термопластичности следует отметить работу Халфена [17], в которой дано инте гральное условие однозначности краевой задачи несвязанной термопластичности для случая конечных деформаций. Анало гичное условие получено также и для связанной термопла стичности. Эти условия могут быть использованы при анализе бифуркации состояний равновесия конструкций под влиянием термомеханических полей. Таким образом, в [17] получены обобщения известных условий Хилла [18, 19] в теории пла стичности. Вариационные принципы в связанной термопла стичности предложены в [20]. Эти принципы относятся к крае вой задаче и упрощенным уравнениям, обсужденным в ч. II работы. В [20] показано, что в локально адиабатических про цессах мощность поверхностных сил не меньше мощности по
верхностных сил в изотермических процессах при |
условии, |
||
что предел текучести |
с возрастанием температуры |
|
умень |
шается. |
|
|
|
|
С П И С О К Л И ТЕРА ТУРЫ |
|
|
1. Hart Е. W., Li С. Y., |
Yamada Н., Wire G. L. Phenomenological |
theory: |
|
A guide to constitutive relations and fundamental deformation |
proper |
||
ties. — In: Constitutive Equation in Plasticity. Ed. Argon, MIT Press, |
|||
1975. |
|
|
|
2. Bever M. B., Holt D. L., Titchener A. L. Stored energy of cold |
w o r k - |
||
in: Progress in Material Sciences. — Pergamon Press, Vol. |
17, 1973. |
3.Ziegler H. Warszawa, 1976 (личное сообщение).
4.Mandel J. Plasticite classique et viscoplasticite. — Cours CISM. — Udine, Italia: Springer-Verlag, 1971.
5.Mandel J. Tnermodynamique et plasticite.— Int. Symposium of the Con tinuum Thermodynamics. — Lisbonne, 1973.
6.Gyarmati I. Non-equilibrium thermodynamics, Field theory and varia tional principles. — Springer-Verlag, 1970.
7.Edelen D. G. В. A thermodynamic derivation of non-history dependent constitutive relations for elastic, viscoelastic, fluid, and perfectly plastic
bodies. — Arch. Mech. Stos., 26 (1974), 251—261.
8.Edelen D. G. B. On the characterization of fluxes in nonlinear irrevers ible thermodynamics. — Intemat. J. Engng. Sci., 12 (1974), 397—411.
9.Nemat-Nasser O. On nonequilibrium thermodynamics of viscoplasticity: Inelastic potentials and normality conditions. — IUTAM Symposium
«Mechanics of Visco-Elastic Media and Bodies». — Gothenburg, 1974.
10.Nemat-Nasser S. On nonequilibrium thermodynamics of continua. — Me chanics Today, Vol. 2, 1974.
11.Halphen B., Nguyen Quoc Son. Sur les materiaux standards gen6ralises.— J. Mecanique, 14 (1975), No. 1, 39—63.
12.Eisenberg M., Chong-Won Lee, Phillips A. Observations on the theore
|
tical and experimental foundations of |
thermoplasticity. — Internat. J. So |
|||||||||||||
|
lids and |
Structures, 13 |
(1977), |
1239— 1255. |
|
|
|
|
|
|
|||||
13. Phillips |
A., |
Eisenberg |
M. Observation |
on certain |
conditions in |
plasti |
|||||||||
|
city. — Internat. J. Nonlinear Mech., 1 |
(1966), 247—256. |
|
|
|
|
|||||||||
14. Phillips |
A., |
Tang |
J. L. The effect of |
loading |
path |
on the |
yield surface |
||||||||
|
at elevated |
temperatures. — Internat. J. Solids |
and |
Structures, 8 |
(1972), |
||||||||||
|
463—474. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Inoue T., Raniecki B. Determination of stresses |
due to |
quenching |
in |
|||||||||||
|
steels |
by use of |
thermoplasticity. — J. |
Mech. |
and |
Phys. |
Solids, |
June, |
|||||||
|
1978. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
Ломакин В, А. Задача определения напряжений и деформаций в про |
||||||||||||||
|
цессах |
термообработки. — Изв. АН СССР, ОТН, |
1959, |
№ |
1, 103— 110. |
||||||||||
17. |
Halphen В. Sur le champ des vitesses en thermoplasticite |
finite. — Inter |
|||||||||||||
|
nat. J. Solids and Structures, 11 (1975), 947—960. |
|
|
|
|
|
|||||||||
18. |
Hill R. A general theory of uniqueness and stability in |
elastic-plastic |
|||||||||||||
|
solids. — J. Mech. and Phys. Solids, 6 |
(1958), |
236; |
русский |
перевод: сб. |
||||||||||
|
Механика, 1958, № 6 (52), 81—96. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19. |
Mroz Z., Raniecki В. Variational principles in uncoupled |
thermoplasti |
|||||||||||||
|
city. — Internat. J. Engng. Sci., |
11 (1973), 1133. |
|
|
|
|
|
||||||||
20. |
Mroz Z., Raniecki B. A note on variational principles in coupled thermo- |
||||||||||||||
|
plasticity. — Bull, |
Acad. |
Polon. |
Sci., |
ser, sci,, |
tech., 23 |
(1975), |
No, |
3, |
||||||
|
133-139, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Устойчивость системы из материала с ограниченной пол зучестью оказывается возможным рассматривать на беско нечном интервале времени. Для стержня из упруговязкого материала постановка задачи устойчивости была предложена А Р. Ржаницыным в 1946 г. [140, 141]. Закон ползучести для такого материала имеет вид
пЕг + Ejfi = в + по, |
(1) |
где е — деформация, а — напряжение, Е — модуль упругости, £д— так называемый длительный модуль, точка означает дифференцирование по времени. При растяжении образца из такого материала при постоянном напряжении деформация стремится к значению е = о/Ел.
Для пояснения сути дела рассмотрим шарнирно опертый прямоугольный стержень, сжатый постоянной силой Г, в ус ловиях ползучести. Основное движение, устойчивость кото рого исследуется, есть состояние сжатого стержня, при котором ось сохраняется прямолинейной. В качестве возмуще ния рассматриваем начальный прогиб стержня w0(x), возму щенное движение — прогиб, w (хуt) .
В соответствии с принятыми представлениями для дефор маций бруса имеем
е = — 2 (wxx — w0 хх).
Из уравнения (1) получаем
— nEI wxx — ЕЛ1 (wxx — w0,ХХ) = М + пМ, |
||
M = \ozdF, |
/ = ^ z2 dF. |
|
F |
|
F |
В случае шарнирного опирания М = Tw и, полагая |
||
w0 = fo sin у*, |
w = |
f (t) sin ух, у = n/ly |
для амплитуды прогиба |
(возмущенного движения) получаем |
уравнение |
|
|
|
|
|
n(1 |
о0)/ + |
(о* — a°)f — <т7о = |
0, |
о° = Т/Те, a = T J T e. |
(2) |
Здесь |
Те = |
п?Е1/12— эйлерова |
критическая сила, |
Гд = |
|
= л2Еа1/12— так называемая |
длительная критическая |
сила. |
|||
С учетом начального условия для |
прогиба f(0) = /0/ (1 — а0) |
||||
интеграл уравнения (2) выражается в виде |
|
||||
/ = [/о/(1 — а0)] ехр (— аt/n) + |
[f0<OV — <*0)] [ 1 — exp (— аt/n)], |
||||
|
|
а = (аг* |
а°)/(1 |
— о0). |
(3) |
В случае когда Т < Тл, малое возмущение в виде начального прогиба приводит к возмущенному движению, в котором про^
гиб f при t-> оо асимптотически стремится к некоторому оп ределенному значению. Прямолинейное состояние стержня в этом случае оказывается устойчивым по отношению к рас сматриваемому типу возмущения на бесконечном интервале времени. Иначе ведет себя возмущенное движение при Т > > Гд. Неограниченное возрастание / при / —> оо означает, что стержень в этом случае неустойчив. Таким образом, для стер жня из упруговязкого материала значение Т = Тд является критическим.
Как видим, за счет того, что для материала с ограничен ной ползучестью скорость деформирования при постоянном напряжении с возрастанием времени затухает и асимптоти чески стремится к нулю, оказалось возможным установить такое максимальное значение нагрузки для стержня (дли тельная критическая нагрузка), при котором возмущение, вызванное некоторым воздействием на систему, затухает во времени.
Следует заметить, что в первоначальном варианте этой постановки [140] возмущенное движение описывалось одно родным уравнением
n (1 — о0) f + (сг* — cr°) f = 0, |
(4) |
интеграл которого имеет вид
f = foexp (— atIn). |
(б) |
При t = О имеем f = f0 и в то же время в уравнении возму щенных движений начальный прогиб не учитывается. Вве дение в уравнение начального прогиба и уточнение поста новки задачи устойчивости упруговязкой системы было про ведено С. А. Шестериковым [169] и Ю. Н. Работновым [135].
Для геометрически линейных систем при линейной ползу чести, когда возмущенное движение описывается линейными дифференциальными уравнениями, устойчивость на бесконеч ном интервале времени вполне определяется спектром соот ветствующего оператора. Обращение к начальным условиям имеет значение в связи с анализом возмущенных движений геометрически нелинейных систем (типа оболочек). Здесь даже при линейной ползучести необходим учет начальных ус ловий при исследовании ползучести.
В случае упруговязкого материала, скорость деформирова ния которого при постоянном напряжении не затухает (модель Максвелла), закон ползучести имеет вид
Амплитуда прогиба сжатого шарнирно опертого стержня с на чальным синусоидальным прогибом выражается в виде
f = [fo/(l-o°)\exp{t/n(l-o0)}, |
(7) |
и при любом значении сжимающей силы Т < Те прогиб со временем возрастает. Как видим, для материалов с незату хающей скоростью деформирования нет возможности сфор мулировать задачу устойчивости на бесконечном интервале времени. При любом Т <.Те и любом /0 система при t-+ оо неустойчива.
Фрейденталь [219, 220] отнес этот результат за счет разде ления переменных и обратился к задаче для сжатого стержня с начальным эксцентриситетом. При использовании метода последовательных приближений было получено представле ние для прогиба в виде ряда, который был оценен Фрейденталем как расходящийся при конечном значении времени. Это позволило ему установить такое конечное значение времени (критическое время), при котором прогиб (или изгибающий момент) стержня в условиях ползучести неограниченно воз растает. Ошибочность утверждения о существовании конеч ного критического времени для стержня из линейного упруго вязкого материала была показана Кемпнером и Полем [257]. Ряд, полученный Фрейденталем для изгибающего момента в середине стержня, оказывается сходящимся для любых ко нечных значений времени t. Сходимость ряда для прогиба сжатого первоначально искривленного стержня из обобщен ного линейного упруговязкого материала с неограниченной ползучестью при конечном значении времени (несуществова ние конечного критического времени) была показана также Хилтоном [232, 233].
Для линейных вязкоупругих моделей общего вида суще ствование конечной сжимающей силы, при которой стержень устойчив на бесконечном интервале времени в случае ограни ченной ползучести (модели типа Кельвина) и неустойчив на бесконечном интервале в случае неограниченной ползучести (модели типа Максвелла), было показано также в работе Ро зенталя и Бэра [287].
Для конструкций из материала с ограниченной ползу честью (модели упруговязкие и упруговязкопластические, мо дели наследственного типа с учетом старения), для которых правомерна постановка вопроса об устойчивости на беско нечном интервале времени, получено значительное число ре зультатов, как в направлении разработки общей теории и ме тодов решения задач, так и по отдельным конкретным зада чам. В предположении, что об устойчивости можно судить, полагая возмущения малыми, уравнения возмущенного дви
ственным формам упругой задачи сводят.ся к системе
Z = D(t, P)Z,
где Z — вектор и D — некоторый оператор. В задачах этого типа \\D(tf р) — С(Р) || 0 при t оо (р — параметр на грузки), и исследование устойчивости оказывается возмож ным вести по предельной системе уравнений, так как реше ния уравнений с С(Р) ведут себя почти так же, как с D(t, р). Рассмотрены задачи устойчивости полосы при сжатии, тол стой трубы при внутреннем давлении, толстой плиты при сжа тии в двух направлениях.
Постановка задач устойчивости в условиях ограниченной ползучести нашла применение в связи с определением дли тельной критической нагрузки для тонкостенных конструкций из композитных материалов. У таких материалов проявляют ся вязкие свойства связующего, которые необходимо учиты вать в расчетах устойчивости. Г. И. Брызгалин [18] при опре делении длительной критической нагрузки для пластинки из стеклопластика учитывал упруговязкий характер деформаций сдвига в плоскости пластинки. Более общая задача длитель ной устойчивости сжатой прямоугольной пластинки из ортотропного материала (ползучесть учитывается во всех направ лениях) с линейной ползучестью, описываемой операторами Ю Н. Работнова, рассмотрена в [73].
Длительная устойчивость свободно опертой сжатой прямо угольной пластины из ортотропного линейного вязкоупругого материала рассматривалась в работах [70, 165]. Форма про гиба в задачах этого типа определяется соотношениями ме жду длительными модулями.
Длительная устойчивость цилиндрических и сферических оболочек из композитного материала при сжатии и давлении рассматривалась в серии работ Г. А. Тетерса, Б. Л * Пелеха, Р. Б. Рикардса и А. Ф. Крегерса [146]. Характерной особен ностью расчета таких конструкций является необходимость учета упруговязкого поведения материала при межслойном сдвиге. Длительная устойчивость продольно сжатой много слойной цилиндрической оболочки из армирующих и связую щих слоев, причем линейная вязкоупругость учитывается при работе на сдвиг связующих слоев, рассмотрена в [151].
Определение длительных критических нагрузок для ци линдрических оболочек с вязкоупругим заполнителем при сжатии и внешнем давлении проводилось в работах [24, 119, 208]. Трехслойные пологие оболочки с упругими внешними слоями с упруговязким заполнителем рассмотрели X. М. Муштари и А. Г. Терегулов [117]. Длительные критические на грузки здесь получены для цилиндрической оболочки при
сжатии и давлении и для сферической оболочки под давле нием. Трехслойные пластины с упруговязким заполнителем рассматривал А. Г. Терегулов [158]. Трехслойные пластины и оболочки с упруговязкими слоями рассматривали также В. Г. Попов и В. А. Телегин [121—123]. Общим для всех этих работ является исследование устойчивости на бесконечном ин тервале времени на основе линеаризованных уравнений для возмущенных решений.
Длительную устойчивость шарнирно опертого упруговяз кого стержня при продольном сжатии рассмотрели В. Г. Гро мов и Г. Н. Раецк-ий [46]. Устойчивость упруговязкого стерж ня в вязкой среде при неконсервативном нагружении рассмо трена в работе [3]. В работе [284] дано решение для консоли из упруговязкого материала при нагружении следящей силой.
Длительная устойчивость сжатых стержней из упруговяз кого материала исследовалась в [260]. Учет переменности се чения стержня .в этих задачах проводился в [111, 186], пла стинка переменной жесткости рассматривалась в [166], сжа тый стержень в упруговязкой среде, реакция которой связана с прогибом зависимостью с ядром ползучести в виде линейной комбинации экспоненциальных функций (применительно к бетону), рассмотрен в [104].
Длительная устойчивость при изгибно-крутильных дефор мациях балки рассматривалась в [270]. Решение для сжатой круглой пластины дано в [261], для прямоугольной пластин ки — в [51].
Ряд исследований длительной устойчивости был выполнен в связи с расчетомэлементов бетонных конструкций И. Е. Про коповичем с соавторами [130—133]. Ползучесть описывается линейной теорией наследственности с учетом старения. Сжа тый шарнирно опертый стержень с начальным прогибом рас смотрен в [130]. Из условия ограниченности прогибов на бесконечном интервале времени для длительной критической нагрузки получено Гд = Те/(\ + с ) , где Те — эйлерова крити ческая сила, 1 + с = Е/Ел. Значение ТА оказывается не за висящим от старения. Аналогичный результат получен для задачи об устойчивости плоской формы изгиба тонкостенного стержня [131]. Учет нелинейной зависимости скоростей дефор мации от напряжений в схеме ограниченной ползучести пока
зан (на примере двутаврового стержня при сжатии) в |
работе |
||
[133]. Длительная устойчивость сжатых стержней |
из |
мате |
|
риала с |
ограниченной линейной и нелинейной ползучестью |
||
с учетом |
старения рассматривалась в [2 11, 212, |
288]. |
|
В исследование устойчивости в условиях ползучести обо |
|||
лочек из |
материала с ограниченной ползучестью |
известную |
специфику вносит учет нелинейных слагаемых в выражениях