книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

ка /). Поэтому при ф > ф/ температура ТА и деформация сдвига (рл в части А остаются постоянными. Для сравнения на рис. 4 для обеих частей цилиндра проведены изотермиче­

стремится к нулю. Тогда на рис. 4, 5 точка /' будет прибли­ жаться к точке Д и в области ф < ф/ кривые фв и будут стремиться соответственно к кривым фл и ТА. Однако в об­ ласти ф > ф/ для адиабатического процесса соответствующие кривые различаются. Очевидно, что точка / является точкой бифуркации. Можно заметить, однако, что при изотермиче­ ском процессе такая бифуркация не имеет места.

На рис. 5 для Т0= 400оС приведены изотермическая и адиабатическая кривые зависимости крутящего момента М0 от значений деформации сдвига ф Заметная разница между кривыми является следствием высокой чувствительности пре­

Необходимо указать, что адиабатическая кривая на рис. 5 имеет максимум при ф = ф/. Затем пластическая деформа­ ция локализуется. Такое явление часто наблюдается в экс­ периментах при высоких скоростях закручивания.

Эффекты термопластического взаимодействия имеют боль­ шое значение при быстрой обработке металлов, например при экструзии, вырубке и прокатке. Сведения, касающиеся рас­ пределения температуры как в обрабатываемом материале, так и в инструменте, могут помочь объяснить некоторые, наблюдаемые явления. Напомним такие дефекты, как «горячехрупкость», приводящая к периферийному растрескиванию поверхности материалов, полученных экструзией [1], и образо­ ванию «теплых линий» при ковке мягкой стали при 700 °С [7].

К сожалению, точное исследование требует решения пол­ ной системы уравнений, описывающих плоские или осесимме­ тричные задачи термопластичности. Поэтому в уравнения за­ дачи вносятся существенные упрощения, однако так, чтобы не упустить влияния наиболее важных эффектов. Целью при этом является получение грубой оценки распределения тем­ пературы с использованием простых аналитических методов. Подобные исследования были начаты Бишопом [1]. Впослед­ ствии они были продолжены Джонсоном и его сотрудниками

[6— 8].

В этих работах при оценке распределения температуры не учитываются упругое поведение и все эффекты взаимодей­ ствия, за исключением диссипации энергии. Кроме того, пренебрегается влиянием нагрева на предел текучести и прини­

Поле температур можно получить независимо от поля на­ пряжений путем решения начальной краевой задачи для ура­ внения (33). Это первый этап анализа температурных напря­

жений. Второй этап состоит в определении поля а при исполь­

зовании (32) с известным значением а//0 [19].

Условие единственности (23) в данном случае эквивалент­

Единственность а, но не ё обеспечивается также для упруго­ идеальнопластических тел, h = 0. Доказательство теоремы о единственности можно найти в монографии [2].

7. ПОВЕДЕНИЕ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРЕВЕ

Мы обсуждали явление термопластичности на уровне оп­ ределяющих уравнений связанной термопластичности. Однако существуют такие особенности термопластического поведе­ ния, которые проявляются при циклическом нагреве и отсут­ ствуют или пренебрежимо малы при монотонных нагруже­ ниях. Такие явления, как малоциклическая усталость, раз­ рыхление и приспособляемость, являются определяющими при проектировании упругопластических конструкций, под­ вергающихся периодическому или непропорциональному на­ гружению или нагреву.

В циклической термопластичности надо различать две группы задач. Первая касается материала как такового. В ре­ зультате циклического деформирования изменяются кривые напряжения — деформации. В данной работе этот аспект об­ суждаться не будет. Вторая группа связана с поведением эле­ ментов конструкций.

Мы будем рассматривать материалы, нечувствительные к циклам, и применять теории несвязанной термопластично­ сти. Удобно различать два случая, а именно случай пластиче­ ской деформации, стабилизирующейся после определенного числа циклов, и случай пластического течения, продолжающе­ гося во время циклического процесса.

В первом случае говорят, что конструкция приспосабли­ вается к границе программы нагружения, и ее поведение при дальнейших циклах этой программы является чисто упругим.

Однако если пластическая деформация не стабилизирует­ ся, то упругопластическая конструкция выходит из строя либо за счет знакопеременной пластичности, либо за счет накоп­ ления пластической деформации. В первом случае пластиче­ ская деформация остается ограниченной, но развивается текучесть противоположных знаков, что в конечном счс~е

Внутри зоны, ограниченной на рис. 7 линией а, представ­ ляющей зависимость а0/У от ао/У, имеем чисто упругие де­ формации. Если прямая АВ проходит так, как это показано на рис. 6, а, область CDB должна быть уравновешена об­ ластью СЕРАС, так как значения напряжений, превышающие У, недопустимы. Распределение напряжений во второй части цикла дается линией Р'Е'В' Таким образом, возникают оста­ точные напряжения, и каждый последующий температурный

Рис. 6. Циклическое пластическое деформирование: а — упругопластиче­ ская приспособляемость; б — разрыхление.

цикл при выполнении требований (36) приводит к диаграмме напряжений FED. Во время каждой половины цикла напря­ жения в части поперечного сечения достигнут предела текуче­ сти, но увеличения длины зон не будет иметь места. Пластина приспосабливается к комбинации нагрузка — температура до тех пор, пока точка Е не достигнет положения G. Пре­ дельные условия для приспособляемости запишутся в виде

На рис. 7 область приспособляемости ограничена линиями б и в.

Если в первой части цикла распределение напряжений оп- ределяется линией AED, а во второй части цикла — линией

A'E'D' (рис. 6, б), то в каждом полуцикле возникнет осевое удлинение. Сумма удлинений за цикл равна

(40)

Если сто « Y, то остаточная деформация равна Аер = а(Ь, следовательно, она достигнет величины теплового удлинения.

внений. Поэтому представляет интерес дать метод оценки по­ ведения элементов конструкций. Теоремы об упругопласти­ ческом поведении конструкций при переменных тепловых и механических нагрузках позволяют установить, будет или не будет конструкция приспосабливаться к рассматриваемым границам программы нагружения.

•

8. ТЕОРЕМЫ О ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

Первая теорема о приспособляемости (теорема Мелана) утверждает, что, для того чтобы упругоидеальнопластическая конструкция приспособилась к заданной области нагружения, необходимо и достаточно, чтобы существовало не зависящее от времени самоуравновешенное поле напряжений р, при на­

ложении которого на поле фиктивных упругих напряжений оЕ результирующее поле а не нарушало бы условия текуче­ сти в любой точке конструкции и для всех возможных комби­ наций нагрузки:

Наличие температурных напряжений не влияет на спра­ ведливость теоремы. Различие заключается в том, что самоуравновешенные состояния должны учитывать температурные напряжения. Если на свойства материала влияет темпера­ тура, то теорема требует соответствующего изменения [11]. Приспособляемость при комбинированном нагружении и на­ греве впервые рассматривалась Прагером [20].

Теорема о приспособляемости (41) не накладывает огра­ ничений ни на величину пластических деформаций, ни на ко­ личество пластической работы, достигнутое перед тем, как конструкция перейдет в состояние приспособляемости. Более точная формулировка теоремы приспособляемости включает требование, чтобы пластическая работа за время to существо­

Это требование заменяется менее строгим требованием, ут­ верждающим, что средняя пластическая работа по объему тела должна быть ограничена. В работах [5, 25] даны при­ меры применения этой теоремы.

Вторая теорема о приспособляемости (теорема Койтера) утверждает, что конструкция не приспособится к границам рассматриваемой области нагружения, т. е. в конечном счете она разрушится либо вследствие циклических деформаций, либо вследствие накопления остаточных деформаций, если может быть найден такой цикл допустимых скоростей пласти­ ческих деформаций, что

Таким образом, внутри конструкции работа приложенных на­ грузок превосходит пластическую работу [10]. Кинематически допустимая скорость пластической деформации такова, что ее интеграл по некоторому интервалу времени определяет кине­ матически допустимое распределение деформаций, т. е. удо­ влетворяет требованию совместности.

В случае теплового нагружения теорема Койтера прини­ мает вид [4, 15]

где a — коэффициент теплового расширения, p/у — скорость изменения остаточного напряжения, вызванного изменением пластической деформации.

Примеры анализа приспособляемости и приложения, от­ носящиеся к переменному нагреву дисков, труб и пластин, можно найти в монографии Д. А. Гохфельда [5] и в работе Кёнига [11]. Дальнейшие сведения о полученных решениях содержатся в обзоре [25].

9. З А К Л Ю Ч И Т Е Л Ь Н Ы Е З А М Е Ч А Н И Я

В предлагаемом обсуждении температурных эффектов в пластичности не был затронут ряд важных вопросов. К ним относятся циклическая пластичность, связанная термопла­ стичность при конечных деформациях, анализ напряжений с учетом фазовых превращений, закалка, сварка и разрыхле­ ние. Наша цель состояла в изучении термопластических вза­ имодействий, поскольку очевидно, что многие важные техни­ ческие задачи могут быть решены, если термомеханические воздействия будут изучены и представлены в форме матема­ тической модели.

СП И С О К ЛИ ТЕРА ТУРЫ

1.Bishop J. F. An approximate method for determining the temperatures

2.Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.: Мир, 1964.

3. Вгее J. Elastic-plastic behavior of thin tubes subjected to internal pres­ sure and intermittent high-heat fluxes with application to fast-nuclear* reactor fuel elements. — J. Strain Analysis, 2, 226—238.

4.De Donato 0 . Second shakedown theorem allowing for cycles of both loads and temperature. — Rend. Inst. Lombardo, Cl. Sci., A104 (1970). 265—277.

б.Гохфельд Д. А. Несущая способность конструкций в условиях теплосмен.— М.: Машиностроение, 1970.

6.Johnson W., Kudo Н. The use of upper-bound solutions for the determi­ nation of temperature distributions in fast hot rolling and axi-symmetric

9. Каменярж Я. А. О некоторых свойствах уравнений модели связанной термопластичности. — Прикл. матем. и механ., 36 (1972), № 6, 1100— 1108.

10.Койтер В. Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. — М.: ИЛ, 1961.

11.Konig J. A. A shakedown theorem for temperature dependent elastic

13.Litonski J. On the instability under plastic torsion on account for ther­ momechanical coupling (на польск яз.). — Rozpr. Inz, 24 (1976), No. 4,

16.Manjoine M. J. Influence of rate of strain and temperature on yield stresses of mild steel.— J. Appl. Mech., 11 (1944), 211—218.

17.Marciniak Z. Critical deformations at sheet pressing (на польск. яз.)'.— Warsaw: WNT, 1971.

18.Mrdz Z., Raniecki B. Part A. On the uniqueness problem in coupled thermoplasticity. — Internat. J. Engng. Sci., 14 (1976), 211—221; Part B. The derivation of the uniqueness conditions in coupled thermoplasticity; ibid., 14 (1976), 395—401.

19.Perzyna P., Sawczuk A. Problems of thermoplasticity. — Nucl. Engng. Design. 24 (1973), 1—55; русский перевод см. на стр. 94 данного сбор­

25.Sawczuk A. Shakedown analysis of elastic-plastic structures. — Nucl. Engng. Design, 1974 (в печати).

26.Zener C. The micromechanism of fracture. — Fracturing of metals. ASM, 1948, p. 3—31.

ПРИЛОЖЕНИЕ к статье Б. Ранецкого и А. Савчука

«ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАСТИЧНОСТИ» О

В развитие приведенных выше результатов отметим сле­ дующее.

1. Более общее, чем было предложено нами, операционное определение параметра упрочнения было введено Хартом в ряде работ, обзор которых содержится в [1]. Обобщение со­ стоит в том, что Харт одновременно учитывал влияние исто­ рии изменения температуры и скорости деформации на пла­ стические свойства металлов. Вместо уравнения (2) нашей работы Харт использует линейную дифференциальную форму, содержащую три независимые переменные:

(а)функции y,'v, g зависят только от а, ёр, Т\

(б)линейная дифференциальная форма, входящая в пра­ вую часть уравнения (1.П), является интегрируемой формой.

Харт называет параметр у пластическим параметром упроч­ нения, а уравнение (2.П)2— пластическим уравнением состоя­ ния. Из предложения (б) следует, что функции у, v и g дол­ жны быть функциями дифференциально зависимыми, так как они должны удовлетворять соответствующему условию инте­ грирования. Чтобы определить функции F и *F, входящие в (2.П), аналитически, следует найти из экспериментов две из трех функций у, v и g, входящих в равенство (1.П), например функции у и v- Первые эксперименты, выполненные Хартом