книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа

5.2. Традиционный подход к проблеме конструирования признаков 121

86, 88,], биологических микрообъектов [51, 58] (см. главу 11). Раз­ работанная теория способствует решению смежных задач, таких как поиск фрагмента на изображении, нахождение похожих фрактальных структур, поиск изображений по содержанию (см. главу 10).

В дальнейшем представленная теория признаков распознавания, основанных на совместном применении математического аппарата сто­ хастической геометрии и функционального анализа, будет рассмотрена более детально и основательно.

5.2. Традиционный и новый подходы к проблеме конструирования признаков

Этот параграф определяет место предлагаемой теории в общей тео­ рии распознавания образов и описывает ее специфические особенности.

Общую проблему распознавания образов можно сформулировать в следующем виде: при заданной некоторой информации об образе принять решение, т. е. выбрать элемент из множества допустимых ре­ шений. Эта проблема интерпретируется как назначение объекта (изоб­ ражения, сигнала и т. д.) в некоторый класс. На первой стадии решения проблемы множество классов может быть не полностью известным, также как критерий назначения объекта в класс может быть неясным. Таким образом, возникает другая проблема разработки процедур, ко­ торые различают образы и удовлетворяют требованиям распознавания образов.

В анализе двумерных изображений простейшие процедуры разли­ чения образов основаны на выборе признаков изображений. Признак изображения определяется в [108] как простейшая специфическая характеристика или свойство изображения.

Таким образом, чем больше количество информативных признаков, тем лучше они различают изображения, тем более эти признаки по­ лезны при конструировании распознающей системы. Можно было бы заметить, что этот подход к признакам является обычным, потому что любую процедуру в распознавании образов можно рассматривать как вычисление некоторого признака. Даже процедуру отнесения объек­ та к определённому классу можно рассматривать как вычисление некоторого обобщённого признака — номера класса [33]. Условимся определять признак изображения как характеристику изображения, ко­ торая исследуется и проверяется не только для решения специфической проблемы распознавания, но также для изучения изображения с более общей точки зрения. Очевидно, это определение не является строгим. Вычисление признака не включает ни анализ, ни синтез изображения. Математически эту операцию можно толковать как вычисление функ­ ционала.

Следуя информационному и психофизиологическому подходам к получению признаков и резюмируя сказанное, отметим, что между получением изображения и отнесением его к какому-либо классу

122 Гл. 5. Подход к формированию признаков распознавания

(принятием решения) ставится промежуточная задача узнать об изоб­ ражении что-либо, что поможет принять решение, т. е. ставится та же задача классификации, но ещё менее формально. Иначе говоря, неявно предполагается, что возможно найти некоторую информацию, которая может использоваться для принятия решения об отнесении изображения к какому-либо классу. Такой подход, обычно явно не декларируемый, связан с тем, что, изучая изображение, человек по­ лучает почти одновременно массу значимой информации, но не может выразить это математически, по крайней мере, сразу и полностью. Для этого сначала ищутся «признаки», а затем разрабатываются сложные алгоритмы обработки, которые могут также считаться нахождением более сложных признаков.

Следовательноу признак можно понимать как характеристику изображения, которая получается без больших логических рассуж­ дений или которая легко поддаётся машинной реализации (без систематического разветвлённого алгоритма, работающего в ком­ пьютере), хотя, возможно, при значительной параллельной обра­ ботке, как в мозгу человека или в компьютерных сетях.

Известные признаки можно классифицировать в соответствии с их происхождением следующим образом:

1.Признаки, выбранные для решения очень узкого класса проблем, которые часто решаются одновременно с разработкой признаков. Этими проблемами являются, например, распознавание стилизованных цифр или классификация деталей механизма в производственной линии.

2.Признаки, которые отражают естественные человеческие понятия изображения. Первым выбирается понятие, например цветовой спектр, затем конструируется признак, например, гистограмма цветов. Други­ ми примерами являются шероховатость против гладкости и расплыв­ чатость против различимости.

3.Признаки, основанные на теориях, таких как топология (напри­ мер, число Эйлера), механика (положение центра масс), геометрия (например, периметр выпуклой оболочки), теория вероятностей, спек­ тральный анализ и т.д.

4.Признаки, основанные на логических дедукциях и ветвлении процессов в анализе информации, например, признаки, связанные с подчеркиванием границ, и т.д. Здесь такие усложненные алгоритмы не рассматриваются как признаки.

Анализ этих четырех источников показывает, что на первой стадии признаку назначается интуитивный смысл, который проявляется как первичный по отношению к строгому определению, программированию

итестированию признака. Первым идет распознавание свойств изоб­ ражения, которое часто является интуитивным или основанным на су­

ществующей теории (где интуитивное понимание также присутствует), и затем конструируется признак. Как написано в [108], любой, кто хочет получить информацию о среде, основанной на изображениях, должен понимать, как формируются изображения. Это является ос­ новным современным подходом к решению проблем распознавания образов и, в частности, к конструированию признаков.

5.2. Традиционный подход к проблеме конструирования признаков 123

Альтернативный подход. Во-первых, этот подход имеет матема­ тическое происхождение. Рассмотрим, например, область математики, называемую перечислением графов. Сначала устанавливаются свойства графа, затем исследуется множество всех графов с этими свойствами. Все такие графы перечисляются, т. е. вычисляется их общее коли­ чество, и конструируется процедура для их перечисления. Похожая ситуация имеет место в теории групп и многих других областях математики: сначала задаются частные признаки объектов и затем конструируется теория для манипулирования объектами, имеющими эти признаки. Например, теория может рассматривать эти объекты как единственный объект с параметрами.

Тот же подход можно использовать в конструировании признаков. Берем ссылочный признак и устанавливаем столько его свойств, сколь­ ко нужно для эффективного перечисления или генерации всех других признаков с таким же набором свойств. Проблема теперь стала чисто математической. Смысл некоторых порожденных признаков может не быть ясным заранее. Такие признаки могут затем исследоваться ма­ тематическими методами и с помощью компьютерных экспериментов. Программирование здесь имеет особую важность по сравнению с тра­ диционным подходом, потому что только распознавание изображений и выявление скрытых свойств изображений на практике могут доказать полезность данного признака.

Мы называем обычный подход к конструированию признаков ин­ дуктивным, потому что общий признак или одно из его возможных представлений конструируется, начиная с частных примеров, сообра­ жений и теорий. Подход, предложенный здесь, можно назвать дедук­ тивным, потому что он вовлекает получение признаков по правилам, которые однозначно их определяют. Эти термины, «индуктивный» и «дедуктивный», введены только для удобства.

Признаки, полученные дедуктивно, имеют некоторые свойства, определяемые возможностями метода их генерации.

1. Вычисление признака не использует явно специфические свойст­ ва изображения. Например, ввод (сканирование) информации для обра­ ботки не зависит от информации, которая уже обработана. Вычисления могут ветвиться, но только в простых ситуациях, например, в вычисле­ нии знаковой функции. Этому и другим свойствам строгие определения не даются. Свойство 1 отсутствует, когда, например, сканирующее окно движется вдоль контура или градиента освещенности во время вычис­ ления признака. Свойство 1 присутствует, когда вычисляется оператор Лапласа. В частности, этот оператор используется для определения границы изображения. Другими словами, вычисление признака должно быть простым для программирования. Однако такие признаки могут выявлять хорошие структурные характеристики.

2.Основная часть вычислений может быть значительной, но глав­ ная часть вычислений может выполняться параллельно.

3.Признак не обязательно основан на интуиции.

4.Признак можно легко расширить и запрограммировать для обра­ ботки цветных и полутоновых изображений.

124Гл. 5. Подход к формированию признаков распознавания

5.Вычисления можно организовать стохастически. Это означает, что вычисления можно программировать таким образом, что, если некоторые параметры (например, отклонение в вычислении среднего) достаточно малы, то процесс заканчивается. Примеры такого подхода

кформированию признаков даны в главе 12 .

6.Признак инвариантен по отношению к некоторой группе преоб­ разований плоскости. Такими группами могут быть:

а) группа движений, т. е. признак не зависит от положения и ори­ ентации объекта в плоскости;

б) группа движений и гомотетий, т. е. он не зависит от равномерно­

по отношению к группам преобразований необходима для сохранения результата распознавания не зависимым от указанных преобразований изображений.

7. Признак основан на преобразованиях образов, например, на трансформанте Фурье. Однако мы рассматриваем преобразования, ко­ торые являются существенно более геометрическими1, такие как пре­ образования Радона и Хо. Эта работа для конструирования наборов признаков использует идею преобразований Радона.

Мы предлагаем теорию признаков, полученных дедуктивным мето­ дом. Эти признаки называются триплетными в соответствии с проце­ дурой их вычисления.

5.3. Аффинное преобразование изображений

Созданная теория позволяет получать признаки, не зависящие от движений изображения и линейных деформаций [16, ПО, 120], т.е. от аффинных преобразований изображения. Кроме того, можем исполь­ зовать эту теорию для получения признаков, которые простым образом зависят от указанных преобразований, что делает возможным нахож­ дение параметров аффинных преобразований эталонного изображения.

Общим свойством аффинных преобразований является то, что они сохраняют прямые линии в изображении. Аффинное преобразование можно даже определить как однозначное непрерывное преобразование плоскости, которое отображает каждую прямую линию в прямую ли­ нию.

Специфическим свойством предложенных признаков является то, что каждый из них можно представить как композицию трех функционалов, действующих на функциях от одной переменной.

Представляют интерес движения изображения, такие, как переносы

1 На меньшую геометричность преобразования Фурье указывает, напри­ мер, тот факт, что с его помощью трудно выразить простыми средствами длину и площадь.

вдоль прямых линий, поэтому следует также рассмотреть функци­ ональные преобразования, вызванные этими переносами. В главе 6 будут рассматриваться функционалы, которые: (i) инвариантны к пе­ реносу и (s) зависимы от переносов (чувствительны к ним) таким образом, что перенос можно записать как отдельный терм.

Итак, в распознавании образов востребованы признаки изображе­ ния, которые не изменяются под действием переносов, поворотов и, возможно, под действием других преобразований изображения. Такие преобразования можно интерпретировать как изменения изображе­ ния (т. е. получается новое изображение) или изменения положения наблюдателя (например, фотокамеры): наблюдатель может смещаться, приближаться, или отодвигаться от изображения, нагибаться, или по­ ворачиваться. Второй подход можно формализовать введением системы координат, которую наблюдатель считает естественной.

Рассмотрим оба подхода и покажем, что они эквивалентны. Второй подход, когда изображение считается неизменным, а наблюдатель пе­ ремещается, более удобен с точки зрения математики, хотя результаты анализа специфических изображений более естественны и привычны при интерпретации в терминах изменений изображения: мы говорим, например, что символ повернут, перенесен или увеличен. Дадим фор­ мулы, связывающие два подхода.

Во-первых, опишем преобразования, которые можно исследовать предложенными методами. Они являются переносами, поворотами, го­ мотетиями (т. е. равномерными сжатиями и расширениями), сжатиями (расширениями) в одном направлении, отражениями относительно про­ извольных прямых линий и произвольными комбинациями таких пре­ образований. Эти преобразования образуют класс плоских аффинных преобразований. Рассматриваем только обратимые, т. е. невырожден­ ные преобразования. Хорошо известно, что любое аффинное преобра­ зование можно представить как линейный невырожденный оператор и перенос. Однако нужна координатная система в плоскости для реа­ лизации такого представления. Если отражения относительно прямых линий не рассматриваются, то детерминант оператора положителен и аффинное преобразование называется сохраняющим ориентацию или собственным.

где верхний индекс t обозначает транспонирование. Линейное преоб­ разование умножает координаты точки М на некоторую матрицу А. Дополнительный перенос с помощью вектора w = (ец е2)(иц,ш2)4 с ко­ ординатами w\ и W2 дает аффинное преобразование. В данной системе

126 Гл. 5. Подход к формированию признаков распознавания

координат каждое аффинное преобразование определяется невырож­ денной матрицей А и вектором w по следующему правилу: каждая точка М формулы (5.2) отображается в точку

Для формализации второго суждения о движениях изображения вводим другую систему координат с началом координат Р и неколлинеарными базисными векторами vi и v2. Пусть точка М имеет координаты у\ и у2:

Существуют матрица А и вектор и с координатами (иц,и;2)4, опре­ деленный во второй системе координат, которые связывают системы координат друг с другом:

Предполагаем, что новая система координат определяется формула­ ми (5.5). Приравнивание (5.2) и (5.4), и использование (5.5) дает

(уиУгУ = А (х1,х2У + (щ ц - ш г)*.

Для краткости обозначаем введенные системы координат тройками (0 ,е ь е2) и (P ,v b v2).

Получаем следующее заключение. Предположим, что аффинное преобразование применяется к изображению, такому, что каждая точка с координатами х\ и ж2 в системе координат (О,e i,e 2) отображается в точку с координатами

А(х 1 ,х 2у + {wi,W2 )\

и цвет, и яркость точки остаются неизменными.

Результирующее изображение совпадает с наблюдавшимся в новой системе координат (Р ,v i,v 2), определенной формулами (5.5). (При наблюдении изображений используем декартовы координаты).

Это заключение предполагает, что достаточно рассмотреть одно изображение в двух системах координат, связанных формулами (5.5), а не два изображения, связанных аффинным преобразованием.

Параметрическая спецификация прямой линии в плоскости.

Для описания нашей теории введем некоторые обозначения и приведем некоторые простые соотношения. Доказательства этих соотношений иногда опущены из-за их простоты.

Каждая прямая линия рассматривается как имеющая фиксирован­ ное направление, т. е. ориентированная. Прямую линию без ориентации можно ориентировать точно двумя способами. Зафиксируем в плос­

Мы имеем £(ai)A (a2) = A(ai + a 2) Для любых а\ и а 2.

В этом обозначении вектор направления для прямой линии I запи­

где параметр р является числом, равным значению расстояния меж­ ду точкой О и прямой /, потому что вектор (ei,e 2)A(0) является ортогональным по отношению к прямой I. Заметим, что вектор с этими координатами является ортогональным по отношению к прямой I только в данной системе координат; в другой системе координат орто­ гональность будет определяться другими базисными векторами. Таким образом, уравнением прямой линии является

{(жьжг)* : х\ cos# + a?2 sin # = р}.

Оно отличается от канонического нормального уравнения прямой линии только тем, что параметр р не обязательно положителен.

В параметрической форме прямую I можно определить изменяю­ щейся точкой

М = О + (ei, е2)р\(0) + (ei, e2 )tX (в + —^ ,

которая пробегает вдоль прямой, как параметр t пробегает во всем множестве R действительных значений. Мы называем параметры в и р полярными параметрами ориентированной прямой линии I в системе координат (О, еьег). Параметр t называется аффинным параметром точки прямой I, привязанной к данной системе координат.

Определим шестипараметрическое отображение L на плоскость:

Фиксация первых пяти параметров в (5.6) дает параметризацию

прямой линии с вектором направления S А(0), который определяет

ориентацию прямой. Абсолютное значение параметра р равно рассто­ янию до прямой в системе координат (О, e i,e 2). Таким образом, мы получили параметризацию для прямой линии I.

В фиксированной системе координат (О, e i,e 2) каждую ориенти­ рованную прямую линию можно уникально представить в форме (5.6), т. е. параметры в и р уникальны для каждой прямой (параметр в строго определяется в интервале 2тт). Такая же прямая линия с противополож­ ной ориентацией имеет параметризацию

L(0, e i,e 2, 0 + 7Г, -p,t), t E R.

128 Гл. 5. Подход к формированию признаков распознавания

Наиболее важное свойство параметризации (5.6) заключается в том, что она дает непрерывную зависимоств параметризованной прямой от параметров. Например, она ясно показв1вает, что структуру многообразия S1 х I можно ввести на множестве всех

ориентированной прямой линий в плоскости (является декартовым произведением одномерной окружности S 1 и действителвной прямой

линии R, т. е. это цилиндр).

Прямая линия в двух системах координат. Рассмотрим две систе- мв1 координат (0 ,e i,e 2) и (Р, v i,V2 ). Ориентированная прямая линия I

имеет различные параметризации в этих системах координат:

Заметим, что это параметризации направленных прямых линий. Наша первая цель заключается в определении взаимосвязи между полярными параметрами прямой линии в двух системах координат и между аффинными параметрами точки прямой, которые соответствуют этим системам. Другими словами, мы должны выразить параметры в'

ир' в терминах параметров в и р для данной прямой I и записать параметр t1 в терминах параметра t для данной точки М этой прямой.

Во-первых, заметим, что параметры t' и t, соответствующие одной

итой же точке М прямой I, аффинно связаны:

где к > 0 и параметры к и Ъ не зависят от точки М и соответственно

от t' и t.

Таким образом, можем сформулировать следующее утверждение.

являются двумя системами координат в плоскости, I ориентированная прямая, в и р полярные координаты прямой I в первой системе коор­ динат, и в' и р' полярные координаты во второй системе координат, то существуют числа к > 0 и 6, такие что для всех t

Поворот и гомотетия. Предположим, что две системы коорди­ нат (5.9) в плоскости связаны как

где S(a) — матрица поворота на некоторый угол а. Например, если изображение дано в первой системе координат, то это изображение, наблюдаемое во второй системе, выглядит повернутым на угол а и расширенным в р раз, где р > 1. Если 0 < р < 1, то изображение будет выглядеть уменьшенным. Если р = 1, то изображение только повернуто.

130 Гл. 5. Подход к формированию признаков распознавания

Скалярное умножение обеих сторон этого равенства на вектор \{в) и простые преобразования дают

р' = /9 + SO(A(^O).A(0)) = р + Socos (ф0 - в).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5.2. Предположим, что две системы координат (О, e i,e 2) и (Р, e i,e2) различаются только их началами: 0 — Р = (ei, e2)soA(^o)- Тогда для всех р и в выполняется

Поворот, гомотетия и перенос. Предположим, что поворот на угол а , гомотетия с коэффициентом р > 0 и перенос на вектор w = = гщв! + щ 2е2 последовательно применялись к изображению в системе координат (О, e i,e 2). Результирующее изображение является тем же, как если бы первоначальное наблюдалось в новой системе коорди­ нат (Р, v i,v 2), полученной из первой с помощью (5.5) при А = pS(a).

Рассмотрим промежуточную систему координат (О ,v i,v 2). Пусть прямая линия I имеет параметризацию L (0 ,e i,e 2,$, р, t), i s R. Соглас­ но (5.12) для любого t эта параметризация совпадает со следующей:

Используем формулу (5.13). Рассмотрим произвольный векторстолбец so-M^o)- Для применения (5.13) временно переименовываем аргументы vi, v 2, 0 + а, рр и pt в (5.14) в еь е2, в, р и i соответ­ ственно. Формула (5.13) тогда предполагает, что (5.14) соответствует следующему:

L( О - (vi, V2)S0A('*/’O)> V I , V2, 0 a, p p +

+ SQcos(ipo — в — a), pt + SQ вт(фо — в — a)), t S M. (5.15)

Числа w\ и W2 известны из принятого предположения. Возьмем so

Полученные результаты можно сформулировать следующим об­ разом.