книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа
..pdf
2.3. Некоторые интегральные формулы |
45 |
общие точки с кривой Г. Интегрирование правой части дает
7Г
k dc sin (pd(p = 2х(Г).
го
При интегрировании левой части необходимо иметь в виду, что пря мая G будет выполнять, условно говоря, роль «общего множителя» при кривизнах hi во всех точках пересечения этой прямой G с кривой Г. Получим
^ Ч гЪ б ? = 2х(Г). |
(2 .12) |
Например, если Г — выпуклая кривая и к\, &2 являются значениями кривизны в двух точках, в которых случайная прямая G пересекает Г, то
(&i + к%) dG = 47г,
ибо полная кривизна х(Г) выпуклой кривой всегда равна 2п.
При условии, что кривая Г расположена внутри выпуклой кривой Г)
длины Ь\, получаем среднее значение: |
|
( Х > ) = ^ - |
(2.13) |
Понятие полной кривизны может быть распространено и на обла сти, ограниченные конечным числом кусочно-гладких кривых. В ма тематической литературе для описания полной кривизны таких обла стей Q вводится еще один числовой показатель, называемый эйлеровой характеристикой x{Q)-
Рассмотренные выше свойства пересечений случайными линия ми кривых и областей интересуют нас в контексте решения задач распознавания образов. Итак, пусть для распознавания предъявлены объекты, имеющие достаточно гладкую границу, т. е. можно измерить кривизну границы в каждой точке (или, как только что разбиралось, граница объектов состоит из конечного числа гладких дуг). Тогда при сканировании случайными линиями мы можем измерять кривизну границы в каждой точке пересечения, причем, как было установлено, сумма их отражает общую кривизну (см. формулу (2.10)). Таким образом, эта сумма дает представление о конфигурации объектов и может служить критерием распознавания.
В заключение приведем интегральные формулы, связывающие кри визну с другими геометрическими параметрами, которые могут высту пать как признаки распознавания:
£ |
1 |
h |
dG тгх(Г); |
dG = тrL; |
V ' -sinSI |
||
Sin^i |
y>i |
2.3. Некоторые интегральные формулы |
47 |
где вместо разности t2 ~ t \ берется ее абсолютное значение, |
потому |
что рассматриваются только положительные плотности. |
|
Эта формула отражает тот интуитивно ясный факт, что в понятиях множеств, состоящих из пар точек, наиболее естественно считать пере менной р (А \,А 2 ) — расстояние между точками А\ и А 2 , которое равно |^2 —ii|- Если рассматривать подмножество пар точек, лежащих на сет чатке, т. е. в некоторой выпуклой области Ф, то можно нормированием инвариантной меры, как это делалось в 1.3, ввести вероятностную меру на этом подмножестве. Это даёт возможность рассматривать расстояние р(р,0) как случайную величину. Она оказывается очень близкой к другой случайной величине д(р,в), являющейся хордой, высекаемой выпуклым множеством на случайной прямой G(p,e), про ходящей через точки А\ и А 2 (в терминах технической реализации д(р,0) является частью сканирующей прямой G(p,e), лежащей внутри границы объекта).
Предположим, что F — ограниченное выпуклое множество, д — длина хорды, определяемой прямой G, пересекающей F. Рассмотрим
интеграл вида |
|
|
In |
gn dG, |
(2.15) |
в котором п означает целое положительное число, а интеграл берется по всем прямым G, пересекающим F.
Рассмотрим также интеграл
Jn |
рп (1А\ Л (IA2 , |
(2.16) |
где p = f a — t\\ есть расстояние между точками А\ |
и А 2 , распо |
|
ложенными в множестве F, а интегрирование распространяется на все возможные параметры таких точек. Используя формулу (2.14) и учитывая, что р = fa —1 11, вычисляем интеграл
Jn |
fa — t \|n+1 dG A dt\ A dt2 = |
|
|
|
||
|
|
ъ |
1 |
|
|
|
|
|
dG Л dt\ |
(t2 - t i ) n+ldt2 + |
(ti - t2)n+ldt2 |
|
|
|
|
t |
cl |
|
|
|
|
|
1 |
( Ь - и ) п+2 + ( и - а ) п+2 |
dt\ = |
|
|
|
|
dG |
|
|||
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(6 - |
a)n+3dG, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(n + 2)(n + 3) |
|
||
где а |
и b |
значения t, |
соответствующие |
концам |
хорды g, |
так что |
b — a = g. |
|
|
|
|
|
|
48 |
Гл. 2. Траектории сканирования |
|
|
Полученное соотношение можно записать в виде |
|
|
j — _____ -_____ I , |
(2.17) |
|
[п + 2 )(я + 3) |
|
оно справедливо для всех п ^ —1. Эквивалентная запись этого равен ства выглядит так:
г |
п( П —1 ^ |
т |
|
||
п ( п - |
1) |
|
(2.18) |
||
-*П— |
л |
|
**п—3* |
||
Это равенство имеет место для всех п ^ 2.
Для п =0 и 1 значение интеграла находят, используя (2.1) и (2.3):
/о = L; |
L = |
д dG = nS, |
(2.19) |
|
|
GnF^0 |
|
где L — длина границы множества F; S — площадь F. |
|
||
При п = 2 интегралы (2.16) и (2.18) принимают вид |
|
||
h = |
|
dA\ A dA2 |
( 2. 20) |
gz dG = |
|||
G n F ^ 0 |
|
A UA2€ F |
|
что равно собственному потенциалу однородного слоя на А. |
|
||
При п = 3 |
|
|
|
h = |
[ |
g:id,G -- 3S~, |
(2.21) |
GnF^0
поскольку согласно формуле (2.16) Jo = S 2.
Обозначим через Мр среднее расстояние между двумя точками F,
т. е. положив |
|
|
|
|
$ p d A \A d A 2 |
J\ |
|
Р ~ |
J dA\ A dA2 |
~ S 2’ |
|
получим при n = 4 |
|
|
|
u |
g4dG = 6S 2Mp. |
( 2.22) |
|
Среднее расстояние и распределение расстояния внутри фи гур играют важную роль при решении задач оптимального поиска [34, 121, 122]. Теория оптимального поиска в настоящее время яв ляется исключительно быстро развивающейся областью кибернетики. Ее развитие вызвано практической необходимостью решать задачи поиска в области радиолокации, радиоастрономии, в аэрокосмических исследованиях, в технической диагностике.
Непосредственным вычислением из формул (2.15) и (2.16) с по мощью (2 .22) получены следующие средние расстояния между двумя точками выпуклого множества:
для круга радиуса R
128
2.3. Некоторые интегральные формулы |
49 |
для равностороннего треугольника со стороной а
м^ = т ( И 1ё3) ;
для квадрата со стороной а
M p = ^ [ V 2 + 2 + 51og(l +V 2)].
В [17, 31, 105] приводятся аналогичные формулы для средних расстояний и анализируются их распределения для овалоида, прямо угольника, системы прямоугольников и т. п.
Представляет значительный интерес интеграл от степени хорд при
п = - 1 :
L |
g~l dG. |
(2.23) |
GnF^0
Можно показать, что этот интеграл расходится, когда случайны ми линиями сканируется объект, имеющий острые углы. При ска нировании же объектов, не имеющих углов, этот интеграл является сходящимся. Таким образом, интеграл (2.23) является эффективным признаком, обнаруживающим существование углов на изображениях объектов.
Выше, рассматривая интегралы от степени хорд для конкретных об ластей и фигур, мы ограничивались упоминанием, что они получаются непосредственно интегрированием. В качестве примера, иллюстриру ющего технику получения подобных результатов, определим I2 для окружности радиуса R. Для этого необходимо вычислить интеграл по формуле (2.20), воспользовавшись тем, что для круга радиуса R
с центром в начале координат хорда д = 2л/ R 2 —р2, а плотность dG = = dp А сШ. Итак, имеем
h д2 dG.
После замены двойного интеграла двукратным и подстановки опреде ленных выше значений д и dG
27гR |
2тг R |
|
h |
g2dp A dQ |
4 ( \ / R ' 2 - p 2) 2 dP A d 6 = ^ - R3. |
о о |
о |
о |
В математической литературе приводятся универсальные форму лы для определения 1п в случае окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Они получены с помощью такого же приема, как и в вышеприведенном примере (т.е. непосредственным интегрированием), но с учетом того, что для окружности единичного
4 Федотов Н. Г.
50 Гл. 2. Траектории сканирования
радиуса д равна 2у/1 - р2. Это формулы вида
|
I |
|
■1 2"+17гДп+1 |
при четном п, |
I n |
3 |
• I |
||
|
- — --------- 7---- -т 2п7г2Дп+1 |
при нечетном п. |
||
|
2 |
• 4 • ... • (п+ |
1) |
^ |
Рассмотренные в этом параграфе интегралы не являются независи мыми, они связаны некоторыми неравенствами. Одно из них
/о —41\ ^ О |
(2.24) |
есть классическое изопериметрическое неравенство. Имеют место и неравенства
1527г8/ | - 216/f ^ 0
(2.25)
162If - 327г/ | ^ 0.
Равенство в соотношениях (2.24) и (2.25) существует только тогда, когда F — круг.
Для любых целых то, п, р, таких, что 0 ^ то ^ п ^ р, справедливо следующее соотношение: hm hn > ^ +то; 1^~п1р~т > i£ _TO.
Области на сетчатке, определяемые случайными прямыми.
Рассмотрим ограниченное выпуклое множество F на плоскости, име
ющее внутренние точки. |
Предположим, что площадь его равна S, |
а периметр L. Пусть N |
случайных прямых G*(p*,0j) пересекают F. |
Эти прямые подразделяют F на г многоугольных областей, имеющих q внутренних вершин, являющихся точками пересечений пар прямых и одновременно внутренними точками F и то ребер. Поставим задачу отыскания средних значений величин г, q, то.
Найдем, прежде всего, среднее значение числа вершин q. Согласно определению
интегрирование распространяется на все прямые G, пересекающие F. Обозначим через <fte (к ^ е) функцию от 6Д и Ge. Она равна единице, если Gk П Ge G F, и нулю в других случаях. Тогда д = ^2qkqe, причем число слагаемых в этой сумме равно N (N — 1)/2. Считая, что ди является длиной хорды G П F, получаем
qke dGk A dGе —2 д^ dG&—27гД.