книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа

82 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

решеткой параллельных линий на расстоянии а, или решеткой квадра­ тов (а х а), или решеткой прямоугольников (а х 6). В отношении веро­ ятности пересечения данного круга с такими решетками справедливо следующее утверждение.

а

Доказательство. Для решеток параллельных линий с шагом а можно сразу заметить, что Р = D / а.

Вслучае решеток квадратов и прямоугольников обозначим через X

иY пересечения соответственно с горизонтальными и вертикальными линиями решетки (т. е. сами эти геометрические события), тогда веро­ ятность пересечения круга с такой решеткой определится как

Р = Р ( Х U Y) = Р(Х) + P(Y) - Р ( Х П Y),

где Р (Х П У ) = [ Р(Х, Y/e)f(Q) dd есть вероятность пересечения од­

в

новременно с обеими линиями (горизонтальной и вертикальной), обу­ словленная углом в между диаметром D и данным направлением; f(9) — плотность вероятности случайной переменной 9.

Для квадратных решеток имеем Р(Х) = P ( Y ) = D/a и P ( X , Y / 9 ) = = P(X)P(Y) = (D/a)2, так как пересечения не зависят от в в случае круга, и плотность вероятности f(9) = Х/тт для в е [0, д]. В результате

о

плоскости изображения, которая неизбежно ограничена для любой рас­ познающей системы). Для этого случая предыдущий результат (3.17) приобретает вероятностный смысл и может быть выражен следующим образом.

Вероятность того, что случайная полоса ширины а, пересекающая множество Ф, пересечет и F,

L 1 + 7Га

(3.18)

L + тга ’

где Ь\ и L — длины границ множеств F и Ф соответственно.

Эта формула верна и для случая, когда изображение объекта F является связной областью, не обязательно выпуклой. Единственное отличие ее от предшествующего случая в том, что в качестве L \ необходимо использовать теперь длину границы F выпуклой оболочки этой области, а не длину ее собственной границы.

Выше отмечалось, что для некоторых задач можно реализовать рас­ познавание, основанное на различии выпуклых оболочек изображений объектов.

В качестве признаков распознавания при решении таких задач могут быть использованы рассмотренные геометрические вероятности, определяемые (3.17). Некоторые геометрические вероятности, приме­ нимые и в качестве признаков распознавания, даются ниже.

Пусть изображением объекта, т. е. F, является отрезок длиной /. В этом случае можно считать F частным случаем множества с длиной границы, равной 21. Вероятность того, что случайная полоса шири­ ной а, пересекающая Ф, пересечет и этот отрезок,

21 + 7Га

(3.19)

Ь + тта

Рассмотрим еще один частный случай, когда сканируемым объек­ том является точка А, находящаяся внутри выпуклого множества Ф. Здесь можно считать, что множество F вырождается в точку. Тогда для определения геометрической вероятности пересечения точки с полосой применима общая формула (3.18). При этом вероятность того, что случайная полоса ширины а, пересекающая Ф, пересечет и точку А,

Определим вероятность того, что случайная полоса, пересекаю­ щая Ф, содержит заданное множество F с диаметром, меньшим, чем ширина полосы D ^ а:

тта—Ь\

(3.21)

тта + L

Здесь числитель получается как разность меры (3.17) и меры всех полос, граница которых пересекает Ф, т. е.

8 6 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

Рассмотрим случай, когда случайными полосами сканируется изоб­ ражение со сложной текстурой вида рис. 2.3. Такое сложное изобра­ жение можно представить как выпуклое множество Ф, содержащее N выпуклых множеств F* ( i = l , 2 , . . . , N ). Обозначим через L периметр множества Ф и через Д периметры множества F*. Пусть п — число множеств Fi, которые пересекаются, хотя бы частично, полосой В. Тогда справедливо равенство

Если диаметры всех Fi равны или меньше а и гг* есть число множеств Fi, покрытых полосой В, то на основании (3.22)

Из последних двух равенств и (3.22) следует утверждение [31]; пусть Fi (* = 1,2,... , N ) — это N выпуклых множеств, ограниченных выпуклым множеством Ф. Среднее число множеств Fi, которые пересекаются полосой ширины а и помещены в Ф случайно,

N

Если все диаметры множеств Fi меньше или равны а, то среднее число множеств Fi, которые покрываются случайной полосой,

N

Предположим, что Q есть некоторая область на плоскости, не обязательно выпуклая, площадью S. Допустим, что в этой области случайно расположена точка А и область пересекается случайной

параметрам полосы р, в, при которых полоса пересекает область Q.

Рассмотрим некоторое выпуклое множество Ф, пересекаемое слу­ чайной прямой и случайной полосой. В отношении этих геометри­ ческих элементов можно утверждать следующее: пусть G — прямая и В — полоса ширины а, выбранные случайно так, что G П Ф ^ 0 и В П Ф 0 . Тогда вероятность того, что С П В П Ф ^ 0 ,

2irS + жаЬ

(3.27)

L(L + 7га)

Если а = 0, мы получим вероятность того, что две случайные хорды множества Ф пересекутся внутри него, т. е.

2irS

Р (3.28)

I F

Средняя длина границы В п Ф

В этих формулах S — площадь выпуклого множества Ф. Доказательство утверждения основано на рассмотрении множества

пар G, В (прямых и полос) и вычислении меры этого множества пу­ тем интегрирования плотности dG П d B по множеству G П В П Ф ф 0. Осуществим интегрирование: зафиксируем G, проинтегрируем по поло­ сам В, получим меру n(G,B) = 2жР-\-жаЬ, равную числителю (3.27).

В заключение рассмотрим случай, когда некоторое выпуклое мно­ жество Ф пересекает пара случайных полос. Для этого случая можно сформулировать следующее утверждение: если В\ и В 2 — две случай­ ные полосы, пересекающие выпуклое множество Фц то вероятность того, что В\ П В 2 П Ф ^ 0,

р = 2тгS + жЬ(а\ + а2) + ж2а1а2 (L + жа\)(Ь + жа2)

где а1 — ширина полосы В\; а2 — ширина полосы В.

Доказательство утверждения основано на том, что плотность мно­ жества пар независимых полос В\ и В2 будет d B \/\d B 2. Интегри­ рованием плотности по множеству полос, таких, что В\ П В2 П Ф ф ^ 0 , можно получить меру /л(В\; В2; В\ П В2 Г\ Ф ^ 0). Как показы­ вает интегрирование, она равна числителю (3.30), что и доказывает утверждение.

3.5. Признаки — параметры трещин в материалах

При анализе надежности машиностроительных конструкций и уз­ лов весьма привлекательным представляется объединение в цифровой модели, описывающей динамику разрушений, наряду с тензометриче­ ской информацией, поступающей в компьютер в процессе испытаний, также и зрительной информации о характере зарождающейся трещины

иее эволюции в процессе испытаний. Эта зрительная информация должна регистрироваться автоматически, ибо речь идет о цифровой динамической модели, автоматически формируемой компьютером по результатам испытания.

Прямое решение данной задачи, т. е. использование закодированных в цифровой форме телевизионных кадров, невозможно из-за колос­ сальной информационной избыточности телевизионного изображения

ивозникающего в связи с этим быстрого переполнения отведенных объемов памяти вычислительной системы, использующейся для анали­ за надежности. В связи с этим возникает проблема сжатия зрительной информации, описания трещин в компактном виде для рационального хранения в памяти компьютера. Первоочередная задача, таким обра­ зом, заключается в формировании признаков-параметров изображения трещин, достаточно информативных с точки зрения механики разру­

шения и в то же время позволяющих сжато описать развитие трещин в процессе испытания.

Модели разрушения и информативные параметры трещин.

В последнее время были разработаны методы анализа прочности кон­ струкций, которые могут содержать трещины. Эти методы, объединяе­ мые названием механики разрушения [3], предполагают существование двух механизмов, которые могут воздействовать на трещину, приводя ее к критическому состоянию: 1) медленное развитие, увеличивающее размер трещины; 2) постепенно возрастающий уровень напряжения. Поэтому при испытаниях надежности важно, наряду с тензометри­ ческой информацией, охватывать зрительную информацию о распре­ делении и росте трещин. Согласно идеям Гриффитса, занимающим центральное место в линейной механике разрушения, данному уровню действующего напряжения (которое может включать и остаточные напряжения вследствие сварки, изменения температуры, гибки и т. д.) соответствует определенный критический размер трещины. И наобо­ рот, трещина данного размера остается устойчивой, пока напряжение не превысило критического значения (см. Griffith A. The Theory of rupture // Proc. 1st Congr. Appl. Mech., Delft., 1924. — P. 55-63).

Эта концепция критической длины трещины широко применяется во многих моделях механики разрушения. Она описана в упомянутой работе, в которой получена зависимость упругой потенциальной энер­ гии (энергии деформации) в пластине бесконечной длины с трещиной от длины последней:

тг {a*Lf

2Е ’

где а* — равномерное (номинальное) напряжение; L — половина длины трещины; Е — модуль упругости.

Гриффитс предположил, что, если упругая потенциальная энергия превышает поверхностную энергию, требуемую для создания новых поверхностей (процесс разрушения), то достигнуто критическое усло­ вие, когда трещина становится неустойчивой. Критерий разрушения Гриффитса может быть выражен так:

а

где а* — номинальное напряжение; W s — поверхностная энергия, связанная с созданием новых поверхностей.

Линейная механика разрушения вполне приемлема для хрупких материалов, однако в металлах, где рассеяние энергии посредством пластической деформации в вершине трещин может во много раз пре­ вышать энергию, соответствующую поверхностной, прогнозирование по Гриффитсу дает большую погрешность.

Орован и Ирвин показали [43], что перед разрушением обязательно происходит некоторая пластическая деформация, даже в очень хруп­ ких металлах, поэтому оказалось необходимым ввести дополнитель­ ный — параметр, связанный с энергией пластической деформи­ рованной зоны вокруг трещины. В их модели критерий разрушения записывается следующим образом:

Критерий разрушения может быть выведен из уравнений теории упругости, а также из энергетической теории. Таким образом, критерий разрушения, основанный на критическом напряжении, эквивалентен критерию, основанному на балансе энергии. Установленный критерий интенсивности напряжений К с пропорционален разрушающему напря­ жению. Зависимость длины критической трещины от разрушающего

напряжения имеет вид К с = тгЬа*2, где параметр К с обычно считает­ ся характеристикой материала.

Рассмотренные модели охватывают период достижения трещиной критического размера. На начальной докритической стадии развития трещины в присутствии активной внешней среды или при циклическом нагружении дефект с исходной длиной Lo медленно увеличивается, пока не достигнет критического размера Ьс, при котором может про­ изойти нестабильное разрушение. Как было установлено, скорость мед­ ленного увеличения трещины dL/dt пропорциональна коэффициенту интенсивности напряжений:

где A w n — константы, характеризующие свойства материала и среды, а а* — либо статически приложенное напряжение, либо максимальное напряжение при отнулевом цикле (циклическое нагружение: 0, —, +).

90 Гл. 3. Геометрические решётки и признаки распознавания

Таким образом, исходя из приведенных выше моделей, можно сде­ лать вывод о том, что существенную информацию о трещине имеет ее длина L и скорость приращения длины dL/dt.

В последнее время большое внимание в механике разрушения уде­ ляется еще одной характеристике чувствительности материала к тре­ щине — критическому раскрытию. Этот показатель особенно важен для пластических материалов углеродистых и легированных сталей, цветных металлов, эластомеров и пластиков. В пластических материа­ лах (J-модель) [43] распространение трещины начинается тогда, когда пластическая деформация вблизи конца трещины становится большой, порядка десятков процентов. Конец первоначально острой, например, усталостной, трещины затупляется, стороны ее, которые первоначально смыкались, расходятся параллельно на конечное расстояние 6%, и дальнейшее разрушение происходит лишь тогда, когда это расхождение достигнет некоторого критического значения 5с-

Для оценки этого расхождения краев трещины следует измерять еще один параметр — площадь трещины S, а также скорость прира­ щения площади dS/dt. Следует подчеркнуть, что площадь трещины и скорость ее изменения важны и с позиций модели хрупкого разру­ шения. Согласно [3] самопроизвольный рост трещины начнется в тот момент, когда освобождающаяся упругая энергия тела, отнесенная к единичному приращению площади трещины, станет равной удельной поверхностной энергии тела (критерий хрупкого разрушения).

Итак, с точки зрения основных моделей механики разрушений наиболее информативными параметрами трещин являются длина и площадь, и производные по времени от этих величин.

Метод измерения. Трещина является весьма сложным объектом для автоматических измерений в процессе испытаний. Скорости роста трещин на различных этапах их развития отличаются на несколько по­ рядков. Геометрические размеры трещин изменяются в очень широких пределах. В связи с этим сильно меняются оптические характеристики изображения трещин, и, что особенно важно, трещина является неста­ ционарным случайным объектом. Она может появиться в любой точке поля изображения, и ориентация ее также носит случайный характер. Для преодоления указанных трудностей предлагается вероятностный подход к измерению параметров трещин [3].

Одной из важных целей при измерении параметров трещин яв­ ляется достижение инвариантности измерения по отношению к про­ странственному положению трещины и ее ориентации. В качестве одного из путей достижения этой цели можно предложить подход к измерению параметров трещин как к задаче определения вероятности геометрических событий. Задача о геометрических вероятностях не является определенной до тех пор, пока не выбрана вероятностная мера P(F) в случае определенного числа независимо распределенных геометрических элементов. Независимость результата измерения от перемещений и наклонов объектов достигается выбором меры, инвари­ антной относительно группы преобразований эвклидова пространства, включающей трансляции и вращения.