книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа
..pdf1.2. Меры, инвариантные к группе движений |
21 |
Существование этого равенства для любого множества F имеет место лишв при выполнении условия f(p,0) = f(p',6'). Посколвку дви жением можно перевести произвольно взятую прямую G(p,6) в любую другую прямую G'{p',6'), то из последнего равенства следует, что функция f(p ,6 ) должна иметь одно и то же значение для всех прямых плоскости, т. е. f(p, в) = const. Полагая постоянную равной единице, получаем:
мера множества прямых G(p, в) определяется выражением
т |
dp Л d6. |
( 1. 16) |
|
F |
|
Эта мера является единственной (с точностью до постоянного множителя), инвариантной относительно группы движений Q.
Дифференциальная форма, стоящая под знаком интеграла, называ ется плотностью множества прямых и обозначается
dG = dpf\dO. |
(1.17) |
Как показал Пуанкаре, это единственный дифференциальный элемент, который остается инвариантным относительно группы трансляций и вращений.
Рассмотрим другие формы плотности множества прямых dG. В тех случаях, когда прямая линия G задана другими координатами, плот ности множества прямых dG принимают отличные от (1.17) формы. Выражения для плотности dG при этом могут быть получены по правилам замены координат.
1. Пусть прямая линия G задается углом р наклона прямой к оси ж и абсциссой точки пересечения с той же осью. Тогда связь с нормальными координатами определяется уравнениями р = ж sin у?, в = = р —7г/2 . Вычислим значение якобиана
Д(р,0) |
sin у? |
О |
sin < р . |
|
D(x,y) |
жcos щ |
1 |
||
|
||||
С учетом этого |
|
|
(1.18) |
|
dG = sin р dx A dip. |
||||
2. Допустим, положение прямой линии G задается уравнением прямой в отрезках, т. е. координатами прямой линии G являются отрезки а, (3, которые она отсекает на координатных осях. В этом
случае координаты связаны соотношениями р = а/3(а2 + /З2)-1/2, 0 =
=arctg (а//?).
Врезультате, определив якобиан, получим
d.G = |
/ 9 ^ |
da A d/3. |
(1.19) |
|
(az + pzy / z |
|
|
3. Предположим, прямая линия G определяется уравнением вида |
|||
их + vy + |
1 = 0 . |
|
|
Будем рассматривать и |
и v как координаты прямой. Заметим, что |
||
между координатами (и, v) |
и координатами (а,(3) |
существует связь |
|
22 Гл. 1. Принципы построения системы распознавания образов
а = — \/и\ (3 = \/v. Произведя с учетом этого в (1.19) замену переменнв1х, получим
du A dv
( 1.20)
d G = (и 2 + V 2 ) 3/ 2 '
Как видно из приведенных примеров, плотности множества прямых dG имеют в других системах координат более сложную структуру по сравнению с нормалвной системой. Плотноств dG в этих координатах включает кроме дифференциалвного элемента егце и некоторую функ цию координат. Таким образом, приведенные примерв1 иллюстрируют положение о том, что не существует HHBIX, кроме dp Add, дифференциалвнв1х элементов, инвариантнв1х к группе движений. Нетрудно установитв, что duAdv, например, не является инвариантным элемен том. Действителвно, в этом случае при переносе множества прямых линий на болвшее расстояние от начала координат уменьшается его мера. Если выразить этот дифференциальный элемент через координа ты (р,в), то окажется, что du A dv = (\/р3) dp A dd. Итак, если dp Add
действительно инвариантно при переносе, то, так как р не инвариантно, элемент du A dv не может обладать этим свойством.
Кинематическая мера. Рассмотрим множества конгруэнтных фи гур. Положение твердой фигуры К (например, области, отрезка или кривой) на плоскости определяется положением одной точки А(х,у) этой фигуры и углом ip между направлением AW , фиксированным в фигуре К, и некоторым выбранным направлением Ох на плоскости. Можно считать, что х, у, р являются координатами фигуры К. Мерой множества F всевозможных положений фигуры К или, иначе говоря, множества F фигур, конгруэнтных К, является интеграл
т |
f{x, у, р) dx A dy A dcp. |
( 1.21) |
|
F |
|
Найдем функцию / (х, у, р ), такую что данная мера удовлетворяет критерию инвариантности относительно группы движений {1.
Группа движений определяется как преобразование координат, за даваемое уравнениями (1.1) и р = р>' + а или
х = х' cos а —у' sin а + а ; ) |
(1-22) |
|
у = х' sin а + у' cos а + Ъ\ |
I |
|
р = р ’ + а. |
J |
|
Согласно критерию инвариантности требуется, чтобы p(F) = p(F') для всякого множества F, таким образом, должно иметь место равен ство
/(ж, у, р) dx A dy A dp |
f{x',y',p')dxl Adyl A d p l. |
(1-23) |
F |
F> |
1.2. Меры, инвариантные к группе движений |
23 |
С другой стороны, в силу правила замены переменных в двойном интеграле и с учетом (1.22)
f(x, у , р) dx A dy A d<p |
f(x, у, ip) dx' A dy' A dip1, |
(1.23a) |
F |
F' |
|
поскольку
D{x,y,ip) = D{x',y',p')
С содержательной точки зрения справедливость этого вывода также легко видеть. Действительно, если F' — образ F при движении, то имеет место равенство dx A dy A dp = dx' A dy' A dip'.
Сравнив (1.23) и (1.23а), получим равенство
f(x', у', ip') dx' A dy' A dp' |
f(x, у, р) dx' A dy' A dp'. |
F> |
F> |
Так как это равенство должно быть справедливо для всех движений данной группы, т. е. для любого множества F' фигур, то необходимо, чтобы f{x,y,p ) = f{x',y',p'). Поскольку движением можно перевести фигуру из произвольно взятого положения (х ,у ,р ) в любое другое [х',у',р'), то функция f{x,y ,p ) должна сохранять одно и то же значение для всех положений фигуры К. Таким образом, получает ся, что функция f(x, у, ф) = const. Полагая эту постоянную равной единице, приходим к выводу: мера множества F фигур, конгруэнтных фигуре К (х,у,р), определяется выражением
т |
dx A dy A dp. |
(1.24) |
F
Эта мера называется кинематической мерой множества фигур, конгруэнтных К, или множества положений фигуры К. С точ ностью до постоянного множителя она является единственной мерой, инвариантной относительно группы движений €1.
Рассмотрим два важных для распознавания образов свойства кине матической меры.
1. Кинематическая мера инвариантна относительно обращения движений. Это означает, что мера остается неизменной, если счи тать неподвижными оси (А,х',у'), связанные с фигурой К, а ранее неподвижные оси (0,х,у) — подвижными. Иначе говоря, если за фигуру принять координатные реперы (0, х,у), совершающие обратные движения относительно системы координат (А,х',у'), принятой за неподвижную, то получится кинематическая мера, равная исходной кинематической мере множества фигур К, движущихся в системе координат (0,х,у).
Действительно, координаты х', у', р первоначальной системы отно сительно системы подвижных осей связаны с координатами подвижной
24 Гл. 1. Принципы построения системы распознавания образов
системы уравнениями
х = —х cos р — у sin (р; у' = х sin р —у cos р; р' = р.
Вычислим значение якобиана:
D(x', у', р ’) D (x ,y ,p )
Поскольку по определению мера всегда положительна, имеет место равенство
dx A dy A dp = |
dx' A dy' A dp', |
F |
F' |
которое и доказывает существование инвариантности.
Пример. В качестве приложения этого свойства инвариантности для решения задач распознавания образов рассмотрим следующий пример. Пусть необходимо определить меру множества фигур, кон груэнтных фигуре К , площадь которой равна S и которая содержит внутри себя некоторую точку А.
По причине доказанного первого свойства инвариантности тот же результат получится, если найти меру множества точек А, рассматри ваемых как фигуры и содержащихся внутри К.
Другими словами, справедливо
|
|
|
|
|
2тг |
р{К э А) = р(А е К) |
dx A dy A dp |
dx A dy |
dp = 2irS, |
||
|
|
|
|
Аек |
о |
поскольку А(х,у) пробегает все точки, находящиеся |
внутри К, и в |
||||
каждом положении точки А угол р изменяется от 0 до 2F . |
|||||
Итак, мера множества таких положений области К площади S, для |
|||||
которых фиксированная точка А содержится внутри К, |
|
||||
|
ц{А е |
К) |
dK = 2irS. |
(1.25) |
|
2. |
|
|
Аек |
|
|
Кинематическая мера не изменится, если изменить подвиж |
|||||
ную систему координат. Данное свойство означает следующее. Если для определения положения фигуры К взять вместо точки А и направ ления A W иную точку А\ и иное направление A \W , то кинематическая мера при этом не изменится.
Отметим, что данное свойство следует из первого свойства и основ ного свойства инвариантности относительно группы движений. Дей ствительно, если имеет место инвариантность относительно группы движений, то в силу этого существует и инвариантность относительно изменения неподвижной системы координат. Подлежащее доказатель ству свойство состоит в инвариантности относительно замены подвиж ной системы координат, которая является неподвижной при обращении движений.
1.3. Формирование случайных параметров сканирования |
25 |
Рассмотренное свойство кинематической мерв1 играет важную роли и очень удобно в приложениях к распознаванию образов. Применяя его, можно в каждом отдельном случае выбрать наиболее удобную подвижную систему координат.
1.3. Формирование случайных параметров сканирования
В теории вероятностей обычно исследуются случайные перемен ные, которые являются числами и принимают значения из некоторого множества, где определена неотрицательная мера. Выполнение опреде ленных дополнительных условий, важнейшее из которых — равенство меры единице 1 на всем множестве, позволяет интерпретировать эту меру как вероятность. В стохастической геометрии случайными эле ментами являются уже не числа, а геометрические объекты, такие как линии, фигуры, плоскости и т. д. Под событиями здесь понимается ре зультат взаимодействия геометрических объектов: пересечения линий, покрытия решеток, фигур и т. п. Задача о вероятностях геометрических событий является неопределенной до тех пор, пока не выбрана веро ятностная мера. Для ее выбора нужно задать параметры множества геометрических объектов, а затем определить вероятностную меру
вэтом полученном параметрическом пространстве, удовлетворяющем условиям инвариантности относительно действующей группы преобра зования.
После краткого рассмотрения элементов теории меры вернемся к нашей цели — построению системы распознавания образов, реализу ющей бюффоновский процесс. Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда распознающая система, архитектура которой представ лена на рис. 1.2, осуществляет сканирование в виде случайных то чек. Прежде всего, уточним, что следует подразумевать под понятием случайного выбора точки на плоскости. Ограничимся рассмотрением фрагмента плоскости, или сетчаткой, ибо для этого варианта ответ ясен. Предполагается, что площадь всей сетчатки равна единице, затем
вкачестве меры вероятности используется площадь частных областей на сетчатке — мера Лебега.
Итак, если рассматривать в качестве геометрических объектов множества точек, то в этом случае параметрическое пространство совпадает с пространством элементов и в качестве вероятностной меры, инвариантной по отношению к трансляциям и вращениям, естествен но выбрать меру Лебега. Если число точек конечное, то множества бесконечной меры должны быть исключены и меру Лебега следует рассматривать в области с ограниченной мерой (роль которой в нашем случае играет сетчатка). Предположим, что Ф есть такая область и*
Это требование вызвано тем, что максимальное значение вероятности не превы шает единицы.
28 Гл. 1. Принципы построения системы распознавания образов
Теперь можно ввести вероятностную меру на множестве прямых линий, пересекающих сетчатку Ф. Эта мера строится на основе полу ченной в предыдущем параграфе инвариантной меры (1.16) множества линий путем замены единицы постоянным множителем к. Причем значение постоянного множителя к выбирается равным \ / Ь ф . За счет введения нормирующего множителя к мы получаем вероятностную меру P(F). Действительно, если считать, что F есть множество всех линий на сетчатке, то полученная мера P(F) будет равна единице, и, таким образом, она удовлетворяет требованиям, предъявляемым к вероятностной мере. Итак, полученная вероятностная мера
P(F) |
dp Л d9, где |
(1.27) |
|
к = й |
' |
Краткий экскурс в теорию меры позволяет нам теперь наполнить более живым содержанием архитектуру распознающей системы, пока занную на рис. 1.2. В частности, полученные сведения дают возмож ность разработать структуру датчика случайных параметров развертки.
Как было установлено, для того, чтобы вероятность пересечения изображения объекта со случайными прямыми оставалась неизменной при изменении ориентации и положения объектов, необходимо, чтобы параметры случайных прямых были равномерно распределены в коор динатах (р,в). В этой системе координат уравнения прямой имеют вид
х cos в |
у sin 6 |
0.28) |
--------+ - |
------- + 1 = 0 |
|
- Р |
-Р |
|
Уравнение прямой в декартовых координатах у = кх + Ъ. Сравнение этого уравнения с нормальным уравнением прямой позволяет получить соотношения, определяющие связь параметров прямой в декартовой
системе координат и нормальной системе |
|
|
|
к = —ctg в Ъ |
Р |
(1.29) |
|
sin в |
|||
|
|
Поскольку развертка источника сканирующего луча (роль которого выполняет инжекционный лазер) работает в декартовой системе ко ординат, то для управления разверткой необходимо выполнять функ циональные преобразования случайных чисел. Эту задачу генериро вания равномерно распределенных случайных чисел и их функцио нального преобразования для управления разверткой выполняет датчик случайных параметров развертки, рассмотренный в приложении А (см. [39, 40]). Зададимся вопросом, чему равна вероятностная мера для геометрических элементов более общей природы, чем случайные линии - для множества конгруэнтных фигур. Отметим, что к этому же классу элементов принадлежит и множество всевозможных положений отрезков прямой или множество всевозможных положений бюффоновских иголок, о которых шла речь в начале главы.
Как будет показано ниже (см. § 2.2), кинематическая мера мно жества отрезков длиной I, случайно ориентированных и случайно расположенных на сетчатке Ф площадью 5ф, и с периметром Ьф
