книги / Теория инженерного эксперимента

вому исключению данных, статистический вывод может подсказать способ практической переоценки эксперимен­ та и его приборного оснащения.

Задание предельного отклонения и применение ста­ тистического критерия в экспериментальной работе не сводятся только к простому отбрасыванию резко откло­ няющихся точек. Во многих экспериментах, например при исследовании зависимости деформации от напряжения на испытательных установках, предполагается, что ли­ нейная зависимость между переменными существует лишь до некоторого фиксированного, но неизвестного предела. Используя критерий Шовене, можно четко обнаружить значимое отклонение от линейного закона. Линейный график, построенный на основе полученных данных (методом наименьших квадратов, рассматриваемым в гл. 9), дает экспериментатору возможность вычислить среднее квадратическое отклонение и при допущении о нормальном распределении отклонений задать предел для н-го отклонения. Если проверка обнаруживает, что две точки превышают предел, устанавливаемый крите­ рием Шовене, то логично предположить, что достигнут предел линейности. Поскольку вычисления должны вы­ полняться после добавления каждой новой точки, то луч­ ше всего выйти за пределы линейной области и затем по­ следовательно, точка за точкой обработать данные с по­ мощью вычислительной машины, чтобы определить, где именно начинается отклонение от линейного закона.

7.6.Выводы

Вэтой главе были рассмотрены некоторые способы про­ верки данных, получаемых в эксперименте, на согласо­ вание их между собой, точность и приемлемость по крите­ рию оценки резко отклоняющихся значений. В значитель­ ной мере успех этих методов зависит от планирования эксперимента, осуществляемого до начала работы, а не от запоздалых мер, принимаемых при возникновении по­ дозрений после проведения половины эксперимента. В со­ временной лаборатории для получения экспериментальных данных используется быстродействующая автоматическая аппаратура, способная мгновенно передавать зарегистри­

рованные данные на перфокарты или магнитную ленту. Одним из способов обеспечения максимальной эффектив­ ности этих новых быстродействующих средств, облегчаю­ щих обработку данных, является более полное проведе­ ние проверок в процессе эксперимента.

Одним из наиболее распространенных методов провер­ ки является применение уравнений баланса, или сохра­ нения, в которых «поступление» приравнивается «расхо­ ду». Уравнения баланса могут быть составлены для та­ ких величин, как масса, энергия, количество движения, скорость, напряжение, электрический заряд, ток и т. д. Основные трудности при использовании таких уравнений возникают в тех случаях, когда происходит некоторая «утечка» вследствие плохой изоляции, трения, наличия паразитных цепей и т. д. или когда трудно выполнить точные измерения входной или выходной величины.

При использовании уравнений баланса иногда удается обнаружить переменную, содержащую ошибку. Если уравнение баланса записано как равенство двух произ­ ведений, то, задавая поочередно фиксированное зна­ чение каждой переменной, предполагаем, что переменная, для которой относительная ошибка не меняется, имеет систематическую ошибку. Если уравнение баланса со­ ставлено из сумм, то применяется та же методика, но теперь подозревается та переменная, для которой при фик­ сированном ее значении величина разбаланса не меняется. К сожалению, из обоих правил имеются исключения, и при наличии больших случайных ошибок применение этих правил затруднено. Этот метод дает хорошие результаты лишь в случае наличия чисто систематической ошибки одной переменной, входящей в уравнение равновесия.

Если накоплено несколько групп данных, то их соот­ ветствие можно проверить с помощью экстраполяции при условии, что конечные точки кривой известны и получен­ ные данные достаточно хорошо описывают нелинейный участок кривой. Наилучшие результаты получают при преобразовании переменных путем нахождения обратных величин, возведения в степень или применения других функций, дающих линейные графики. Для этого может по­ требоваться предварительное построение графика на лог гарифмической или полулогарифмической бумаге. Иногда

возможна двойная проверка, когда оба конца кривой про' веряются независимо друг от друга.

По-видимому, самым простым и общим методом про­ верки является повторное снятие отсчетов при определен­ ной комбинации условий. Отличие первого отсчета от второго может быть обусловлено плохой точностью или ошибкой старения. Под ошибкой старения подразумевает­ ся любое постепенное необратимое ухудшение характери­ стик проверяемого образца, испытательной аппаратуры или измерительного прибора. Если ожидается наличие ошибки старения, то можно рандомизировать план экспе­ римента или принять схему перемежения. В любом слу­ чае ошибки старения можно обнаружить путем периоди­ ческого повторения эксперимента при выбранных комби­ нациях условий, и это обстоятельство необходимо всегда учитывать при планировании эксперимента.

Почти в любой группе данных содержится одно или большее число резко отклоняющихся значений, которые необходимо исключать, если можно показать, что наблю­ дается некоторое превышение заданного критерия, ошиб­ ки прибора, отклонения от баланса или ожидаемой ве­ роятности. Если вероятная ошибка или какой-либо дру­ гой показатель точности известен либо может быть вы­ числен, то возможно применение статистического метода, в котором условие исключения резко отклоняющихся зна­ чений определяется критерием Шовеие. Однако этот метод нельзя использовать для исключения крайних точек кри­ вой, где может быть обнаружено изменение функциональ­ ной зависимости.

Были рассмотрены лишь немногие методы проверки и обнаружения ошибки из числа известных в настоящее вре­ мя. В различных областях техники разработаны много­ численные специальные проверки и критерии. Однако общие принципы можно усвоить на основе изложенного материала. Необходимо проверять точность отдельных измерений, а также приемлемость и согласованность груп­ пы точек по критерию оценки резко отклоняющихся значений. Необходимо как можно быстрее обнаружи­ вать неожиданное ухудшение характеристик или измене­ ние ошибки старения. Следует сохранять любую точку, которая может дать полезный материал для вывода окон­

чательного результата, и исключать любую точку, которая может внести ошибку в усредненные данные или положе­ ние кривой. Редко удается решить все эти задачи, но в общем плане они составляют основную цель, к которой необходимо стремиться при проведении экспериментов.

ЗАДАЧИ

7.1.Покажите, что в частном случае, когда ошибка типа суммы имеет вид (Л + кА), ее можно обнаружить, изучая не относительную ошибку, а отклонение от ба­ ланса в уравнении типа произведения^ЛВ = X Y , опреде­ ляемое как AR = (Л + kA)B — XY. Применяя метод, описанный в данной главе, покажите, как можно обна­ ружить, что систематическую ошибку имеет переменная Л.

7.2.Партия электронагревательных элементов, рас­ считанных на напряжение V и ток /, проверяется на бы­ строту нагревания массы М жидкого металла, для кото­

рого Ср = 0,19 кал/г-°С, при повышении температуры за 1 час на АТ. Вся система имеет надежную теплоизоляцию. Получены следующие данные:

Определите, произойдет ли при последующих испыта­ ниях увеличение тока и температуры или же будет наблю­ даться уменьшение этих величин. Какова относительная ошибка в каждом случае?

7.3. На испытательном стенде измеряется тяга не­ большой твердотопливной ракеты. Для этого измеряется расстояние D, которое проходит поршень, преодолевая измеренную силу сопротивления F. Можно также изме­ рять массу т вещества, выбрасываемого из сопла в какойлибо момент времени, и кинетическую энергию реактив­

веряется при пониженном напряжении. Вследствие тем­ пературного эффекта закон Ома не выполняется.

Проверьте согласованность этих данных.

7 .1 2. Натриевая система охлаждения проверяется при восьми значениях температуры и четырех значениях дав­ ления. Ожидается постепенное образование продуктов окисления и для больших изменений температуры тре­ буется много времени. Составьте план эксперимента,

Вероятная ошибка в определении коэффициента полез­ ного действия составляет 0,2%. Определите, какие точки следует исключить, проведя наилучшую прямую и по­ лагая, что вся ошибка сосредоточена в к. п. д. (Счи­ тайте, что для наилучшей прямой отношение к. п. д. к расходу составляет 6 ,1 1.)

7.14.Данные Тортона показывают, что в закрытом

сосуде бактерии размножаются по закону

k 3 — известные постоянные, а значение постоянной kx экспериментатору не известно. Каким образом можно проверить данные, удовлетворяющие этому закону, ис­ пользуя линейную экстраполяцию к известным крайним точкам? Выразите площадь участка Асуи через пара­ метры уравнения.

7.15. Эксперимент Тревана по инъекции лягушкам препарата наперстянки показывает, что коэффициент смертности D связан с числом кубических сантиметров х

где kx и с — неизвестные постоянные. Как и в задаче 7.14, покажите, что данные, описываемые этим уравнением, можно проверить с помощью линейной экстраполяции к известным точкам или точкам пересечения прямой с ося­ ми координат. Кроме того, найдите выражения для числа лягушек, погибающих во время эксперимента по естест­ венным причинам, не связанным с инъекцией наперстян­ ки, и числа лягушек, выдерживающих инъекцию боль­ ших доз препарата.

7.16. Предполагается, что работу устройства для изме­ рения давления описывает уравнение

мые размеры аппаратуры. Какую проверку с помощью линейной экстраполяции можно провести в следующих случаях :

а) зависимости АР от Я при фиксированных значе­ ниях А и В;

б) зависимости АР от А при'фиксированных значе­ ниях Н и В; Ечи ki

в) зависимости АР от В при фиксированных значениях Я и Л?

7.17. Проверяется холодильная установка, для ко­ торой закон охлаждения имеет следующий вид:

Г=490е-°'107в,

где Т — температура в градусах Фаренгейта, 0 — время от начала охлаждения в минутах. Этот закон выведен с помощью метода наименьших квадратов на основе сле­ дующих данных:

Найдите среднее квадратическое отклонение 1пТ относи­ тельно линии, полученной методом наименьших квадра­ тов. Определите, следует ли исключить какие-либо точ­ ки, используя критерий Шовене. Известно, что в момент 0 = 0 температура установки составляет 570 °F (299 °С). Подтверждает ли этот результат применение экстраполя­ ции при разбросе данных, определяемом вычисленным

(независимая переменная); s и Л — неизвестные постоян­ ные. Каким образом данные, полученные в результате этих испытаний, можно проверить) с помощью линейной экстраполяции?

7.20. Нормальное напряжение Р, обусловленное го­ рячей посадкой втулки с внутренним диаметром b, на-

ружным диаметром с и сжимающим усилием i в холодном состоянии, равно

kbc2

Объясните, каким образом эксперимент, в котором испы­ тываются втулки с различным внутренним диаметром и величина РА измеряется [с помощью тензодатчиков, можно проверить методами экстраполяции, используя прямую, если Е — средний (но неизвестный) модуль упругости, a k — неизвестная согласующая постоянная.