книги / Теория инженерного эксперимента

Дриста позволяет установить, какое число комбинаций является правильным. В некоторых случаях определен­ ные преимущества дает использование системы MLFQ, однако при этом необходимо проявлять осторожность, чтобы получаемые комбинации не были чрезмерно упро­ щенными.

Всистемах, связанных с электрическими, магнитными

иядерными процессами, используются основные размер­ ности специального типа. Многие величины, например электрический заряд, потенциал и т. д., имеют размер­ ности, составленные из основных размерностей массы, длины и времени с добавлением диэлектрической постоян­ ной К или магнитной проницаемости р.. Вообще говоря,

эти две основные величины отражают электрические и магнитные свойства пространства. Аналогичное по­ ложение имеет место в динамике, где, как мы уже указы­ вали, в качестве основной размерности может использо­ ваться размерность силы или массы. В системе основных размерностей ML0p диэлектрическая постоянная К имеет размерность p-102L-8, в системе MLQK магнитная прони­ цаемость имеет размерность /(-1£ -202.

Рассмотрим плотность энергии Т в электромагнитном поле с напряженностью электрического поля Е и напря­ женностью магнитного поля Н. Необходимо также учиты­ вать магнитную проницаемость и диэлектрическую по­ стоянную либо скорость распространения электромагнит­ ных волн в данной среде с. Нет необходимости рассматри­ вать К, р и с одновременно, так как эти величины связаны соотношением К = (цс2)-1, поэтому в большинстве задач, связанных с электрическим полем, следует брать только две из этих трех величин. Мы выбрали в качестве основ­ ных величин электростатические характеристики (см. табл, на стр. 122).

В этом случае

Т —ф (Еа, Нь, с*)\

при использовании любого метода одной из возможных комбинаций является следующая:

(4.24)

и хотя л-теорема предсказывает только одну комбинацию, мы имеем две комбинации.

Анализ размерностей широко применяется при изуче­ нии электрических и ядерных процессов, но мы не имеем возможности рассмотреть здесь этот вопрос подробно. При исследовании микроскопических систем температура часто не принимается за основную величину, а выражается че­ рез массу, длину и время (или молекулярную кинетиче­ скую энергию). Некоторые фундаментальные величины, например такие, как постоянная тонкой структуры, мож­ но исследовать с помощью анализа размерностей, однако очевидно, что эти вопросы выходят за рамки интересов и подготовки инженера-экспериментатора. Подготовленный читатель, интересующийся данным вопросом, может об­ ратиться к литературе, перечень которой приводится в конце главы.

Мы еще не коснулись вопроса о'безразмерных величи­ нах, например таких, как угловые* величины, единичная деформация, отношение площадей и т. д. Никакой путани­ цы не произойдет, если эти переменные будем рассматри­ вать как безразмерные комбинации, тем более что они таковыми и являются. Например, угол не что иное, как функция отношения длин двух отрезков. Относительная деформация представляет собой отношение растяжения образца к его первоначальной длине. Обычно введение таких безразмерных величин не нарушает справедливости

Ф и г . 4 .6 . С хем а исследования тр еугол ьн ого в одослива.

тс-теоремы, если учитывается характер отношения «внутри» переменной.

Рассмотрим треугольный водослив, изображенный на фиг. 4.6, где объемный расход Q является функцией плот­ ности, вязкости, уровня воды, ширины водослива на уровне поверхности воды и локального значения ускорения си­ лы тяжести. Возможны следующие безразмерные комби­ нации:

в этом и нет необходимости. Если известна величина угла водослива 0, то нет необходимости рассматривать W в явном виде. Если

то получаем следующие безразмерные комбинации:

(4.27)

что удовлетворяет я-теоремег.

4.6. Применение анализа размерностей при проведении экспериментов

Как было показано, анализ размерностей позволяет существенно уменьшить число переменных, входящих в задачу, при этом безразмерные комбинации имеют весьма общий вид и не зависят от используемой системы размер­ ностей. Этот метод позволяет получить некоторое пред­ ставление о характере взаимодействия между перемен­ ными. Для экспериментатора основной интерес представ­ ляет уменьшение числа переменных. Согласно я-теореме, уменьшение числа переменных зависит от числа выбран­ ных основных размерностей, и поскольку обычно выби­ рается не менее трех размерностей, можно ожидать, что число переменных уменьшится на три. Во многих экспери­ ментах такой благоприятный исход не наблюдается, так как часто приходится включать такие величины, как g, хотя на практике не возникает необходимости в изменении или даже измерении этих величин.

До сих пор мы рассматривали функциональную связь безразмерных комбинаций в самом общем виде, не указы­ вая их типа. Анализ размерностей не позволяет опреде­ лить тип функции, связывающей одну безразмерную комби­ нацию с другой. Во многих инженерных экспериментах разумно представлять эту функцию как степенной ряд (рассматривая только первый член ряда), если только полученные данные не свидетельствуют о том, что функ­ ция является более сложной. Так, соотношение (4.2) можно представить в следующем виде:

где k — согласующая постоянная, которую необходимо определить, а показатели степени а, b и с должны опреде­ ляться экспериментальным путем. Как уже указывалось, теоретические расчеты и экспериментальные данные по­ казывают, что в формуле (4.6) k = 64, а показатели сте­ пени а, &и с в области ламинарного потока соответствен­ но равны 1, —1 и 0. Для турбулентного потока эта функ­ ция несколько сложнее и обычно не записывается в виде уравнения, а изображается графически. Формула (4.28) будет приближенно справедлива и для области трубулентного потока, но а, Ь, с и k необходимо определять экспери­ ментальным путем. Аналогично очень хорошо согласует­ ся с экспериментальными данными формула (4.22), при­ нимающая следующий вид:

где, например, для случая конвекционного потока над вертикальными пластинами при ламинарном пограничном слое а = 0,25, b = 0,25 и с = 0,56. Однако такие простые выражения не всегда возможны. В случае теплопередачи при вынужденной конвекции теория ламинарного потока и эксперимент дают довольно сложную функцию

где ki, k%, k3 и k4 — постоянные, а — некоторый показа­ тель степени, а члены NRe, N DIL и hUk являются без­ размерными комбинациями. Такую функцию можно по­ лучить только в результате обширных экспериментальных исследований, сопровождаемых полным теоретическим обоснованием. Анализ размерностей лишь помогает в ре­ шении этой задачи.

В разд. 4.3 было отмечено, что одни безразмерные ком­ бинации могут иметь больший физический смысл и боль­ шую ценность, чем другие, и что опытный исследователь будет стремиться отыскать «наилучшую» систему перемен-: ных. Это утверждение совершенно справедливо, когда анализ размерностей рассматривается как исторический подход или как чисто аналитическое средство. В экспери­

ментальной работе существуют другие критерии. Одним из таких критериев, лежащих в основе почти всех наших действий и принимаемых решений, является точность. В какой степени данный критерий влияет на состав без­ размерных комбинаций?

В задаче о лобовом сопротивлении [формула (4.8)] можно было выбрать одну из трех безразмерных комби­ наций: D/pV2d2, D/Vdii или pD/p.2. С точки зрения размер­ ностей любая из этих комбинаций правильна и приемлема. Однако с точки зрения удобства применения и инженер­ ной практики гораздо предпочтительнее первая комбина­ ция. Но какая комбинация будет наилучшей, если учиты­ вать точность измерений? Полагая, что общее соотношение между комбинацией, содержащей лобовое сопротивление, и числом Рейнольдса является простой показательной функцией, аналогичной рассмотренной выше, можно за­ писать следующие выражения:

w-30*»

(4-306)

(4.30в)

где а, Ь и с — постоянные показатели степени, a klt k2 и k3 — согласующие постоянные. С помощью простых алге­ браических преобразований каждое из этих соотношений можно преобразовать в любое другое. Например, формулу (4.30а) можно преобразовать к виду

три соотношения полностью эквивалентны, если постоян­ ные k одинаковы и с = 6 + 1 = а + 2. Если эти условия

выполняются, то всегда k = paD/pa+1Va+2da+2и выбор той или иной безразмерной комбинации не оказывает влия­ ния на вычисление k при любой точности измерений, когда вычисление k производится численными методами.

В большинстве инженерных экспериментов для нахож­ дения согласующих постоянных используется не одна группа числовых значений. Обычно на график наносится некоторая совокупность экспериментальных точек, позво­ ляющая определить функцию, а потом эти точки усред­ няются путем построения по этим точкам наилучшей кри­ вой. Затем эта кривая используется для определения необ­ ходимых показателей степени и согласующих постоянных. Если кривая вычерчивается на глаз, то нет необходимости беспокоиться об относительной точности различных без­ размерных комбинаций. Однако в некоторых случаях при построении прямой по точкам используется метод наимень­ ших квадратов. Этот метод, рассматриваемый в одной из последующих глав, является довольно утомительным и трудоемким. Однако он максимально упрощается, когда исследователь может допустить, что неопределенность связана с одной из переменных — х или у, а не с обеими переменными. Следовательно, целесообразно выбирать безразмерные комбинации таким образом, чтобы все ошиб­ ки были сконцентрированы в одной из них. Это не всегда возможно, но к этому следует всегда стремиться. Если, например, наиболее неопределенной величиной является сила лобового сопротивления D, то нет оснований выби­ рать какую-либо другую комбинацию. Если же самой не­ определенной величиной является V, то при использова­ нии метода наименьших квадратов не имеет смысла брать комбинации (4.30а) или (4.306). Комбинация pD/p,2 в (4.30в) не содержит V. Аналогично если самой неопреде­ ленной величиной’является вязкость, то следует выбрать комбинации из формулы (4.30а).

Эти рекомендации не означают, что в окончательном или формальном отчете должны появиться какие-то не­ обычные комбинации. Если прямая построена методом наименьших квадратов в наиболее логичной системе коор­ динат/ то не представляет труда перенести построенную линию в систему координат, наиболее удобную для ис­ пользования.

4.7. Выводы

Хотя успех анализа размерностей зависит от правиль­ ного понимания физического смысла конкретной задачи, после выбора переменных и основных размерностей этот метод может применяться совершенно автоматически. Следовательно, данный метод легко изложить в рецептур­ ном виде, имея, однако, в виду, что такой «рецепт» требует от исследователя правильного выбора составных компо­ нентов. Единственное, что мы можем здесь сделать, — это дать некоторые общие рекомендации.

Этап 1. Выбрать независимые переменные, оказываю­ щие воздействие на систему. Необходимо рассматривать также размерные коэффициенты и физические константы, если они играют важную роль. Это наиболее ответствен­ ный этап всей работы.

Этап 2. Выбрать систему основных размерностей, через которую можно выразить единицы всех выбранных переменных. Обычно используются следующие системы: в механике и динамике жидкостей MLQ (иногда FL0); в термодинамике MLQT или M.LQTH; в электротехнике и ядерной физике MLQK или MLQp, при этом температура может либо рассматриваться как основная величина, либо выражаться через молекулярную кинетическую энергию.

Этап 3. Записать размерности выбранных независи­ мых переменных и составить безразмерные комбинации. Решение будет правильным, если: 1) каждая комбинация является безразмерной; 2) число комбинаций не меньше предсказываемого я-теоремой; 3) каждая переменная встречается в комбинациях хотя бы один раз.

Этап 4. Изучить полученные комбинации с точки зре­ ния их приемлемости, физического смысла и (если должен использоваться метод наименьших квадратов) концентра­ ции неопределенности по возможности в одной комбина­ ции. Если комбинации не удовлетворяют этим критериям, то можно: 1) получить другое решение уравнений для по­ казателей степеней, чтобы найти лучший набор комби­ наций; 2) выбрать другую систему основных размерностей и проделать всю работу с самого начала; 3) проверить правильность выбора независимых переменных.

4.6. При проверке работы центробежного масляного вакуумного насоса обычно строится график, показываю­ щий зависимость коэффициента полезного действия и входной или выходной мощности от производительности при постоянном числе оборотов. Применяя анализ раз­ мерностей и рассматривая диаметр рабочего колеса насо­ са, найдите безразмерные комбинации, содержащие вели­ чины (в порядке перечисления, но не все вместе): потребляе­ мую мощность, выходную мощность и коэффициент по­ лезного действия как функции расхода, числа оборотов рабочего колеса в минуту, плотности жидкости, перепада давления, размеров рабочего колеса и т. д.

4.7 Головные части ракет, форму которых описывает параметр D, движутся в воздушном пространстве с раз­ ными скоростями при различных давлениях и темпера­ турах. Измеряется температура в концевой точке. Составь­ те безразмерные комбинации. (Примечание: в задачах о движении тел с большой скоростью необходимо учитывать скорость звука.)

4.8.На опорный подшипник действует нагрузка F. Важными переменными являются диаметр, радиальный зазор, плотность смазки, вязкость смазки, давление в смазке и скорость вращения вала. Составьте логически обоснованные безразмерные комбинации.

4.9.Необходимо испытать гребные винты определен­ ной формы, но различного размера. После выбора пере­ менных составьте логически обоснованные безразмерные комбинации.

4.10.Антенны космического аппарата отдают тепло в открытый космос, имеющий температуру абсолютного нуля. Антенны имеют длину L, диаметр D, теплопровод­ ность k, излучательную способность поверхности е и температуру при основании антенны Т. Необходимо так­ же рассматривать постоянную излучения Стефана — Больцмана. Найдите логически обоснованные безразмер­ ные комбинации, соответствующие программе испытаний. (Примечание: излучательная способность представляет

собой отношение фактически излучаемой энергии к энер­ гии, излучаемой черным телом при той же температуре.)

4.11. Маятник колеблется в вязкой несжимаемой жид­ кости. Переменными являются период колебания, уско-