книги / Теория инженерного эксперимента

Теперь ошибочно предположим, что распределение В является нормальным. В этом случае примем рь — = 0,5 см и, используя соотношение (3.25) для нормаль­ ного распределения, найдем ошибочное значение sb, рав­ ное 0,737 см. По формуле (3.24) получим ошибочное значение sr, равное 1,04 см, тогда как точное значение s, равно 0,938 см. Для большинства вычислений такого ха­ рактера этой ошибкой, которая не превышает 10% sr, можно пренебречь.

Было бы более правильно идти в обратном порядке, т. е. от s к р (или w). Однако из рассмотренного примера видно, что в случае распределений ошибок, отличающих­ ся от нормального, использование формулы (3.15) или со­ отношений из табл. 3.1 не приводит к серьезным погреш­ ностям при оценке суммарной ошибки. В том случае, когда формула (3.15) вообще не используется, будут по­ лучены значительно худшие результаты, чем в случае использования ее при недостоверных оценках ошибок.

Если эксперимент сложен, приборы дают ошибочные показания, табличные данные недостоверны, а распределе­ ние ошибок является асимметричным или имеет необычную форму и когда по.финансовым или гуманным соображе­ ниям необходим исчерпывающий анализ проводимого эксперимента, инженеру следует проводить моделирова­ ние на вычислительной машине всей системы, включая из­ мерительные приборы и испытательную аппаратуру. При анализе такого рода полный эксперимент многократно повторяется на вычислительной машине, при этом выби­ раются соответствующие распределения ошибок с целью обеспечения правильных показаний приборов для каждого цикла моделирования. Моделирование на вычислительной машине работы измерительной системы кратко рассма­ тривается в гл. 11.

3.8. Выводы

Был рассмотрен метод, когда путем подстановки в м э- тематические выражения ошибок или неопределенностей отдельных измерений можно получить ошибку или неопре­ деленность результата. Этот статистический метод наи­ более приемлем, когда может быть получена достаточно

обоснованная оценка статистического характера неопре­ деленностей. Необходимо убедиться в том, что распреде­ ления отдельных ошибок являются нормальными или, во всяком случае, симметричными, и попытаться с неко­ торой степенью достоверности оценить вероятную ошибку или другой показатель точности. Когда фирма указывает на приборе тот или иной интервал отклонений, то обычно предполагается, что в этом интервале находится 95—99% всех показаний прибора. Если же такие данные не при­ водятся, то можно считать, что такой интервал равен по­ ловине наименьшего отсчета или наименьшего деления шкалы. В случае важных экспериментов или эксперимен­ тов, в которых были получены недостоверные результаты, может потребоваться экспериментальное определение ошибки измерительного прибора, что рассматривалось в гл. 2.

После определения вероятной ошибки или среднего квадратического отклонения измеряемых величин с по­ мощью формулы (3.14) или (3.15) находится выражение для ошибки результата. Такие выражения для несколь­ ких простых функций приведены в табл. 3.1, однако в инженерной практике может встретиться множество дру­ гих выражений и анализ их может вызвать более или ме­ нее серьезные затруднения.

Выражения для ошибки результата важны не только с точки зрения нахождения суммарной неопределенности. Они позволяют также определить требуемые интервалы точности измерительных приборов, а также подсказывают способы работы с испытательной аппаратурой и дают возможность выбрать значения переменных, минимизи­ рующие неопределенность.

При наличии алгебраической функции неопределен­ ность результата можно вычислять, используя дифферен­ циальное и интегральное исчисления. В некоторых слу­ чаях для получения ошибки результата может потребо­ ваться применение диаграмм, таблиц, номограмм или других аналогичных графических материалов. Для оты­ скания производных, необходимых для решения уравне­ ния (3.14) или (3.15), используется метод конечных раз­ ностей или графический метод (измерение тангенса угла наклона кривой). Во многих экспериментах остается не­

определенность, полностью обусловленная ошибками округления и погрешностями графических построений. Не имеет смысла стремиться к уменьшению ошибки или неопределенности результата значительно ниже этой ос­ новной ошибки, если мы не можем построить более точ­ ные графики.

Неопределенность или ошибку могут вносить как слу­ чайные, так и постоянные величины, и исследователь обя­ зан оценивать неопределенность таких фиксированных величин, рассматривая их как чисто случайные величи­ ны, исследуемые в эксперименте. Такую фиксированную величину можно рассматривать как единственную реали­ зацию некоторой случайной величины.

З А Д А Ч И

3.1. Покажите, что при R = Х /Y аналитический ме­ тод, описанный в разд. 3.1 (не общий метод), дает урав­ нение ошибки (3.8).

3.2.Требуется получить сопротивление 50 ом при параллельном соединении двух резисторов сопротивле­ нием 100 ом. Ошибка резистора сопротивлением 50 ом не должна превышать 1%. Какие предельные ошибки (в процентах) должны иметь эти два резистора сопротив­ лением 100 ом?

3.3.Используя общее уравнение (3.15) для вероятной ошибки, выведите формулы (1), (4), (5), (6) и (7), записан­ ные в табл. 3.1.

3.4.Уравнение Каррье выражает зависимость между фактическим давлением пара Р0 и давлением насыщенного пара Pst при температуре влажного термометра Twb, баро­ метрическим давлением Рь, температурой сухого термо­

метра Tdb и температурой влажного термометра ТшЬ:

Вычислите неопределенность результата в процентах при

Pst =0,012 кГ/см\ Twb = 10 °С, Tdb = 21 °С, Рь =

— 1,032 кГ/см2, если все величины определены без ошиб­ ки, за исключением Pst и Twb, которые могут иметь не* определенность ±6%.

3.5. Коэффициент истечения С мерного отверстия

равная 64,5 см2; А2 — площадь мерного отверстия, рав­ ная 32,25 см2, Аг и А2 определены с вероятной ошибкой 0,65 см2; g = 9,81 м/сек2; h — изменение давления в по­ токе вдоль мерного отверстия на каждые 5 см потока при рА = 0,25 см. Найдите ошибку в определении С и ука­ жите, какую величину необходимо измерять с большей точностью для повышения точности С.

3.6. Стойка с шарнирным соединением испытывает

Какой будет ошибка в определении прогиба?

3.7.Проверьте правильность уравнения ошибки, по­ лученного в задаче 3.5.

3.8.По измерениям угла падения 0,- и угла преломле­ ния 0, требуется вычислить коэффициент преломления N

всреде по формуле

Л Г = - ^ . sinOz-

При каком значении угла вг следует проводить экспери­ мент, если показатель преломления составляет ~1,5, угол падения может принимать любое значение в интер­ вале от 0 до 90° и неопределенность для обоих углов при любом их значении составляет ±0,2°?

3.9. Среднелогарифмическая разность температур оп­ ределяется по формуле

величину, если максимальная ошибка в определении коэффициента теплоотдачи панели е не должна превы­ шать ±10%. Уравнение имеет вид

q={FAoa)-e'(T*p- T Î ) ,

и1,0.

3.15.Средняя площадь поперечного сечения трубы в системе фильтрации выражается через площади попереч­ ного сечения входной (Л^ и выходной (Л2) труб следую­ щим образом:

Ах = Л2/2 и, согласно оценке, ошибка в определении каждой из этих величин составляет 7%. Какова резуль­ тирующая ошибка в определении Лср, обусловленная наличием этих ошибок?

3.16. Аппаратура, применяемая при проведении экспе­ римента, измеряет отношение поверхностного натяжения при температуре T(S) к поверхностному натяжению при 0 °С (S0) и отношение температуры поверхностной плен­

Цель эксперимента состоит в том, чтобы найти важный безразмерный параметр п. Максимальная ошибка в опре­ делении 5/50 составляет 0,05, а максимальная ошибка для Т/Т* равна 0,03. Какой будет максимальная ошибка для п в области, где S/S0 — Т/Т* = 0,5? Определите, является ли данный эксперимент практически целесооб­ разным, и укажите, каким путем его можно улучшить.

3.17. Предполагается, что рост кристалла происходит по следующему закону:

T — Cdn/mo,

где Т — время роста, С — некоторая временная постоян­ ная, связанная с концентрацией раствора, a m/m0 — от-

б) Найдите выражение для ошибки в определении NTU по формуле (А) при известной ошибке е и исполь­ зуйте результаты вычислений, выполненных в п. «а», для оценки ошибки в определении NTU (безразмерная величина).

в) Цель эксперимента состоит в том, чтобы^найти U

определении U, учитывая уже найденную ошибку для е. Изучите возможность проведения более точного экспе­ римента.

3.21. В задаче 2.20 рассматривалось двувершинное распределение. Какой будет результирующая ошибка, если среднее квадратическое отклонение данного распре­ деления совместно со средним квадратическим отклоне­ нием распределения, изображенного на фиг. 2.11, а, образуют функцию типа'суммы [формула (3.24)]? Допу­ стим теперь, что в задаче 2.20 среднее квадратическое отклонение было вычислено через вероятную ошибку при

ошибка в оп ределении этой величины? Какой будет фор­ мула, эквивалентная (3.26), для распределения, рассмо­

методику работы, а как педагогический прием или истори­ ческий курьез. Еще 30 лет назад анализ размерностей широко применялся в экспериментальной работе либо использовался как простой и быстрый способ вывода функ­ циональных соотношений без применения сложной тео­ рии1.

Теперь же молодые инженеры часто смотрят на анализ размерностей не иначе, как на простой способ получения некоторых уже известных результатов либо как на исто­ рический курьез, не имеющий отношения к современной технике. Назначение данной главы — поколебать в неко­ торой степени такие представления. С этой целью анализ размерностей будет освещен в том плане, как он первона­ чально применялся, а именно как метод, сокращающий объем многих экспериментов без потери контроля. Для многих работ по изучению солнечной активности, термо­ ядерной энергии и космических полетов данный метод может оказаться не менее полезным, чем для решения за­ дач гидравлики, судостроения или холодильной техники.

4.1. Теорема Букингема

Для правильного применения анализа размерностей исследователь должен знать характер и число фундамен­ тальных переменных в его эксперименте. Фундаменталь­ ной переменной называют любую величину, оказывающую влияние на эксперимент и способную изменяться неза­ висимо от других переменных. Фундаментальные перемен­ ные необходимо отличать от регулируемых переменных. Например, ускорение силы тяжести можно изменить не­ зависимо от других переменных, рассматриваемых при проведении эксперимента, отправив аппаратуру на Луну, однако мы представляем себе, что в обычных лаборатор­ ных экспериментах это сделать невозможно.

Если экспериментатору действительно известны все переменные, то он может сразу же преобразовать их,

1 Некоторые примеры, иллюстрирующие эту сторону анализа