книги / Теория инженерного эксперимента

где вместо т] используется h, так как рассматривается вы­ борка. Аналогичные выражения могут быть получены для вероятностей появления отсчетов Х2, Х3 и т. д. Вероят­ ность появления всей этой выборки, состоящей из п отсчетов, равна произведению вероятностей появления от­ дельных отсчетов, или AP1-AP2‘APs-...-APn. Это основ­ ное положение теории вероятностей можно проиллюстри­ ровать на примере бросания монеты. Вероятность появ­ ления герба при одном бросании равна 0,5, или 50%. Вероятность появления герба при двух последовательных бросаниях равна 0,5-0,5 =0,25, а при трех последова­ тельных бросаниях — 0,5-0,5-0,5 =0,125 и т. д. Сум­ марная вероятность появления последовательности, со­ стоящей из п отсчетов, равна

дрсум=^ Ц " Ax"é~hi K-V-*)1 + (V-**)2 +-+(*«-*«)*].

(2.13)

Рассмотрим теперь одно из фундаментальных допуще­ ний, на которых основаны многие положения математиче­ ской статистики и теории вероятностей [6]. Допустим, что отсчеты Х и Х2, ..., Хп в совокупности отклоняются от «истинного» отсчета Хс таким образом, что суммарная вероятность появления этих отклонений максимальна. Прямое следствие этого допущения применительно к формуле (2.13) выражается следующим образом:

(Х ,-Х г)2-И Х ,-Х 2)2+ • • • +(Х С-Х „ )2 — * min,

т. е. сумма квадратов отклонений от наилучшего или точ­ ного отсчета должна быть минимальной. Этот важный результат лежит в основе известного метода наименьших квадратов, широко используемого при построении кривых и рассматриваемого в последующих главах.

Следуя сформулированному выше правилу для ве­ роятностей сложных событий, мы видим, что неизвестное наилучшее значение Хсдолжно быть таким, чтобы вероят­

ность ДРсУм была максимальной. Дифференцируя АРсУи [формула (2.13)] по Х с, получаем

dJik r =~{~kï А*л wux - xJ+ ( х ~ х 2) + • • • +

+(Хс—Хп)\ e~h*KV-*0* + (V-**)2 +-+(^«)21 .

(2.14)

Эта производная равна нулю только в одном случае, а именно когда

Хг + Х 2 + ■■■+Хп

(2.15)

Проверка второй производной показывает, что это не минимум, а максимум функции. Таким образом, мы по­ казали, что наиболее вероятное значение Хс равно сред­ нему арифметическому значению полученных п отсчетов. Это положение, совершенно не задумываясь, используют инженеры и ученые всего мира. Использование среднего арифметического значения не ограничивается нормальным распределением, однако следует заметить, что в случае нормального распределения среднее арифметическое яв­ ляется наилучшей оценкой точного или истинного значе­ ния. В случае несимметричной плотности распределения

(например, такой, как показанная на фиг. 2.8) среднее не всегда будет наилучшей оценкой. Если истинное зна­ чение толщины слоя воды заключено между двумя макси­ мумами кривой, то среднее будет наилучшей оценкой толь­ ко в том случае, когда при замере толщины слоя воды снизу вверх будет получено столько же отсчетов, что и при замере толщины слоя сверху вниз.

Заметим, что при рассмотрении выборки конечного объема мы употребляли символы h и Хс, а не символы г) и используемые в случае бесконечной совокупности. Не следует думать, что среднее Хс, полученное для п отсчетов, будет в точности равно математическому ожида­ нию щ , получаемому при бесконечном множестве отсче­ тов. Теперь необходимо рассмотреть, насколько хорошо среднее Хс аппроксимирует рж и как быстро разность (Хс — рж) стремится к нулю при увеличении п. По-види­ мому, в среднем каждое отдельное показание прибора

будет отличаться от истинного значения на одну вероят­ ную ошибку р. Среднее, взятое по бесконечному множест­

К сожалению, повышение точности, связанное с переходом от вероятной ошибки до почти полного отсутствия ошибки, происходит довольно медленно, так как ошибка среднего обратно пропорциональна квадратному корню из числа отсчетов, по которому получено это среднее. При 16 от­ счетах точность лишь в два раза выше, чем при четырех, а при 64 отсчетах — лишь в три раза. С другой стороны, всего лишь при четырех отсчетах точность в два раза выше, чем при одном, поэтому часто целесообразно де­ лать несколько повторных отсчетов. Можно утверждать, что прибор, имеющий незначительную систематическую ошибку, но допускающий большой разброс показаний, при повторных отсчетах может дать более точные данные, однако повышение точности происходит медленно.

Следует заметить, что в любой задаче, связанной с вы­ полнением измерений, возможны два способа получения точного значения. При использовании первого способа снимается последовательность показаний прибора и пу­ тем сравнения полученных результатов с известным или калибровочным значением входной величины находится последовательность отклонений. Затем полученная после­ довательность отклонений используется для вычисления среднего квадратического отклонения по формуле (2.11). Второй способ получения точного значения был только что описан и состоит в определении среднего арифметического по всем отсчетам. Если точное или наилучшее значение определяется таким способом, то целесообразно исполь­ зовать более точную формулу для нахождения среднего квадратического отклонения:

(2.16)

Деление на (п — 1) производится по той причине, что наи­ лучшая оценка, получаемая путем усреднения Х с, будет отличаться от точного значения p* на некоторую величи­ ну, если рассматривается выборка, а не вся совокупность. В этом случае сумма квадратов отклонений 2 (Хс — Х„)2

несколько меньше, чем при использовании истинного среднего рс. При делении на (п — 1) вместо п эта погреш­ ность будет частично скорректирована. В некоторых руководствах по математической статистике рекомен­ дуется при вычислении выборочного среднего квадрати­ ческого отклонения всегда делить на (п — 1), хотя во мно­ гих задачах, связанных с выполнением измерений, этого делать не следует. Нужно делить на (п — 1) лишь в тех случаях, когда истинное значение не было получено неза­ висимым способом.

Пример 2.5. Оптический пирометр установлен на све­ тящуюся нить накала, и различными операторами было произведено несколько измерений температуры. Полу­ чены следующие результаты:

Сумма членов последней строки равна +325, откуда после деления на 46 (число отсчетов) получаем +7,1; следовательно, Хс = 992,9 °С. Отсчеты округлены с точ­ ностью до 25 °С, поэтому для дальнейших вычислений целесообразно принять Хс = 1000 °С. Округление про­ изводится произвольно в зависимости от навыка опера­ тора, но во многих инженерных задачах оно совершенно уместно, если требуется получить приближенные стати­ стические данные. Теперь найдем s':

Имеем

* ' = / Й = З Г С .

С помощью простого соотношения находим, что ве­ роятная ошибка (при нормальном распределении) состав­ ляет ~21 °С. Правильно будет указать, что темпера­ тура составляет 993 ± 21 °С. Ожидается, что половина всех отсчетов будет находиться в данном интервале зна­ чений. Такой анализ приемлем лишь в случае измерения одного значения величины. При более высоких темпе­ ратурах (более яркие источники) пирометры имеют более высокую точность и дают меньший разброс показаний. Так, при температуре 1650 °С среднее квадратическое отклонение будет меньше.

В примере 2.5 мы использовали (п — 1), так как истин­ ное или наилучшее значение не было в точности известно до получения данных и его нужно было найти путем усред­ нения результатов. Если бы источник, на который направ­ лен пирометр, был откалиброван на 1000°С, то в формуле для среднего квадратического отклонения вместо (п — 1) нужно было бы взять п. Для выборки, содержащей 46 элементов, такая замена несущественна.

Если имеется набор случайных данных, для которых требуется найти среднее квадратическое отклонение без предварительного вычисления среднего значения, то мож­ но использовать выражение

которое является алгебраическим эквивалентом для вы­ числений, выполненных в примере 2.5. Подставляя ре­

зультаты измерения температуры с помощью пирометра в формулу (2.17), получаем

Ex2= l- 7 5 2 + 9-502 + 6-252+ 18-02 +

+ 10-(—25)2 + 2-502=43125.

откуда

,,.2_ J 3 J 2 5 — 2325__906

v' 45

Следовательно, s' — 30,1 °С. Этот результат отличается от значения, полученного в примере 2.5 (равного 31 °С), так как здесь вычисления выполнялись точно, а в приме­ ре 2.5 средняя температура была округлена до 1000 °С. Формула (2.17) удобна при рассмотрении задач статисти­ ческого анализа, аналогичных приведенным в гл. 8.

2.6. Распределения ошибок, отличающиеся от нормального

На фиг. 2.11, а изображено гипотетическое распреде­ ление ошибок, полученное при 50 замерах длины, скор­ ректированных таким образом, чтобы получить хорошее соответствие нормальному распределению. Не представ­ ляет труда найти сумму квадратов этих 50 отклонений:

Еж2= 6 • (О)2 +10 • (0,2)2 + 10• (0,4)2 + 8 • (0,6)2 +

+ 6 • (0,8)2 + 4 • (1,0)2 -f- 2 • (1,2)2 -f-2 • (1,4)8 + 2 • (2)2=26,52.

По формуле (2.16) находим, что среднее квадратическое отклонение составляет 0,737 см. Используя формулы (2.9) и (2.10), выразим вероятную ошибку через среднее квад­ ратическое отклонение:

p=0,675s'. (2.18)

Следовательно, в данном случае вероятная ошибка состав­ ляет 0,495 см. Из фиг. 2.11, а видно, что в интервале

Фи г . 2.11. Гистограммы для 50 ошибок, распределенных по нор­ мальному (а) и равномерному \(б) законам. Вероятная ошибка для каждого распределения составляет /^0,5 см.

номерное распределение, или распределение «рулетки», называемое так вследствие того, что здесь любое откло­ нение равновероятно, точно так "же, как равновероятно появление на рулетке любого числа. Это распределение подобрано таким образом, что оно содержит 50 отсчетов

По формуле (2.16) находим, что в данном случае среднее квадратическое отклонение составляет 0,58 см. Для сра­ внения заметим, что в случае распределения, изображен­ ного на фиг. 2.11, а, эта величина составляет 0,737 см.

Допустим, что распределение, изображенное на фиг. 2.11, б, является нормальным и вместо показанных 50 отсчетов мы имеем лишь несколько из них. При этом допущении можно вычислить вероятную ошибку по фор­ муле (2.18), основанной на выражениях для нормального распределения. Вероятная сшибка, найденная по этой формуле, составляет 0,392 см, тогда как точное значение равно 0,5 см, что можно легко определить из графика на фиг. 2.11, б.

Совершенно очевидно, что лишь немногие распределе­ ния ошибок будут столь существенно отличаться от нормального, как распределение, изображенное на фиг. 2.11, б. Однако даже в этом предельном случае при (ошибочном) допущении о нормальности распределения вероятная ошибка будет примерно лишь на 20% меньше ее точного значения. Одного^примера недостаточно для

большие отклонения от нормальности не приводят к су­ щественным ошибкам) подтверждается реальными экспе­ риментами. Проблема состоит не в том (как могут поду­ мать некоторые математики и другие специалисты), что та или иная модель или метод, возможно, применяется неумело или неправильно. При современном состоянии инженерного эксперимента более серьезным является то обстоятельство, что статистические модели вообще не используются.

К этим довольно оптимистическим выводам относи­ тельно применения нормального распределения можно добавить одно предостережение. Если инженера интере­ суют предельные случаи, то выбор приближенной модели

может привести к серьезным ошибкам и даже настоящим катастрофам. Инженер-строитель, оценивающий предель­ ный уровень воды, который может быть достигнут в дан­ ной реке, и установивший, что маловероятный паводко­ вый уровень может появиться раз в 100 лет, окажется в затруднительном положении, если этот уровень будет наблюдаться в среднем раз в пять лет. Такие вопросы связаны с вероятностями больших отклонений, и в тех случаях, когда предельные значения связаны с опасностью для жизни или разрушениями, необходимо проявлять большую осторожность.

2.7. Выводы и предостережения

Мы видели, что все ошибки, появляющиеся при про­ ведении экспериментов, можно рассматривать как сумму ошибок двух видов — систематической и случайной. Си­ стематическую ошибку легко обнаружить путем калибров­ ки прибора и при обработке результатов эксперимента от нее можно избавиться. Случайные ошибки представляют собой беспорядочные флуктуации показаний прибора относительно истинного значения измеряемой величины. Во многих экспериментах невозможно выделить система­ тическую и случайную составляющие, так как нельзя прокалибровать или проверить измерительную аппара­ туру. В таких экспериментах имеется неопределенность, которую необходимо оценивать, чтобы правильно сплани­ ровать эксперимент. Обычно эта неопределенность содер­ жит как систематическую, так и случайную составляющие, однако мы считаем, что неопределенность обусловлена лишь случайными ошибками. Таким образом, мы пола­ гаем, что неопределенность задается некоторым распре­ делением значений относительно истинного отсчета и описываем ее, пользуясь стандартными статистическими методами. Хотя отклонения показаний неточного при­ бора могут иметь различные распределения, часто при­ нимается допущение о нормальном законе, который до­ статочно хорошо изучен с математической точки зрения. Если распределение является приближенно нормальным, а это можно проверить путем построения графика на вероятностной бумаге, то легко определить долю откло­

нений, величина которых не превышает одного или не­ скольких значений показателя точности. Эти значения, взятые со знаками плюс и минус, характеризуют пределы, в которых находится различный процент общего числа отсчетов, взятых из бесконечной совокупности. Если точ­ ное значение измеряемой величины неизвестно, то в ка­ честве его оценки можно принять среднее значение при условии, что распределение отклонений не отличается существенно от нормального. Эту оценку можно уточнять, беря все большее число отсчетов, однако повышение точ­ ности происходит медленно, пропорционально квадрат­ ному корню из числа отсчетов. Независимо от того, по­ лучено ли точное значение путем калибровки или усредне­ нием отсчетов, по формулам (2.11) или (2.16) можно вы­ числить выборочное среднее квадратическое отклонение. После этого с помощью простых соотношений можно оп­ ределить любые другие показатели точности (при условии, что отклонения имеют нормальное распределение).

Если прибор дает большой разброс показаний, но распределение ошибок является близким к нормальному, то такой прибор пригоден для работы, если имеется возможность повторного получения отсчетов. Если при­ бор имеет систематическую ошибку, то его нужно отре­ гулировать или выбросить. Невозможно точно опреде­ лить, каким должно быть число повторных измерений

Если по своему характеру эксперимент допускает наличие ошибки, превышающей два—три средних квадра­ тических отклонения, то достаточно одного отсчета.

Когда допускаемое отклонение примерно равно ве­ роятной ошибке прибора, половина всех отсчетов будет выходить за пределы требуемой точности. Если данная величина измеряется четыре раза, то можно ожидать, что в среднем точность удвоится по сравнению с точностью одного отсчета, а два средних по двум отсчетам будет ле­ жать в интервале между этими отсчетами. При девяти отсчетах получаем три средних значения, лежащие внутри интервалов, образуемых этими отсчетами.

Если допускаемое отклонение не превышает половины вероятной ошибки, то необходимо делать как можно