книги / Теория инженерного эксперимента
..pdfРешение. R/M равняется Ро/Т. Из табл. 3.1 [форму ла (3)1 получаем
■ H W + № ( - ? - ) T
где до — ошибка или неопределенность.
Найдем до„/о, учитывая, что манометр дает самые точ ные показания при 10 кГ!см3:
= (0.032—0,012—0,022)'/2= 0 ,02.
Если V составляет 62,4 см3/г, то вероятная ошибка в опре делении о и, следовательно, веса не должна превышать
18 |
г. Сосуд, содержащий 0,028 м3 |
газа при давлении |
10 |
кГ/см2, будет довольно тяжелым. |
Вес содержащегося |
в нем газа составляет ~25 кГ, поэтому определять его необходимо очень тщательно.
Пример 3.5. На фиг. 3.2 схематически показано уст ройство, состоящее из трубы, по которой подается воздух с неизвестной концентрацией паров воды Стах, и гигро скопического вещества, которое постепенно поглощает
6-168
водяной пар из воздуха, проходящего по трубе, в соот ветствии с уравнением
ЛC=kCmaxe -b'« ,
где ДС — вес воды в поглотителе через Д0 сек; k — из вестная постоянная (в данном случае она равна единице),
имеющая размерность [л-1]; |
b — постоянная, зависящая |
||||
от |
гесметрик и |
химического |
состава |
поглотителя |
(b = |
= |
3 сёк). |
определить Стах путем |
измерения |
АС и |
|
|
Необходимо |
||||
Д0. Вероятная ошибка при измерении времени оказалась равной 0,2 сек, а для АС имеем р = 2 г. Отсчеты должны сниматься как можно чаще; ожидается, что Стах составит ~20 г/л. Какой должна быть правильная последователь ность работы? Какова вероятная ошибка для Стах? До ка ких пор можно увеличивать точность и частоту этих из мерений?
Решение. Исходная формула для определения Стах имеет вид
kCmax=ACeb'“>.
Попытаемся показать, что вероятная ошибка для СтаХ находится из уравнения
+ ( * ) ' ( * ) ' ■
Для СтаХ = 20 г/л с помощью исходной формулы построим таблицу для АС и Д0 при указанных значениях постоян ных b a k.
Д0 |
3/Д0 |
*з/де |
(1Х20)/*3/ д0 |
|
1 |
3 |
20 |
|
1 |
3 |
1 |
2 |
,6 |
7,65 |
30 |
0 ,1 |
1,15 |
17,4 |
|
300 |
0,01 |
1,01 |
20 |
|
Теперь эти значения А0 и АС можно подставить в фор мулу для вероятной ошибки результата. При Д0 = = 1 сек и AÙ = 1 г
• с ^ г = [ ( т ) ‘ + ( т ) ' ( т 2- ) Т = |
2да’ “ |
209%- |
|
Если А0 = |
3 сек и АС — 7,65 г, то |
|
|
|
А т = (0,0675 + 0,00445)1/2= 26,8 %. |
||
|
^ т а х т |
|
|
Если А0 = |
30 сек и АС = 17,4 г, то |
|
|
|
- А - = ( 0,115а + —0)i/2= |
11,5 %. |
|
|
ü max |
|
|
При Д0 = |
300 сек и АС = 20 г отношение |
рс/Стлх рав |
|
няется 10%, т. е. неопределенность является |
минимально |
||
возможной. |
|
вычислений, |
|
Рассматривая эту последовательность |
|||
можно дать ответ на три вопроса, поставленные при фор мулировке задачи. При заданном наборе вероятных ошибок и постоянных наилучшие результаты получим при выполнении измерений через 20—30 сек. При меньших интервалах неопределенность будет чрезмерно большой. При больших интервалах вероятная ошибка уменьшается незначительно. При таком рабочем плане вероятная ошиб ка для Стах довольно большая и составляет 10—15%. Очевидно, что уменьшение неопределенности в измере нии времени приведет к небольшому повышению скорости измерений и точности эксперимента. Таким образом, не обходимо стремиться к более точному измерению прира щений веса гигроскопического вещества.
Подытоживая смысл этих двух примеров, можно ска зать, что при проведении эксперимента изучение ошибки результата позволяет предсказать ошибки для системы в целом, помогает приобрести комплект приборов, точность которых удовлетворяет требованиям, предъявляемым к эксперименту в целом, дает возможность обнаружить «слабые» места в выполняемых измерениях и, наконец, помогает выбрать правильный план проведения экспери мента.
3.5.Нахождение неопределенности результата
спомощью графиков и диаграмм
Вданной главе до сих пор предполагалось, что функ
циональная зависимость между величинами X, Y и Z и результатом R известна, а затем для этой известной функ ции использовались формулы из табл. 3.1 либо уравне ния (3.14) и (3.15). Во многих случаях в инженерной прак-
7
Фи г . 3.3. Один из способов на хождения производной dR/dX
в точке (Æi.Xi) для использова ния в формуле для ошибки ре зультата.
тике показания приборов обрабатываются с помощью функциональных соотношений, представленных в виде графиков, шкал, диаграмм, номограмм или таблиц. При использовании таких графических или табличных функ ций обычно необходимо применять метод конечных раз ностей. Например, пусть используется прибор, отсчет X которого, согласно оценке, имеет неопределенность wX9 и для получения результата R необходимо воспользовать
ся графиком зависимости R от X . Из уравнения |
(3.15) |
следует, что в данном случае общее уравнение |
имеет |
вид |
|
w' = - Ë r w*- |
<3-22> |
Из фиг. 3.3, где изображена зависимость R от X, произ водную dR/dX можно получить графическим путем, про ведя касательную в точке (/?х, Хх) и измерив тангенс угла ее наклона. Если значение wx может быть оценено, то применение формулы (3.22) не вызывает затруднений.
В некоторых случаях использование сглаженной кри вой вносит неопределенность или ошибку, даже если по казания прибора абсолютно точны. Считается, что извест ная диаграмма Молье для водяного пара и соответствую щие таблицы имеют максимальную неопределенность по рядка 0,5 кал/г. Таким образом, если мы обращаемся к этим таблицам, зная температуру или давление, опреде ленные с некоторой погрешностью, то необходимо учиты вать все ожидаемые ошибки.
Пример 3.6. С помощью парового калориметра изме ряются давление и температура дросселированного пара. Зарегистрировано давление, равное 1,055 кГ/см2, и тем пература 115°С. Кроме того, установлено, что макси мальная неопределенность при измерении давления со ставляет 0,014 кГ/см2, а при измерении температуры 2,8 °С. Последняя величина обусловлена невозможностью обеспечить надежную теплоизоляцию калориметра. Какой будет максимальная неопределенность табличных значе ний энтальпии?
Решение. В таблицах водяного пара [5] приводятся следующие данные об энтальпии (кал/г) в представляю щих интерес интервалах значений давления и темпера туры:
Абсолютное |
|
Температура, °С |
|
|
|
|
|
давление, |
105 |
115 |
125 |
к Г /с м * |
|||
0,985 |
642,0 |
647,4 |
652,8 |
1,055 |
641,8 |
647,2 |
652,6 |
1,125 |
641,5 |
647,0 |
652,4 |
Общим уравнением для неопределенности энтальпии h как функции неопределенностей температуры Т и давле ния Р является формула (3.15), записанная в виде
î / àh \ 8 и . / dh \ а 2
Н==Ы ) р^ + Ы ) т^
Вначале необходимо вычислить (дЫдТ)р для энтальпии h при давлении 1,055 кГ/см2 и температуре 115°С. Из таб лицы видно, что
Аналогично методом конечных разностей находим, что (дк/дР)т ~ 2,92. Мы не следим за знаками, так как обе эти величины будем возводить в квадрат. Применяя формулу (3.15), получаем следующий результат:
wl= (0,54)2 • (2,8)г+ (2,92)2 • (0,014)2= 2,3+.
Заметим, что неопределенность давления оказывает не значительное влияние на окончательную неопределенность энтальпии. Допуская, что табличные данные абсолютно
точны, при данных |
неопределенностях находим, что |
wh = 1,52 кал!г. |
|
Однако, как уже указывалось, неопределенность таб |
|
личных данных может |
достигать 0,5 кал/г. Тогда энталь |
пия будет иметь два возможных источника неопределен ности. Одним из них является неопределенность вслед ствие округления табличных данных, достигающая 0,5 кал/г, а другим источником является неопределенность, накапливаемая в процессе вычислений, ее величина дости гает 1,5 кал/г. Неясно, как можно было бы наилучшим образом объединить эти два вида неопределенностей. Будем довольствоваться тем, что сохраним два самостоя тельных значения. Мы видим, что для данного калори метра еще не достигнут потенциальный предел точности, обусловленный неопределенностью табличных данных, и что следует попытаться уменьшить неопределенность температуры. Если эту неопределенность удастся сни зить до гЬ1,1°С, то результирующая ошибка в опреде лении энтальпии h, обусловленная неопределенностью температуры Т и неопределенностью давления Р, умень шится до 0,48 кал/г и окажется несколько меньше макси мальной неопределенности табличных данных. Малове роятно, что дальнейшее повышение точности измерений будет оправдано.
3.6.Линейные формулы для ошибки результата
инеопределенные постоянные
Рассмотренные здесь формулы для ошибки результата являются общепринятыми и используются математиками и другими специалистами при обработке результатов из мерений. Однако еще встречаются книги и статьи по тех нике и физике1, в которых не применяются основные квад ратичные формулы для ошибки результата, аналогичные соотношениям (3.14) и (3.15). В некоторых книгах ре комендуется просто суммировать предсказанные откло нения, а не подставлять их в формулы, типа (3.14) или (3.15). Так как операция возведения в квадрат не так уж сложна, такой подход в настоящее время считается уста ревшим, поскольку в отличие от описанных здесь методов он не позволяет получить правильную оценку Случайной ошибки или неопределенности результата.
Иногда исследователю может встретиться некоторая фиксированная величина или константа, которая одина ково входит во все формулы. Примерами таких фиксиро ванных величин могут служить длины плеч рычага, со противления резисторов в мостике Уитстона, тарирован ные или нулевые отсчеты, физические и механические константы, например удельная теплоемкость, коэффи циент упругости и такие постоянные, как скорость све та, ускорение силы тяжести и т. д. Такие величины по существу не являются случайными и не приводят к из менению точности данных в процессе эксперимента. Если мы выбрали определенную длину плеча рычага, то это единственное значение сохраняется в течение нескольких серий испытаний. Тем не менее будем считать, что такие постоянные величины испытывают некоторые случайные колебания и, следовательно, содержат неопределенность, которая имеет некоторое распределение относительно точ ного значения. Это вполне разумный подход, при котором предполагается, что в процессе эксперимента не произво дится повторное измерение этих постоянных величин. Очевидно, что если бы оценка неопределенности таких
1 Читатель, интересующийся данным вопросом, может обратить ся к работам [1, 3, 4, 8], где рассматриваются такие методы.
непроверяемых величин оказалась слишком большой, мы бы по возможности провели повторные измерения. Данный вопрос может проясниться после рассмотрения следую щего примера.
Пример 3.7. На фиг. 3.4 показан простой мостик Уит стона, собранный на стандартных резисторах. Резистор с неизвестным сопротивлением Ru является переменным
Фи г . 3.4. Схема мостика Уитстона, рассматриваемого в при мере 3.7.
чувствительным элементом испытательной аппаратуры. Когда между плечами мостика ток отсутствует, реле раз мыкается. Это происходит, когда
р_Rx^y .
*а~ Rz
Допустим, что резисторы с известными сопротивлениями выбирались по каталогу. Требуется определить допустимые пределы отклонений в процентах в предположении, что зна чение Ru не должно отклоняться от номинального зна чения более чем на 5%.
Решение. В данном примере случайные величины от сутствуют вообще. Если известны сопротивления трех резисторов, то прибор будет показывать нуль при неко тором фиксированном значении R„. Кроме того, можно предположить, что каждый резистор взят из совокупности, имеющей симметричное распределение, и его сопротивле ние находится в некоторых пока не известных пределах. Воспользуемся формулой (3.11), где w в данном случае обозначает некоторое максимальное отклонение (превы шающее 19 из 20 или, возможно, 99 из 100 отклонений).
Тогда 0,052 == 3(WR/R)2 и Wr/R = 0,029; предполагается, что все три постоянных сопротивления имеют одинаковые пределы допустимых отклонений. Для серийных резисто ров среднее квадратическое отклонение сопротивления равно 2%, и они, безусловно, подходят для нашего при бора. Таким образом, даже в тех случаях, когда случай ных величин нет вообще, можно предположить, что по стоянные величины имеют некоторое распределение от клонений, и применять соответствующую методику.
3.7. Ошибки результата в случае распределений, отличающихся от нормального
При выводе формулы (3.14) не ставилось условие, что бы рассматриваемые распределения ошибок были нор мальными. Поскольку выражение (2.11) является просто определением s и сумма членов, содержащих квадрат ошибки, находится с помощью простых алгебраических выкладок, формула (3.14) будет совершенно справедлива даже в том случае, когда одно или несколько рассматри ваемых распределений являются плосковершинными, островершинными, треугольными или прямоугольными. Единственное условие, налагаемое на формулу (3.14) при ее выводе, состоит в том, чтобы ни одно распределение не было настолько асимметричным, чтобы при большом «сум ма членов, содержащих 2ху, не равнялась нулю.
Соотношение (3.15) [а также формулы (3.11), (3.21) и формулы, записанные в табл. 3.1] справедливо при сле дующем допущении: соотношение между ю (интервалом неопределенности) или р (вероятной ошибкой) и средним квадратическим отклонением s для всех распределений ошибок одинаково. Математически это условие можно выразить в следующем виде:
wy= k tsy и т. д., но k1= k 2— - - - ^ k n. (3.23)
Коэффициенты пропорциональности k будут равны лишь в том случае, если все распределения ошибок принадле жат к одному типу; обычно предполагается существова ние нормального распределения.
Пусть требуется определить распределение ошибок ре зультата при распределениях ошибок А и В, изображен ных на фиг. 2.11, в случае функции типа суммы
R = C (A + B),
где С — некоторая постоянная (точная величина). В дан ном случае имеем (см. табл. 3.1)
Sr=(s*+s?),/2. (3.24)
Для распределения А среднее квадратическое отклонение составляет 0,737 см и вероятная ошибка равна 0,459 см, поэтому
ра—0»657sa. (3.25)
Для распределения В имеем sb = 0,58 см и рь = 0,5 см, поэтому
pb=0,S6sb. (3.26)
Очевидно, что требования к записи выражения (3.24) в том виде, как оно представлено в табл. 3.1, а именно в виде
Д.=(р8 + /*)Ч |
(3.27) |
не выполняются. Две постоянные величины, |
входящие |
в формулу (3.23), не одинаковы. Кроме того, нельзя опре делить, каким должно быть соотношение между sr и рг.
Допустим теперь, что нам известны вероятные ошибки для распределений А и В. Зная их, с помощью формул (3.25) и (3.26) найдем средние квадратические отклонения. Подставляя полученные значения s в формулу (3.24), получим среднее квадратическое отклонение результата. Если известно, что распределение В является прямоуголь ным, то по формуле (3.26) найдем, что точное значение sb равно 0,58 см. При s„ = 0,737 см по формуле (3.24) полу чаем, что истинное значение sr равно 0,938 см. Заметим, однако, что, хотя нам и известно среднее квадратическое отклонение результата, мы не знаем, какой процент откло нений будет находиться в интервале ± s r.l Напомним, что в том случае, когда все распределения нормальны, в интер вале ± s, лежит лишь 68% всех отсчетов.