книги / Теория инженерного эксперимента

однако можно сказать, что во вселенной, имеющей значе­ ние G, меньшее данного, при прочих равных условиях период обращения будет больше. Возможность существо­ вания такой вселенной представляет интерес с точки зрения философии, однако это не оказывает влияния на анализ размерностей. Постоянная G необходима потому, что без нее описание системы не будет полным.

Отсутствие важной переменной, описывающей систему двух небесных тел, обнаружилось сразу же. Рассмотрим теперь круглый диск диаметром d пренебрежимо малой толщины, вращающийся внутри герметичного сосуда в виде цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. На фиг. 4.3. показаны основные переменные.

Имеем шесть переменных и три основные размерности. Эту систему легко разбить на безразмерные комбинации, не прибегая к формальному методу Релея. Например, логично первую комбинацию записать как D/d, тогда второй комбинацией может быть D/c, а третьей d5w\i/T. Когда безразмерные комбинации подбираются таким об­ разом, каждая переменная должна появиться хотя бы один раз. Тогда

На первый взгляд может показаться, что здесь все в по­ рядке, однако исследователь должен проявлять большую осторожность. При описании движения тела в жидкости или движения жидкости почти всегда должно быть из-

вестно число Рейнольдса, для нахождения которого нуж­ но знать плотность жидкости. Рассматривая нашу систе­ му, можно увидеть, что для жидкостей с различными плот­ ностями будут получены различные результаты, даже если все остальные величины останутся неизменными. Доба­ вим эту новую переменную и перепишем комбинации в более логичной форме:

Теперь уравнение имеет больше смысла. В него входит число Рейнольдса, зависящее от скорости вращения. Член р(wd)2 связан с кинетической энергией жидкости на краю диска, a D2c легко преобразовать к общему объему сосуда. Таким образом, знаменатель комбинации, в ко­ торую входит вращающий момент, можно преобразовать в выражение для кинетической энергии, связанное со ско­ ростью у края диска. Нас интересуют две комбинации: D/c и D/d (которые с таким же успехом можно было бы записать как c/d, c/D и т. д.).

Необходимы ли обе эти комбинации для полного опи­ сания поведения системы? Хотя и можно предположить, что обе эти комбинации не нужны, однако к такому вы­ воду нельзя прийти лишь на основе анализа размерностей. Согласно п-теореме, число безразмерных комбинаций рав­ няется четырем, и экспериментатор должен из этого ис­ ходить.

В данном случае читатель может задать вопрос: а как же насчет ускорения силы тяжести? Если бы сосуд был не полностью заполнен жидкостью, то его положение в гра­ витационном поле играло бы важную роль. Однако по условию жидкость заполняет весь сосуд, поэтому мы по­ лагаем, что сила тяжести оказывает незначительное влия­ ние на движение диска или жидкости. Вопрос о включе­ нии g является серьезной головоломкой, и для того, что­ бы принять правильное решение, необходима подлинная проницательность. В задаче о трении мы рассматривали g , так как потеря напора АР выражалась через длину трубы, по которой в гравитационном поле с ускорением силы тя­ жести g протекает жидкость. В задаче о подводной лодке

Для М: а = 1,

для L : \ = b + с + d,

для 0: —2 = —2b — с

и а = 1, с = 2 — 2Ь и d = — 1 + b.

Получаем следующие безразмерные комбинации:

(4.12)

Представим теперь, что проведен эксперимент с кам­ нями различной массы, вращающимися с различными скоростями, и полученные результаты нанесены на гра­ фик. Получаем график, изображенный на фиг. 4.5. Го­

t

Ф и г. 4.5. Возможные резуль­ таты эксперимента по враще­ нию камня.

ризонтальная прямая показывает, что одна переменная является лишней. Ошибка состояла в том, что в перечень переменных была включена величина g. После некоторого размышления убеждаемся в том, что ускорение силы тя­ жести оказывает незначительное влияние на данную си­ стему и что сила натяжения веревки на Луне будет такой же, как и на Земле. Исключая g, получаем единственную безразмерную комбинацию, откуда

(4.13)

является окончательным соотношением и остается лишь определить k. (Надо быть плохим инженером, чтобы для определения k нуждаться в проведении эксперимента.)

4.4. Метод последовательного исключения размерностей

Метод Релея нахождения безразмерных комбинаций часто дополняется применением определителей, особенно когда уравнения для показателей степени являются слож­ ными. Благодаря применению определителей можно так­ же достигнуть более полного понимания всех сложностей и неожиданностей, связанных с анализом размерностей. Новый и не менее эффективный способ предложил Ипсен [6], назвавший его поэтапным (stepwise) методом. При использовании данного метода основные размерности по­ следовательно «исключаются» путем составления комби­ наций переменных. Этот метод довольно прост, и его при­ менение лучше всего проиллюстрировать на примере.

Допустим, что испытывается несколько одинаковых на­ сосов. Известны следующие величины: диаметр рабочего колеса D, скорость вращения рабочего колеса N, плот­ ность жидкости р, объемный расход жидкости Q. Зависи­ мой или измеряемой величиной является АР — повыше­ ние давления в перекачиваемой жидкости. Между этими величинами существует соотношение

Уравнение размерностей в этом случае в системе MLQ имеет вид

Если соотношение (4.14) выражает реальные условия эксперимента, то таким же точным и общим будет соотно­ шение

Из всех переменных, кроме р, мы исключили основную размерность М. Поэтому в уравнении (4.15) р не может быть записано в правой части, так как это единственный член,

содержащий теперь размерность М. Следовательно, со­ отношение (4.15) можно записать как

а соответствующее уравнение размерностей будет иметь вид

Теперь, используя переменную N, аналогичным образом можно исключить размерность 0:

откуда получаем уравнение размерностей

L *= f(V ,L ).

Наконец, используя переменную D, исключим размер­ ность L :

Щ> ( ND3 ) •

Полученное выражение показывает, что безразмерный член, характеризующий увеличение давления, является некоторой экспериментальной функцией важного безраз­ мерного параметра насоса Q/ND3.

В данном случае мы смогли исключить основные раз­ мерности, используя исходные переменные. Однако это не всегда возможно и, как будет видно из первого примера, рассматриваемого в следующем разделе, в этом даже нет необходимости.

Метод Ипсена не так прост, как это может показаться, особенно при большом числе переменных и при наличии четырех—пяти основных размерностей. Однако большое преимущество этого метода состоит в том, что он позво­ ляет исследователю осуществлять очень хороший контроль над формированием комбинаций как путем выбора по­ рядка исключения основных размерностей, так и путем выбора переменной, используемой для исключения той или иной конкретной размерности.

4.5. Выбор основных размерностей

До сих пор предполагалось, что для построения еди­ ниц всех необходимых переменных системы достаточно использовать размерности массы, длины и времени. Те­ перь же, возвращаясь к рассмотренному примеру об испытании насосов, построим единицы переменных в системе ML QV. В данном случае V является основной размерностью, которая стоит там, где раньше было /А Теперь уравнение размерностей, соответствующее (4.14), имеет вид

Используя поэтапный метод, исключим вначале М. В ре­ зультате получим соотношение (4.16). Запишем соответст­ вующее уравнение размерностей

Затем, как и ранее, исключив 0, получим соотношение (4.17), для которого

T - =f < y . L )•

Теперь исключим V, используя отношение Q/N, в резуль­ тате получим

Соответствующее уравнение размерностей будет иметь вид

Заметим, что для исключения из уравнения основной размерности V вместо одной переменной мы использовали комбинацию двух переменных Q/N.

г Наконец, необходимо исключить размерность L, ис­ пользуя переменную D. В результате получаем

Сравнение соотношений (4.20) и (4.18) показывает, что достигнуто заметное улучшение схемы эксперимента. Для полного задания формы уравнения (4.20) необхо­ дим теперь только один экспериментальный результат. Читатель может легко убедиться в том, что работу насоса Нельзя описать с помощью такого упрощенного закона, как уравнение (4.20). Ясно, что при выборе основных размерностей где-то была допущена ошибка.

Чтобы избежать чрезмерного упрощения, аналогич­ ного имевшему место при анализе работы насоса, некото­ рые авторы рекомендуют придерживаться следующего правила: «Выбираемые размерности должны быть незави­ симыми» [4]. Это правило предостерегает также против чрезмерного упрощения задачи выбора соответствующей системы размерностей. Например, Ипсен показал, что выбор размерности угла в качестве основной приводит к существенному упрощению безразмерных комбинаций, описывающих электрическую цепь [61. Обычно же углы рас­ сматриваются как безразмерные функции двух величин, имеющих размерность длины.

При теплопередаче путем естественной конвекции, используя систему основных размерностей MLQT (где Т — температура), получаем следующие комбинации:

что является проверенной на практике комбинацией для экспериментов такого рода. Заметим, что уравнение (4.22) представляет собой частный случай более общего

уравнения (4.21). Уравнение (4.21) превращается в урав­ нение (4.22) только в том случае, если две первые комби­ нации справа в формуле (4.21) перемножаются.

Тот факт, что использование в системе теплопередачи пяти основных размерностей вместо четырех дало «хоро­ ший» результат, а использование четырех основных раз­ мерностей вместо трех при анализе работы насоса дало «плохой» результат, свидетельствует о том, что в процессе описания новой или неизвестной системы исследователь должен проявлять большую осторожность при выборе основных размерностей.

Рассмотрим еще одну систему теплопередачи, представ­ ляющую собой трубу, в которой турбулентный поток жидкости отбирает тепло от ее стенок. Допустим, что эту

Здесь выбрана система основных размерностей MLQHT. В качестве упражнения покажите, что одним из возмож­ ных вариантов комбинаций могут быть следующие:

Проверка с помощью я-теоремы показывает, что имеется пять основных размерностей, семь переменных, но три комбинации! Этим иллюстрируется существенный недо­ статок я-теоремы, состоящий в том, что теорема позволяет

определить лишь минимальное число комбинаций. Имен­ но это число и получают в большинстве случаев. Однако, как следует из данного примера, теорема не запрещает иметь большее число комбинаций.

При последовательном исключении размерностей чис­ ло комбинаций, большее предсказываемого я-теоремой, наблюдается в тех случаях, когда одновременно исклю­ чаются сразу две основные размерности. Ипсен объясняет, что я-теорема справедлива и в этих случаях, но просто исследователь не использует истинное минимальное чис­ ло основных размерностей, определяемое теоремой Букин­ гема [4]. В случае уравнения (4.23) при использовании системы MLQT получаются такие же комбинации. Это свидетельствует о том, что в данном случае основная раз­ мерность Я была излишней.

Ван Дрист [91 предложил модифицированную я-теоре- му, учитывающую такие случаи. Его правило формули­ руется следующим образом: «Число безразмерных комби­ наций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образую­ щих безразмерной комбинации». Во многих случаях это «максимальное число» не так-то просто определить. Рас­ сматривая задачу о теплопередаче, описываемую уравне­ нием (4.23), обнаруживаем, что, группируя переменные D, V, р и h, невозможно получить безразмерную комбина­ цию. Путем проверки можно убедиться в том, что добав­ ление к этим четырем переменным Ср или k в соответст­ вующих степенях позволяет получить безразмерную ком­ бинацию. К переменным D, V, р и h можно добавить р

иисключить размерность Я, но р совместно с V, D и р составят лишь одну комбинацию, поэтому правило ван Дриста не выполняется. Таким образом, вычитая из семи полученных переменных четыре переменные, из которых нельзя составить безразмерную комбинацию, получаем три комбинации, как и предсказывает данное правило.

Это правило особенно удобно в задачах, связанных с механикой, когда выбирается система размерностей MLQ или FLQ (где масса имеет размерность Л}-2/.-1). Для одной

итой же физической системы я-теорема дает разное число комбинаций при использовании систем размерностей

ЛШ) и FLQ (нередко применяемой без 0). Правило ван