книги / Теория инженерного эксперимента

Прибор может давать большой разброс показаний и в то же время не иметь систематической ошибки. Пример: тахометр дает показания: 910, 1050, 990, 1030, 1080, 890, 1050, 1060 об/мин. Истинная скорость вращения состав­ ляет 1000 об/мин, что равно среднему значению для дан­ ной группы показаний. Это свидетельствует о том, что, хотя показания тахометра и характеризуются большим разбросом, прибор не дает систематической ошибки.

Обычно при выполнении измерений экспериментатор делает один отсчет. Если тахометр работает, как показано в верхней части фиг. 2.1, то вероятность того, что одиноч­ ный отсчет будет точным, очень мала. В данной главе такие понятия, как точность и случайная ошибка, отно­ сятся к выборкам или группам отсчетов, число которых достаточно для того, чтобы определить, действительно ли показания прибора имеют разброс относительно истин­ ного значения или же он имеет систематическую ошибку. Тахометр, показания которого изображены в верхней части фиг. 2.1, необходимо заменить или отремонтировать, тогда как тахометр, показания которого изображены в нижней части рисунка, желательно откалибровать и ис­ пользовать.

Чтобы определить, какая из двух ошибок наблюдает­ ся, необходимо провести калибровку или какую-либо другую аналогичную проверку прибора. Эти данные мо­ жет выдавать фирма, изготовившая прибор, но иногда их приходится находить самим. В процессе планирования эксперимента мы можем ничего не знать о характере оши­ бок, кроме того, что следует ожидать некоторого отклоне­ ния от точного значения. В этом случае мы имеем дело не с ошибкой, а с неопределенностью (что отмечалось в гл. 1) и вычисляем или (что более вероятно) угадываем величи­ ну этой неопределенности. В данной книге неопределен­ ность после получения ее оценки будет рассматриваться точно так же, как случайная ошибка. Таким образом, все, что говорится о случайной ошибке, относится и к неопре­ деленности, хотя неопределенность может иметь как случайную, так и систематическую составляющие.

Одним из способов уменьшения ошибки является калибровка, которая представляет собой проверку при­ бора во всем диапазоне измеряемых величин с помощью

известного эталона. Если исследователь не подготовлен

:к снятию повторных отсчетов, то калибровка позволит лишь улучшить характеристики приборов, имеющих ма­

ледовательность точно из­ вестных значений давле­ ния. Подавая известные значения давления, рав­ ные 0,5; 1,0; 1,5 кГ/см2 и т. д., записываем факти­ ческие показания датчика и строим калибровочную кривую, изображенную на фиг. 2.2, а. Затем эта кривая используется для

мощью манометра с весовой нагрузкой.

нанесения на шкалу прибора точных отсчетов. Допус­ тим, что механизм прибора «заедает» либо имеет мерт­ вый ход или, возможно, образовалась незначительная течь в тонкостенной трубке Бурдона. Такие дефекты мо­ гут приводить к ошибочным показаниям, и прибор будет иметь как систематическую, так и случайную ошибку.

В данном случае калибровочная кривая мало повлияет

.на точность отсчетов. При повторном использовании мано­ метра с весовой нагрузкой для проверки датчика пр

ошибки и возможные последствия всегда можно предска­ зать. Однако, если известно, что существует случайная ошибка, никогда нельзя установить ее абсолютную ве­ личину, произведя единственное измерение. Для иссле­ дования случайных ошибок, возникающих при проведении эксперимента, необходимо знать некоторые разделы ма­ тематической статистики и теории вероятностей.

Длина стержня с точностью до интервала А Х

Ф иjr. 2.3. Гистограмма, полученная при измерении длины жест­ кого стержня.

Допустим, что необходимо измерить неизвестную ве­ личину, например длину жесткого стержня. Обеспечим большую группу исследователей линейками, рулетками, микрометрами и т. д. и предложим им измерить длину. Записывая каждое измерение, замечаем, что между отсче­ тами наблюдателей Л, В, С и т. д. существуют некоторые отклонения. После того как все большее и большее число наблюдателей зафиксирует свои результаты, получаем вы­ борку из некоторой генеральной совокупности. Рассмо­ трим небольшие равные интервалы длиной АХ и подсчи­ таем число отсчетов, попадающих в каждый из этих ин­ тервалов. Если теперь построить график зависимости средних значений X для каждого интервала АХ от числа отсчетов, попадающих в каждый интервал, то получим гистограмму, аналогичную изображенной на фиг. 2.3,

Чем больше отсчетов будет снято, тем меньший, интервал АХ можно взять, и в пределе получим некоторую плав­ ную кривую распределения.

В теоретических работах по математической статистике изучается большое число различных распределений [9]. На данном этапе мы рассмотрим лишь одно распределе­ ние — знаменитую нормальную кривую ошибок, часто называемую распределением Гаусса. Формула для этого распределения часто выводится на основе следующих двух допущений:

1.Окончательная ошибка любого измерения пред­ ставляет собой результат большого числа очень малых ошибок, распределенных случайным образом.

2.Положительные и отрицательные отклонения отно­ сительно истинного значения равновероятны.

На основе этих допущений несколькими способами мож­ но получить выражение для частоты появления отклоне­ ния как функции величины отклонения [16]

где у — частота появления некоторого отклонения х относительно точного значения |*ж; у0 — частота появле­ ния нулевого отклонения, a TJ — некоторая постоянная, характеризующая данное нормальное распределение, на­ зываемая модулем или показателем точности. Полагая, что у0 и ri — постоянные, и строя зависимость у от х, получаем хорошо знакомую колоколообразную кривую, изображенную на фиг. 2.4. Функция (2.1) и ее кривая непрерывны, т. е. они описывают совокупность, содер­ жащую бесконечное множество измерений. Это так назы­ ваемая генеральная совокупность, из которой для иссле­ дования берутся некоторые конечные выборки. Генераль­ ная совокупность охватывает все множество отклонений для данного прибора. Нас интересует прежде всего мате­ матическое выражение для площади А под кривой. Пло­ щадь находится путем интегрирования из следующего выражения:

Этот довольно сложный определенный интеграл можно вычислить [16] либо найти в таблице интегралов [5]. Пло­ щадь равна

По причинам, которые будут указаны ниже, удобно при­ нять эту площадь равной единице. Тогда y0Vn/r\ = 1 и

Ф и г . 2.4. Кривая плотности нормального распределения показа­ ний измерительного прибора.

у0 = т)/ |Лг. В результате такого нормирования формула

В этом случае у имеет размерность tj, а размерность TJ обратна размерности х. Если, например, для тахометра х имеет размерность [об/мин], то у будет иметь размер­ ность [(об/мин)'1].

Однако у не является величиной, удобной для исполь­ зования. Почти во всех случаях необходимо знать вероят­ ность появления отклонения любой данной величины. Суммарная площадь'под кривой зависимости у от х охва-

Чтобы таблица была компактной, формулу (2.5) можно переписать в следующем виде:

- Г [ х

где Рус — вероятность того, что данное отклонение будет лежать в интервале от +т]л: до —т)Х. Значения интеграла вероятности, вычисленные по формуле (2.6), приведены в табл. 2.1.

ра отклоняются относительно 1000 об/мин по нормально­ му закону и TJ = 0,04 (об/мин)'1. Если при этой скорости вращения берется выборка, содержащая 20 отсчетов, то какое число отсчетов будет находиться в интервале от 990 до 1010 об/мин?

Решение. В данном случае х = ±10 об/мин, тогда г\х = 10-0,04 =0,4. Из табл. 2.1 находим, что вероят­ ность нахождения отсчета в этом интервале составляет 0,428.. Таким образом, можно ожидать, что из 20 последо­ вательных отсчетов 20-0,428, или 8,56 отсчета будут на­ ходиться в интервале от 990 до 1010 об/мин, т. е. практи­

действительности при каком-либо испытании 6—7 или 10—11 отсчетов окажутся в данном интервале.

Точность данной измерительной системы удобно вы­ ражать некоторым одним числом, или показателем точ­ ности. Рассмотрим два таких показателя, каждый из ко­ торых указывает, с какой точностью прибор может из­ мерять требуемую величину. Этими показателями явля­ ются:

1. Среднее квадратическое отклонение а (или диспер­ сия а2, равная квадрату среднего квадратического откло­ нения). Эта величина определяется как квадратный ко­ рень из суммы квадратов всех отклонений, деленный на общее число таких отклонений п:

После подстановки в формулу (2.7) этих соотношений и выражения (2.4) получаем

-foo

( 2 8 )

Это выражение можно упростить, снова обратившись к таблице определенных интегралов. Результат имеет вид

для среднего квадратического отклонения справедлива в случае любого распределения, а не только нормального.

Однако значение вероятности, равное 0,682, будет полу­ чено^только в том случае, когда отклонения показаний прибора!, подчиняются нормальному закону.

2. Вероятная ошибка Ф. Эта величина определяется как такое отклонение, при котором в интервале ± Ф находится ровно половина всей совокупности. Из табл. 2.1 видно, что в случае нормального распределения

составляет 50%. По непонятным причинам в современной литературе^по математической статистике вероятная ошиб­ ка не используется. Этот удобный и важный для инжене­ ров и физиков показатель очень прост, и его легко оценить; он часто применяется для выражения неопреде­ ленностиJ фундаментальных констант и другихj ана­ логичных величин [3]. Вероятная ошибка характери­ зует область отклонений при «шансах один к одному». Это означает, что вероятность появления отклонения, пре­ вышающего Ф, равна вероятности появления отклонения, меньшего Ф.

В случае нормального распределения среднее квадра­ тическое отклонение и вероятная ошибка связаны простым соотношением. Зная один из этих показателей или т], можно найти другие показатели/;

Пример 2.2. В примере 2.1 был1-рассмотрен тахометр, имеющий г] = 0,04 (об/мин)'1. Найдите два показателя точности данного прибора и число оборотов в минуту, заключенных *в интервалах ±сг и ± Ф.

Решение. Из формул (2.9) и (2.10) видно, что

0==7П5Т==17‘7 об/мин,] Ф = ^ ^ = 11,9 об/мин.

Таким образом, 68,2% всех отсчетов при калиброванном значении 1000 об/мин находится в интервале от 982,3 до 1017,7 об/мин, а половина всех отсчетов заключена между 988,1 и 1011,9 об/мин.