книги / Теория инженерного эксперимента

смотрим два основных типа экспериментов. Вначале можно взять верхнее или нижнее предельное значение независимой случайной величины и изменять его скачко­ образно до тех пор, пока не будет достигнуто другое пре­ дельное значение. С другой стороны, выбранные значе­ ния можно чередовать чисто случайным образом, беря то большее, то меньшее значение. Первый план будем назы­ вать последовательным, а второй случайным (рандомизи­ рованным). Характерно, что в настоящее время последо­ вательный план используется почти во всех инженерных экспериментах, тогда как для большинства невоспроизво­ димых экспериментов целесообразнее применять рандо­ мизированный план.

Очевидно, что последовательный план целесообразно применять при проведении испытаний материалов. Су­ ществуют и другие, более тонкие эксперименты, где так­ же необходим последовательный план. Хорошим примером, который знаком каждому начинающему инженеру, являет­ ся классический эксперимент, связанный с исследованием трения жидкости внутри трубы. На первый взгляд может возникнуть сомнение, зачем в этом случае нужен после­ довательный план. Если при ламинарном потоке жидкости постепенно и осторожно увеличивать число Рейнольдса, то поток сохранит ламинарное состояние в области пере­ хода, а при изменении числа Рейнольдса от больших значений к меньшим наблюдается обратная картина (со­ храняется турбулентный поток). На фиг. 6 . 6 показаны данные, полученные студентами, которым сообщили о том, что такой эффект может наблюдаться и его можно обнаружить путем изменения чисел Рейнольдса в возра­ стающем, а затем в убывающем порядке. При случайном выборе чисел Рейнольдса — то в области ламинарного, то в области турбулентного потока — маловероятно, что­ бы такой тонкий эффект был обнаружен вообще. В экспе­ риментах такого рода сама последовательность условий яв­ ляется определенным параметром. Аналогичная картина наблюдается при испытании катушки индуктивности с железным сердечником, когда форма петли гистерезиса может зависеть от предыдущей рабочей точки, а также при испытаниях на трение, когда имеют место переходы от ста­ тического трения к трению скольжения и обратно.

Д ля большинства инженерных экспериментов лучше всего подходит частично или полностью рандомизирован­ ный план. Доводы в пользу таких планов довольно убе­ дительны, и на некоторых из них мы остановимся.

Рейнольдса для потока воды в медной трубе. Эксперимент прово­ дился при непрерывном увеличении, а затем при непрерывном умень­ шении числа Рейнольдса iVRe. Получены две различные группы то­

чек. Заметим, что в интервале значений NRe от 1500 до 5000 при

уменьшении числа Рейнольдса получены большие значения f, чем при его увеличении, что свидетельствует о влиянии характера после­ довательного изменения переменной на результат.

X данные, полученные при увеличении числа Рейнольдса; О данные, получен­ ные при уменьшении числа Рейнольдса.

Естественные эффекты могут обнаруживать тенден­ цию к изменению в процессе эксперимента. Атмосферное давление может увеличиваться, температура окружающей среды может постепенно возрастать или уменьшаться, влажность воздуха может изменяться. Если независимая переменная X непрерывно варьируется, то зависимая переменная R может изменяться как вследствие измене­

ния переменнойТХ, так и вследствие изменения метеоро­ логических условий. Если же переменная X изменяется случайным образом, то исключается возможность ошибоч­ но принять влияние метеорологических условий за влия­ ние переменной X.

В процессе эксперимента может изменяться работо­ способность оператора. Наиболее вероятно совершенст­ вование навыка или, наоборот, появление усталости у персонала, получающего данные и обслуживающего ап­ паратуру. Важно знать, обусловлены те или иные эффекты увеличением переменной X или же вызваны ухудшением точности показаний прибора перед концом смены. Если переменная X изменяется случайным образом, то сме­ шивания этих двух факторов не произойдет.

Механические воздействия могут вызывать изменение переменной X. Это, по-видимому, наиболее важная при­ чина применения рандомизированных планов. Допустим, что в имеющемся у нас регуляторе, измерительном при­ боре или манометре наблюдается «заедание». Если преды­ дущий отсчет прибора находился в верхней части диапа­ зона, то прибор покажет завышенное значение, если же предыдущий отсчет находился в нижней части диапазона, то «заедание» прибора приведет к заниженному показа­ нию. Какой эффект будет наблюдаться при последователь­ ном переходе к более высоким показаниям? Каждый от­ дельный отсчет, возможно за исключением первого, будет заниженным, а общий результат эксперимента будет иметь систематическую ошибку постоянной величины, которую трудно обнаружить. Допустим теперь, что выбор точек производится случайным образом, поэтому при пе­ реходе от больших значений к меньшим будет получено почти столько же отсчетов, сколько и при переходе от меньших значений к большим. Полученные данные могут иметь некоторый разброс, но они будут группироваться вокруг точных значений. Подобный случай изображен на фиг. 6.7. В ходе испытаний такие случаи могут встре­ чаться в различных вариантах. В экспериментах, связан­ ных с теплопередачей и испытанием двигателей, возни­ кают ошибки, обусловленные тем, что не достигается установившееся состояние. При использовании последо­ вательного плана мы всегда будем находиться по одну

получены завышенные резуль­ таты при предыдущем боль­ шем показании и заниженные при предыдущем меньшем показании. Заметим, что такая случайная последовательность точек захватывает в «вилку» истинную кривую, тогда как кривая, полученная при после­

О точки, полученные при снятии отсчетов в определенной последова­ тельности путем перехода от ббльших значений к меньшим; ф точки, полученные при выполнении изме­

рений в случайном порядке.

и ту же сторону относительно стационарных условий (слишком высокая или слишком низкая температура) и получим систематическую ошибку. Манометры с засорив­ шимися трубками, а .также частично перекрытые трубо­ проводы с дозирующими отверстиями и трубопроводы под давлением с небольшими утечками ведут себя как приборы с заеданием. Если экспериментатор не очень знаком с используемой системой, то, применяя последо­ вательный план, когда в этом нет необходимости, он рискует получить систематическую ошибку, способную вызвать серьезные затруднения.

По-видимому, не будет преувеличением сказать, что применение последовательного плана целесообразно лишь в следующих случаях: 1 ) когда известно, что эксперимент является невоспроизводимым либо имеет некоторые осо­ бенности, которые можно обнаружить лишь при получе­ нии данных в регулярной последовательности; 2 ) когда продолжительность, стоимость или сложность экспери­ мента таковы, что рандомизация нецелесообразна. Приме­ ром последнего случая может служить работа ядерного реактора, для которого время достижения теплового рав­ новесия составляет несколько дней, поэтому изменения рабочих условий должны быть как можно меньшими.

В последующих разделах будет показано, каким обра­ зом с помощью специальных «блочных» планов можно

достигнуть частичной или полной рандомизации. Для рандомизации многих экспериментов лучше всего исполь­ зовать какой-либо простой «игровой» метод. Например, выбранные комбинации условий можно пронумеровать, а номера вытаскивать, как при жеребьевке. Если имеется две или большее число игральных костей различного цвета, то можно вытянуть такие номера: 36, 216 и т. д. Если красная игральная кость дает единицы, а зеленая — десятки, то при выпадании трех очков на зеленой кости и одного очка на красной получаем номер 31. Комбина­ ции условий можно пронумеровать от 1 1 до 16, от 2 1 до 26 и т. д. и план эксперимента составлять путем после­ довательного бросания игральных костей. Кроме того, для выбора последовательности изменения условий экспе­ римента можно использовать таблицы случайных чисел [1 J.

То, что мы рассматриваем здесь, по существу пред­ ставляет собой контроль за условиями эксперимента. На обеспечение точности результатов и контроль за усло­ виями эксперимента и направлены основные усилия при проведении эксперимента. Хотя контроль за условиями эксперимента и обеспечение точности взаимосвязаны, можно получить большую точность, имея совершенно неудовлетворительный контроль, и наоборот. Экспери­ менты в области общественных наук часто являются очень точными в том смысле, что подсчет числа событий произ­ водится с абсолютной точностью. Однако контроль за поведением людей в процессе эксперимента настолько сло­ жен, что во многих случаях он оказывается невозможным. С другой стороны, в таком эксперименте, как определение скорости вращения Венеры вокруг своей оси путем спек­ трографических исследований отраженного от нее света, получаемые данные являются весьма неточными, хотя здесь совершенно отсутствуют (если небо чистое) какиелибо другие эффекты.

6.3. Рандомизированные блоки: внешние переменные

До сих пор мы ограничивались рассмотрением простей­ ших экспериментов, имеющих одну независимую, или ре­ гулируемую, переменную X и зависимую переменную, или

мент, в котором независимой переменной является ско­ рость обработки, а зависимой переменной — выход про­ дукции R. Однако в таком эксперименте имеется одна яв­ ная внешняя переменная — рабочий, обслуживающий станок. Если бы было, например, 20 рабочих, то каким образом следовало бы выбрать типичного, или среднего, представителя для проведения эксперимента? Ясно, что мы не в состоянии справиться с этим заданием. Рабочие могут в значительной мере отличаться друг от друга по мастерству, темпераменту, физической силе и т. д., по­ этому выбор единственного «среднего» рабочего для про­ ведения эксперимента не имеет смысла. Тогда какимлибо способом выберем случайным образом четырех ра­ бочих, каждый из которых будет работать полную смену при заданной скорости обработки. Чтобы сбалансировать эксперимент, выберем четыре различные скорости обра­ ботки, с тем чтобы каждый рабочий за четыре дня опро­ бовал каждую из четырех скоростей; результаты, получен­ ные для каждой скорости, можно усреднить. Этим дости­ гается рандомизация эксперимента по такой внешней пе­ ременной, как рабочий. Обозначив скорости цифрами 1, 2 , 3 и 4, а рабочих буквами А, В, С и D, можно получить следующий план:

Такой план, безусловно, является несовершенным, так как он не учитывает влияния последовательности измене­ ния условий эксперимента. Энтузиазм, интерес, а возмож­ но, и страх, которые вызывает у рабочего новый инст­ румент в понедельник, к четвергу могут ослабнуть, и по этой причине может снизиться производительность. И на­ оборот, может появиться натренированность, и произво­ дительность увеличится. Мы не провели рандомизацию

12—168

пяти или большего числа переменных, когда все они берутся^при одном и том же числе уровней. Интересно от­ метить, что квадрат 6 x 6 возможен только в случае трех переменных, т. е. как и латинский квадрат.

Весьма вероятно, что через четыре дня после того, как будут исследованы все 16 комбинаций условий, нас удов­ летворят средние значения производительности, пред­ ставленные на графике в зависимости от скорости обработ­ ки. В гл. 8 будет показано, как на основе таких данных можно построить критерий для проверки значимости в

тех случаях, когда по обычной кривой нельзя определить эффект скорости обработки.

Для многих экспериментов квадрат не всегда является наиболее удобным планом. Например, скорость можно изменять шесть раз, а также взять меньшее число рабочих и станков. В литературе описано большое число частично сбалансированных и несбалансированных планов экспе­ римента. Это так называемые квадраты Юдена, решетча­ тые квадраты и т. д. [61. Часто для обычных инженерных экспериментов вполне достаточно построить план по ме­

Здесь шесть скоростей мы распределили равномерно меж­ ду первым и вторым блоками, стремясь обеспечить как можно большее перекрытие. Этот план не является таким же рандомизированным, как один квадрат с 36 ячейками, составленный для шести рабочих, шести станков и шести рабочих дней, но, по-видимому, он является вполне удов­ летворительным.