книги / Теория инженерного эксперимента

больше повторных отсчетов или по возможности заменить прибор.

Многое из сказанного выше связано с существованием нормального распределения, хотя данное условие строго никогда не выполняется. Рассмотрим кратко распределе­ ния, которые на первый взгляд можно принять за нор­ мальные, но легко показать, что они асимметричны.

1. С чисто математической точки зрения для любого прибора, имеющего на шкале нуль или некоторое макси­ мальное значение, отклонения не могут иметь идеальное нормальное распределение. Рассмотрим манометр с ве­ роятной ошибкой 0,15 кГ/смг, используемый для измере­ ния давления, равного 0,35 кГ/см2. Существует некоторая небольшая, но конечная вероятность того, что этот ма­ нометр вместо 0,35 кГ/см2 покажет 0,85 кГ/см2. Однако благодаря наличию ограничителя при нуле никогда не появится отсчет —0,15 кГ/сма. Таким образом, в данном случае область больших отрицательных отклонений усе­ чена, что обусловлено конструкцией прибора. Для боль­ шинства практических ситуаций это обстоятельство не­ существенно, так как прибор с такой исключительно широкой областью отклонений непригоден для работы.

2. Во многих измерительных приборах обнаружи­ ваются отклонения, зависящие от того, каким был преды­ дущий отсчет. Например, в вольтметре может наблюдать­ ся «заедание», что вызовет положительное отклонение (отклонение в большую сторону) при переходе от боль­ шего значения напряжения к меньшему. При изменении напряжения от меньшего значения к большему получаем обратный эффект. У такого прибора совокупность откло­ нений будет симметричной лишь в том случае, если число переходов от меньшего показания к большему равно чис­ лу переходов в обратном направлении. Кроме того, ве­ личина ошибки может зависеть от разности между новым и предыдущим показаниями, в этом случае все отсчеты должны сниматься случайным образом (подобные экспе­ рименты со случайным снятием отсчетов рассматриваются в разд. 5.2). Такое случайное чередование отсчетов воз­ можно лишь в середине шкалы и невозможно на участ­ ках максимальных или минимальных значений, где из­ менение отсчета возможно лишь в одном направлении.

3. Сомнительно, чтобы какой-либо сложный измери­ тельный прибор, обрабатывающий определенный входной сигнал, давал нормально распределенные отклонения. Рассмотрим прибор, который измеряет вес шарикового подшипника, но выдает значения его диаметра. Элемент, измеряющий вес, может давать показания с отклонения­ ми, распределенными по нормальному закону, поэтому для подшипника весом 1,0 а элемент столько же раз по­ кажет 1,3 г, сколько и 0,7 г. Однако диаметр шарикового подшипника пропорционален кубическому корню из его объема или веса. Таким образом, показанием прибора будет некоторая постоянная, умноженная на 1,092 при отсчете 1,3 г, на 1,0 при отсчете 1 г и на 0,89 при отсчете 0,7 г. Если значения веса распределены по нормальному закону, то распределение значений диаметра будет асим­ метричным, а при нормальном распределении значений диаметра распределение значений веса будет асимметрич­ ным. Поскольку нет оснований считать, что весь прибор будет давать нормально распределенные показания с меньшей вероятностью, чем некоторая его часть, то ра­ зумно предположить, что, по-видимому, ни для веса, ни для диаметра не будет получена совокупность отклоне­ ний, имеющих идеальное нормальное распределение.

Несмотря на эти и другие возражения относительно существования нормального распределения, все же допу­ щение о нормальности является удобной аппроксимацией для многих распределений, реально наблюдаемых при выполнении измерений с помощью приборов.

ЗАДАЧИ

2.1. Производится замер толщины слоя воды с по­ мощью водомерной рейки. Полученные отсчеты имеют нормальное распределение с т) = 10 м~1. Если выполняет­ ся большое число замеров, то за пределами какого интер­ вала значений будет находиться четвертая часть всех результатов, когда точная глубина составляет 1,5 и«?

2.2. Высотомер, установленный на автоматическом па­ рашюте, имеет ri = 0,00134 лг1. При раскрытии парашю­ та на расстоянии до Земли менее 100 м аппаратура выйдет из строя. Каков процент случаев поломки груза при

ностной бумаге графика распределения отклонений от среднего. С помощью этого графика оцените вероятную ошибку и среднее квадратическое отклонение для каждой группы данных. (Примечание. Данные можно округлить до 0,5.)*

2.8. Вычислите среднее квадратическое отклонение и вероятную ошибку прибора при измерении твердости двух образцов А и В (чем выше твердость по Роквеллу, тем тверже образец). Можно \ли сказать, что данный прибор дает более точные или менее точные результаты на более твердых поверхностях?

2.9.Предполагая, что среднее число твердости для образца Выявляется точным значением, выберите из этих данных в*случайном порядке 1, 4, 9, 16 и 25 отсчетов. Покажите' справедлива ли в этом случае теорема, соглас­ но которой точность среднего значения возрастает про­ порционально квадратному корню из числа отсчетов. (Указание. Постройте на логарифмической бумаге график для разности между истинным значением и средним как функции п при п, равном 1,4, 9, 16 и 25. Какую форму бу­ дет иметь этот график в идеальном случае?)

2.10.Прибор для сортировки электроннолучевых тру­ бок проверяется путем многократного пропускания через него одной и той же трубки. Получены следующие ре­

зультаты:

Тщательное измерение, выполненное вручную, пока­ зало, что точный размер ссставляет 38,8 мм. Нанесите эти данные на вероятностную бумагу, а затем определите степень отклонения их от нормального распределения. Полагая, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, оцените вероятную ошибку дан­ ной выборки непосредственно с помощью вероятностного графика, не прибегая к вычислениям.

2.15. Какой номинальный диаметр осевого отверстия (вместо 2 см) следует задать, чтобы все 100 деталей подо­ шли друг к другу при ручной подгонке?

2.16. Среднее время «полезного» солнца, зарегистри­ рованное в данной местности в определенные дни за не­ сколько лет, составляет 3,4 час в сутки. Распределение числа часов является близким к нормальному, при этом в каком-либо из дней число «полезных» часов не может быть отрицательным. Если в течение 40 дней время «по­ лезного» солнца не превышает 0,5 час в сутки, то в тече­ ние скольких дней время «полезного» солнца составляет не менее 7 час?

2.17. Среднегодовая дата рождения данного вида на­ секомого приходится на полдень суток X. Для половины исследованных особей время рождения лежит в интервале ±36 час относительно этого времени и распределение от­ клонений является близким к нормальному. Летальное действие инсектицида сохраняется в течение двух дней, и в этот период вероятность уничтожения насекомых со­ ставляет 98%. Сколько раз необходимо применять инсек­ тицид, чтобы с вероятностью 95% уничтожить всех насе­ комых? В какое время суток X относительно полудня сле­

Это фактические данные для предохранителей, рассчи­ танных на ток Vie о, которые получены при резком изме­ нении нагрузки. Нанеся эти данные на вероятностную бумагу, оцените среднее значение, среднее квадратическое отклонение и вероятную ошибку. Проверьте нормальность полученных данных. Теперь вычислите среднее значение тока, вызывающего перегорание предохранителя, и сред-

нее квадратическое отклонение на основе нормального распределения. Насколько хорошо согласуются эти пара­ метры с приближенными результатами, полученными гра­ фическим способом?

2.19.При проверке предохранителей, о которой го­ ворилось в задаче 2.18, один предохранитель перегорел при токе 108 ма, но это значение не вошло в таблицу. Сколько предохранителей нужно проверить, прежде чем обнаружится один, перегорающий при токе 108 ма, если принять рассмотренное выше распределение?

2.20.Допустим, что мы поменяли местами правую и левую части фиг. 2.11, а и ввели предельные значения. Получено следующее двувершинное симметричное рас­ пределение ошибок:

Постройте гистограмму для плотности данйого распре­ деления и оцените приближенно интервал ±дс, в котором заключена половина ошибок. Затем, используя все 50 ре­ зультатов, вычислите выборочное среднее квадратическое отклонение. Допустим, что принято допущение о нормаль­

что 25% его показаний ниже точного значения ровно на одно деление шкалы» т. е. х = —1,0; для 50% показаний

фик этого распределения. Найдите среднее квадратическое отклонение. Какова вероятность получения трех последо­ вательных показаний, которые либо точны, либо меньше точного отсчета?

18.Y о u n g H. D., Statistical Treatment of Experimental Data, McGraw-Hill. N,Y.. 1962.

Глава 3

ОШИБКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭКСПЕРИМЕНТА В ЦЕЛОМ

В предыдущей главе были рассмотрены виды ошибок, которые могут появиться при измерении какой-либо одной величины измерительной системой, включающей чувствительный элемент, индикаторную часть и наблю­ дателя. Для большинства инженеров представляет ин­ терес схема эксперимента, когда на нескольких приборах измеряется несколько величин и для получения конеч­ ного результата эти измерения должны определенным образом комбинироваться с помощью некоторых матема­ тических действий. Очевидно, что в таких случаях могут возникать определенные трудности. Измерения, которые в необработанном виде являются довольно точными, в конце последовательности вычислений могут иметь такие ошибки, которые фактически сводят на нет цель экспе­ римента. И напротив, если исследователю повезет, до­ вольно неточные исходные данные могут играть настоль­ ко малую роль в конечном анализе, что на их недостовер­ ный характер можно будет не обращать внимания. Однако нет нужды полагаться на удачу, поскольку обычно вопрос о точности результата можно тщательно исследовать еще до того, как будет установлена или даже закуплена испы­ тательная аппаратура.

Когда исследователь имеет дело с отсчетами, ошибками или неопределенностями нескольких приборов, то воз­ никает проблема рассмотрения различных приборов на общей основе, если нас интересуют их ошибки или неопре­ деленности. В данной главе предполагается, что показа­ ния всех приборов либо имеют случайную ошибку, либо характеризуются некоторой неопределенностью, которую мы рассматриваем как случайную ошибку. В гл. 2 указы­ валось, что эта ошибка или неопределенность может быть

описана некоторым распределением (например, нормаль­ ным) и охарактеризована некоторым показателем точности (например, таким, как среднее квадратическое отклонение, вероятная ошибка или модуль точности). При изучении ошибок или неопределенностей в случае использования двух или большего числа измерительных приборов необ­ ходимо рассматривать их на общей основе.

3.1. Показатель точности произведения или частного

Как будет показано в следующей главе, к числу наи­ более распространенных функций, встречающихся в экспе­ риментальной работе, относятся комбинации произведе­ ний и частных (безразмерные величины). Типичными при­ мерами являются известное число Рейнольдса (произве­ дение скорости, длины и плотности, деленное на вязкость), число Маха (отношение скорости объекта к скорости зву­ ка), коэффициент усиления электровакуумной лампы (отношение изменения напряжения на аноде к изменению напряжения на сетке) и т. д. Рассмотрим общий резуль­ тат R, который является линейной функцией произведе­ ния двух измеряемых величин X и Y:

где k — некоторый нормирующий множитель, значение которого, как мы полагаем, известно точно. Допустим теперь, что для X выборочное среднее квадратическое от­ клонение равно sx, а для Y оно составляет sy. Если xt— данное отклонение от точного значения Хе, обусловленное наличием случайной ошибки при измерении X, а уг — одновременно наблюдаемое отклонение от точного значе­ ния Yc, то формула (3.1) для данной конкретной пары от­ счетов (взятых из выборки, содержащей п таких пар) приним ает вид

где./* — отклонение результата, а индекс с, как и в гл. 2, обозначает точный или средний отсчет. Уравнение (3.2) принимает вид