книги / Теория инженерного эксперимента
..pdfприменив первую часть теоремы Букингема: «Если какоелибо уравнение однородно относительно размерностей, то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций величин».
Однородным относительно размерностей является уравнение, форма которого не зависит от выбора основных единиц. Примером является известное уравнение Фэн
нинга для |
коэффициента |
трения |
ДP = /(L/D)V*/2^. |
|
Входящие в него величины |
могут выражаться |
в футах |
||
и секундах, |
метрах и часах или |
в любых |
других |
|
соразмерных единицах. И наоборот, уравнение Дюлонга и Пти q/A = С(1,0077)г для теплового потока через еди ницу площади q/A от источника, имеющего температуру Т, не является однородным, так как, выражая Т в градусах Кельвина, получим совсем другую формулу, чем при ис пользовании Т в градусах Ренкина. Правильная формула для этого случая была найдена позже. Она имеет вид q/A =аТ*, где о — некоторый размерный коэффициент. Действительно, сомнительно, чтобы какое-либо естествен ное явление можно было описать с помощью неоднород ного уравнения. Такое описание может быть лишь при ближенным.
Безразмерные комбинации, о которых упоминалось в теореме Букингема, представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности сокращаются. В случае уравнения Фэннинга можно составить три без размерные комбинации: AP/(Vr2/2g), f и L/D. Теорема Букингема не является столь тривиальной, как это может показаться при рассмотрении этого простого примера, и
еедоказательство довольно сложно1.
Выше отмечалось, что неоднородные уравнения не мо
гут дать полного математического описания естественного явления или процесса. Можно не знать всех переменных, влияющих на эксперимент, но необходимо представлять себе, что эти переменные и связывающее их безразмерное уравнение существуют независимо от того, известны они или нет. Если не удается получить систему безразмерных
1 Интересное геометрическое доказательство теоремы дается вработе [3J; см. также [11-
комбинаций, то это является верным признаком того, что было что-то пропущено.
В случае уравнения Фэннинга для коэффициента тре ния в его наиболее общем виде обычно представляет ин терес величина АР. Известно, что эта величина зависит от длины трубы L , диаметра D и скорости потока V. Вес эти величины являются независимыми переменными. Хотя ускорение силы тяжести g практически величина постоян ная, его также необходимо рассматривать. Легко убедить ся, что такие свойства жидкости, как плотность и вяз кость, являются независимыми переменными (зависящими от вида жидкости и ее температуры). Изучение внутрен них поверхностей различных труб показывает, что высота неровностей поверхности е также является переменной величиной. Итак, получаем восемь фундаментальных переменных и общее уравнение можно записать в следую щем виде:
ДР=<р (L, D, V, р, р, е, g). |
(4.1) |
Согласно теореме Букингема, это функциональное со отношение (если оно однородно) можно выразить через безразмерные комбинации величин. Из опыта известно, что такое соотношение имеет следующий вид:
! Л Г |
, |
VDp |
_ е \ |
(4.2) |
V*]2g=<f> |
|
И ’ |
D); |
|
|
|
Можно показать, что эти комбинации являются безразмер ными, если используются совместимые единицы. Экспери ментатору значительно легче найти функцию <р' в формуле (4.2), чем функцию <р в формуле (4.1).'Вместо того чтобы варьировать поочередно каждую из семи переменных, причем изменение некоторых из них может вызывать затруднения, исследователь может варьировать лишь каждую из трех комбинаций. Это обстоятельство сущест венно упрощает эксперимент и позволяет представить в графической форме и проанализировать полученные дан ные гораздо быстрее и с большей точностью.
Рассмотрим теперь простой способ нахождения ком бинаций величин, входящих в формулу (4.2). Используем так называемый релеевский метод решения размерных си стем. Выразим сначала размерность переменных, описы
вающих систему с потерями на трение, по отношению к трем основным единицам: массы М, времени 0 и длины L. Перечень формул размерностей для основных величин приводится в приложении Б.
Название переменной |
Обозначение |
Формула размерности |
Потери тепла в трубе |
ДР |
L |
Длина трубы |
L |
L |
Диаметр трубы |
D |
L |
Скорость потока жидкости |
V |
L/0 |
Вязкость жидкости |
И |
M0-1L-1 |
Плотность жидкости |
Р |
ML-3 |
Высота неровностей поверх |
е |
L |
ности |
|
|
Ускорение силы тяжести |
g |
L0“2 |
Допустим теперь, что между этими величинами су ществует следующее соотношение:
<р (La, D», Vе, ре, ef, g s)= № . |
(4.3: |
Подставим сюда вместо символов размерности из таблицы:
<р [La, L», (LQ-y, (M Q ^L-y, (ML~3)e, V , (LQ~*)«]=L. (4.4)
Чтобы данное уравнение было однородным относительно размерностей, должны выполняться следующие соотно шения между показателями степени:
для |
М: |
0 = d + e, |
для |
L: |
1 —Û -j- b "j"с—d — Зе -(- f gt |
для |
0: |
0 = —с—d —2g. |
Имеем три уравнения с семью неизвестными. Упростим их, исключив е, с и Ь. Тогда е — —d, с = —d — 2g и
b = 1 — а — d + g — f. Подставляя |
эти |
соотношения |
для показателей степени в формулу |
(4.3), |
получаем |
9 (L“, Dl~a~d+s~f, V-d~2s, ца, p~d, e*, g«)=AP.
Объединяя члены с одинаковыми показателями степени, легко составить безразмерные комбинации
Ф
Восемь первоначальных переменных задачи дают пять без размерных комбинаций. Применяя анализ размерностей, мы далеко продвинулись в решении задачи. Теперь необ ходимо приступить к проверке фактической функции, в которую входят эти комбинации, и найти выражение, описывающее движение жидкости в трубе с потерями на трение. Эксперименты в области ламинарного потока дают следующую функцию:
АР
D
(В последующих главах будут рассмотрены некоторые способы, позволяющие получить это соотношение с по мощью экспериментальных данных.) Окончательным ре зультатом является известное уравнение для потерь на трение при ламинарном потоке в круглой трубе
ДР _ |
64 |
L |
(4.6) |
|
V2l2g — |
WRe |
D |
||
|
В данном случае имеется всего три безразмерные комби нации (четыре в случае турбулентного потока), хотя к этому выводу невозможно прийти лишь с помощью ана лиза размерностей. Однако совершенно очевидно, что ана лиз размерностей позволяет упростить эксперимент.
4. 2. я-теорема
Рассмотрим гидродинамическую систему, изображен ную на фиг. 4.1: подводная лодка с характеристическим размером d движется с различной скоростью в вязкой
жидкости, испытывая силу лобового сопротивления D. В данном примере используются те же самые основные единицы: массы, времени и длины. Таблица переменных имеет следующий вид:
Название переменной |
Обозначение |
Формула размерности |
Скорость жидкости |
V |
L0-1 |
Характеристический размер |
d |
L |
Плотность жидкости |
Р |
ML"3 |
Вязкость жидкости |
Р |
MO^L-i |
Сила лобового сопротивления |
D |
ML0-2 |
Поскольку в качестве основных единиц выбраны еди ницы массы, времени и длины, размерность силы выво дится по формуле для второго закона Ньютона. Как будет
Фи г . 4.1. Схема эксперимента с подводной лодкой.
показано далее, при желании исследователь может рас сматривать единицу силы также как основную. Как и ранее,
<р[(L0_1)a, L \ ( M L '3)', (M0-1L-1)d]=ML0-2.
Получаем следующие соотношения для показателей сте пени:
для М: c + d = 1,
для L: 1 = а + Ь—3с—d,
для 0: —2 = —a—d.
Из этих формул выразим показатели степени через d:
с — —d + l, b = 2— d и а = 2 —d.
Уравнение (4.7) примет тогда вид
ф <yz~d, d?'*, p1_rf, fi‘0= D ,
следовательно,
или в более обычной форме |
|
С,=Ф'(УКе), |
(4.8) |
где Сd — известный коэффициент лобового сопротивления, зависящий только от числа Рейнольдса. Таким образом, для описания поведения подводной лодки нет необходи мости вычерчивать графики зависимости лобового сопро тивления от каждого из параметров V, d, р и ц в отдель ности, а достаточно построить лишь одну кривую зависи мости Cd от NRt. Как видно из фиг. 4.2 , в этом случае потребуется меньший объем данных.
Заметим, однако, что полученная кривая будет спра ведлива только для геометрически подобных подводных ло док. Единственный характеристический размер d дает представление лишь о величине подводной лодки, но ни чего не говорит о ее форме, конусности, обтекаемости и т. д. Чтобы получить общее выражение, справедливое для подводных лодок любой формы, потребовалось бы большое число размерных отношений и огромный объем экспериментальной работы. Поэтому исследователь дол жен стараться не делать слишком общих выводов при
Фи г . 4.2. Без проведения анализа размерностей для |
представле |
|
ния данных о движении подводной лодки потребуется |
несколько |
|
кривых, подобных А и В. При |
использовании безразмерных ком |
|
бинаций потребуется |
только одна кривая С. |
|
анализе размерностей и не пытаться применять эти ре* зультаты без должной осторожности.
Задача о трении жидкости в трубе и задача о лобовом сопротивлении иллюстрируют вторую часть знаменитой теоремы Букингема, используемой для проверки резуль татов анализа размерностей. Это так называемая п-теоре- ма: «Если существует однозначное соотношение Ф (Ль Л2, ...» Лл) = 0 между п физическими величинами, для описания которых используется k основных единиц, то существует также соотношение
ф' К> *2..... *Я-*)= 0
между (п — к) безразмерными комбинациями, составлен ными из этих физических величин». Для обоих рассмо тренных примеров эта теорема справедлива. В задаче о коэффициенте трения рассматривалось восемь физиче ских величин, и были выбраны три основные единицы. Согласно я-теореме, число безразмерных комбинаций рав но (8 — 3) = 5 . Данное число комбинаций получено ма тематически, хотя в процессе эксперимента потребовались лишь три—четыре комбинации. В задаче о лобовом сопро тивлении имеется пять переменных и три основные еди ницы, поэтому число безразмерных комбинаций равно двум и, как оказалось, обе комбинации необходимы.
4.3.Выбор безразмерных комбинаций
ипеременных
На первый взгляд может показаться, что применение анализа размерностей и аналитического метода Релея от носительно несложно, но, к сожалению, часто это бывает не так, особенно когда приходится иметь дело с новыми или необычными экспериментами. Рассмотрим снова за дачу о движении подводной лодки. Выразим показатели степени не через d, а через с. В этом случае получаем
d = —с+ 1 , а = с + 1 и b = c + 1.
Подставляя, как и ранее, эти значения в формулу (4.7), имеем
Безусловно, формула (4.9) верна, как и формула (4.8). Полученные комбинации являются безразмерными, и оба уравнения удовлетворяют я-теореме. Опытный исследо ватель будет менее охотно использовать уравнение (4.9), чем уравнение (4.8). В комбинацию D/pWd2 входят сила лобового сопротивления, кинетическая энергия потока жидкости и квадрат площади лобовой поверхности, на которую давит жидкость. Таким образом, данную комби нацию можно рассматривать как отношение силы лобо вого сопротивления к силе, вызываемой давлением жид кости на лобовую поверхность подводной лодки. С другой
стороны, комбинация переменных D/Vdp явно не имеет физического смысла. Комбинация вязкости с длиной и скоростью необычна и не особенно понятна. Решив урав нения для показателей степени относительно а, получаем еще одну не очень полезную комбинацию pD/p.2. Эта ком бинация могла бы представить интерес, если бы она со держала величины, характеризующие свойства жидкостей, но в нее входит также сила лобового сопротивления, по этому ее ценность сомнительна.
Все дело здесь в том, что многие размерные системы могут иметь несколько решений, и хотя все решения бу дут правильными, их ценность неодинакова. Кроме того, как будет показано в последнем разделе данной главы, выбор того или иного набора комбинаций может опреде ляться наличием ошибки или неопределенности.
Читателя, возможно, заинтересует, почему рассматри ваются те или иные переменные при проведении экспери мента. Почему, например, ускорение силы тяжести исполь зуется в задаче о движении жидкости в трубе, но не рас сматривается в задаче о лобовом сопротивлении? А вдруг какая-нибудь важная переменная опущена? А что, если ошибочно включены ненужные переменные?
Рассмотрим теперь систему двух тел, вращающихся в открытом космосе относительно друг друга благодаря взаимному притяжению. Мы полагаем, что поведение этой системы описывают следующие переменные:
Название величины |
Обозначение |
Формула |
размерности |
||
Масса первого тела |
Mr |
М |
Масса второго тела |
Мг |
М |
Расстояние между телами |
R |
L |
Период обращения |
Р |
0 |
Запишем соотношение
<Р (Ma,Mb, LC)=Q.
Ш кив |
Вращающий |
В ал |
м ом ен т |
Угловая скорость и |
|
|
Сосуд, |
|
заполненный |
|
жидкост ью |
D |
|
Ф и г . 4.3. Схема возможного эксперимента, |
связанного с враще |
нием тонкого диска в вязкой жидкости.
Очевидно, что где-то была допущена ошибка. Такая ве личина, как время, встречается в одной части уравнения, но ее нет в другой части, поэтому получить безразмерное число невозможно. Это может означать, что период обра щения не является существенной переменной, но, посколь ку нам нужно найти именно эту переменную, такое объяс нение отпадает. Либо это случай, когда уравнение являет ся неоднородным, либо (что более вероятно) упущено что-то важное. Любой астроном может быстро указать недостающую величину. Это гравитационная постоянная G, имеющая размерность M~1L3Q~2. Включая эту величину в наш анализ, легко получаем
(4.10)
Почти не зная небесной механики, мы нашли, что пе риод обращения системы двух небесных тел прямо про порционален расстоянию между телами в степени 3/2. Этот факт нельзя установить интуитивно. Однако чита тель может задать вопрос, почему же все-таки в задачу включена постоянная G, когда ее никак нельзя предста вить себе переменной величиной. Невозможно дать сколь ко-нибудь удовлетворительный ответ на этот вопрос,