книги / Теория инженерного эксперимента
..pdfгде членом |
второго порядка |
х ^ г |
можно |
пренебречь. |
||
Тогда с помощью формул (3.1) |
и (3.3) |
находим |
||||
|
r1= k (x 1Yc^r y1Xc). |
|
|
(3.4) |
||
Аналогично для другой |
пары значений |
X |
и У имеем |
|||
|
г2 —^ |
|
у2Хс) |
|
|
(3.5) |
и т. д. Из |
определения |
s [формула |
(2.11)1 |
следует, что |
||
S r
Sr* |
(3.6) |
|
л |
||
|
Просуммировав п уравнений, аналогичных уравнениям (3.4) и (3.5), получим
[У*сЪх2 + ХсУсЪ (ху) + Х 2Ъу2\. |
(3.7) |
Член 2(х(/) полагаем равным нулю, так как любое произве дение x.Yi у может быть с равной вероятностью как поло жительным, так и отрицательным, и для большой выборки сумма таких произведений будет стремиться к нулю. Тогда, подставляя выражение (3.7) в формулу (3.6), на ходим
s*=** |
- ^ г ) . |
(3-8) |
Подставляя в формулу для s, полученную в предыдущей главе, выражение (3.1), в конечном счете имеем
Как будет показано на примере, данное выражение может использоваться непосредственно. Таким же способом легко показать, что соотношение (3.9) справедливо для случая, когда
k,
используется выражение
sr |
1"X? |
Г>te |
|
с2 |
4 |
1 |
У 1 |
|
уа 1 |
ч * |
|
1 |
* с |
(3.10)
Заметим, что член Sr/Rc есть отношение среднего квадратического отклонения к точному отсчету и, следо
вательно, является показателем точности, выражаемым в процентах. Таким образом, формула (3.10) является об щим математическим выражением следующего правила: «Если результат является функцией отношений или про изведений нескольких величин, то квадрат относитель ной ошибки результата равен сумме квадратов относи тельных ошибок отдельных измерений».
Данный анализ справедлив не только для среднего квадратического отклонения или при использовании при боров, у которых отклонения показаний имеют нормаль ное распределение. Клайн и Макклинток обобщили этот метод на случай произвольного интервала отклонений ±до, в котором могут находиться 50, 68 или 95% всех отсчетов данного прибора 16]. Если в интервале ± ш ле жит 95% всех отсчетов, то, как отмечает Клайн, шансы на то, что определенный отсчет попадет в данный интервал, составляют 20 к 1. Для случая произвольных отклонений
формула (3.10) принимает |
вид |
|
|
|
Ш? |
WÎ |
w\ |
w\ |
|
~Rf= |
X f + 7 f“ + z p |
(311) |
||
Разумеется, мы должны быть уверены в том, что в каждом интервале ±œ> содержится один и тот же процент элементов генеральной совокупности и что, кроме того, для каждого из рассматриваемых приборов отклонения носят симметричный характер. Если распределение яв ляется асимметричным, то в формуле (3.7) член, содер жащий 2 x1/, в пределе при л -» со не будет стремиться к нулю. Другим ограничением, налагаемым на форму лы (3.10), (3.11) и большинство других формул, рассмат риваемых далее в данной главе, является то, что случай ные ошибки wx, wu, х'г (или неопределенности) должны быть независимыми [10]. Например, коэффициент преломле
ния N призмы является функцией двух измеряемых уг лов А и В:
и sin[Q4 + В)12] sin (Л/2)
Соблазнительно рассматривать неопределенность или ошибку коэффициента преломления N как функцию отно шения двух величин sin[(^4 + В)!2] и sin(/l/2), однако это было бы неправильно, так как данные величины не яв ляются независимыми. Таким образом, формулу (3.10) или (3.11) применять нельзя, и для определения ошибки результата необходимо иметь более общее выражение, справедливое при наличии тригонометрических, логариф мических функций и т. д.
Пример 3.1. Через трубу за единицу времени проте кает определенное количество воды. Температура воды измеряется с помощью термопары, а затем из таблицы свойств воды находятся вязкость и плотность. На основе показаний приборов и табличных данных получены сле дующие абсолютные значения и вероятные ошибки р при минимальном и максимальном расходе воды:
|
Мини- |
Макси |
|
Ошибка, % |
|
Величина |
|
мини |
макси |
||
мальный |
мальный |
Р |
|||
|
расход |
расход |
|
мальная |
мальная |
Скорость V, м/сек |
0,30 |
6,0 |
0,1 |
10 |
0,5 |
Диаметр трубы D, см |
1,0 |
1,0 |
0 |
0 |
0 |
Плотность р, г/см* |
1,0 |
1,0 |
0,05 |
0,08 |
0,08 |
Вязкость, г/см-сек |
0,01116 |
0,01116 |
0,09 |
0,33 |
0,33 |
Требуется найти вероятную ошибку в определении числа Рейнольдса VDp/p при максимальном и минимальном расходе.
Решение. С помощью формулы (3.11) для случая ми нимального расхода находим
^ S s L = |
(o, Ю2 -f 0.00082 + 0,00332)'/2= 0 ,10, или 10%t |
|||
ivpe |
- |
- |
» |
’ |
В случае максимального расхода
^ Re) ■= (25-10-* + 0,64-10"*+ 10,9-10 '6)1'2= "Re
=0,00605, или 0,61%.
После вычисления ошибок обнаруживаются следующие результаты: при малом расходе в половине случаев вы численные числа Рейнольдса имеют ошибку, превышаю-
Ф и г. 3.1. График, показывающий 95%-ный доверительный интер вал возможного распределения. По мере увеличения числа Рей нольдса доверительный интервал сужается.
щую 10%, а при больших значениях расхода ее величина уменьшается до 0,6%. Значительное повышение точности числа Рейнольдса в обоих предельных случаях приведет к более точному определению скорости. В действитель ности же к этому целесообразно стремиться лишь в слу чае малого расхода, так как все остальные ошибки пол ностью перекрываются вероятной ошибкой скорости, составляющей 10%. Бели эксперимент проводится без
изменений, то можно с уверенностью ожидать, что при малых значениях скорости обнаружится большой разброс данных, а при увеличении скорости разброс станет зна чительно меньше.
В математической статистике полоса разброса назы вается доверительным интервалом. При этом подразуме вается, что нам известно, с какой вероятностью данный отсчет будет находиться в пределах или за пределами некоторой области, аналогичной изображенной на фиг. 3.1. Более общим понятием является интервал неоп ределенности, который находится (полностью или частич но) на основе оценки или принятия допущения, а не по средством повторного снятия показаний приборов. Вместо отыскания вероятной ошибки можно оценить интервал неопределенности при шансах 20 к 1 способом, который использовался при определении интервала неопределен ности для числа Рейнольдса. Заметим, что по-прежнему необходимо следить за тем, чтобы обеспечивалась неза висимость отдельных ошибок или неопределенностей. Пусть в рассматриваемом случае для вычисления скорости масса М, измеренная в данном интервале времени Т, делится на плотность р и площадь поперечного сечения трубы nD2!4:
Здесь М и Т не зависят от других величин, но выражение для V включает D и р, и правило независимости величин не выполняется, если принять порядок вычислений, ис пользовавшийся при нахождении ошибки для числа Рей нольдса.
Запишем выражение для NRe в форме, более подходя щей для данного эксперимента:
д , _ 4М
/Vr«—ГяОр '
Поскольку величина р здесь не используется, при вычис лении числа Рейнольдса ошибка в определении р не играет роли.
3.2. Определение показателей точности для произвольной функции
Мы могли бы продолжать, как в разд. 3.1, отыскание специальных правил для различных частных случаев, например для сумм и разностей, показательных, логариф мических, тригонометрических функций и т. д. Однако этот перечень не будет исчерпывающим, так как различ ные функции могут комбинироваться друг с другом опре деленным образом, поэтому потребовались бы еще более специализированные и более сложные правила. Вместо этого опишем общий метод, посредством которого можно проанализировать любую функцию и получить ошибку результата. Рассмотрим общий случай, когда результат R является функцией двух измеряемых переменных X и Y:
/?с + г1= /(Х с + х1, Ye + yx). |
(3.12) |
Если эта функция непрерывна и имеет производные (трудно представить себе, чтобы экспериментально опре деленная функция не обладала такими свойствами), то ее можно разложить в ряд Тёйлора. Рассматривая только первые два члена ряда, имеем
, Ц Е Л Ye + V i-Y c \ |
|
||
+ \àYc)x |
И J* |
|
|
Или, поскольку Rc = |
f(Xc, Yc), |
|
|
r i = { ^ |
) / |
i + { w r ) xyi' |
<3,13) |
где, как и ранее, строчные буквы в индексах обозначают отклонения от точных отсчетов, и
Кроме того, 2 ху стремится к нулю и s? = 2г2/«, поэтому
Sr |
(3.14) |
Интервал неопределенности w получается из выражения
(3.15)
Аналогичным путем можно найти любой другой показа тель точности.
3.3. Применение общего уравнения
Уравнения (3.14) и (3.15) играют важную роль, поэто му необходимо остановиться на их применении. Рассмо трим две функции, представляющие интерес для инжене
ров. |
_____ |
1. Дана функция |
|
R = k X b, |
(3.16) |
где kи b — постоянные; найдитесреднее квадратическое отклонение результата R при заданном среднем квадрати ческом отклонении sx измеряемой переменной X. Из уравнения (3.15) находим
A * .= bkXb-1 |
(3.17) |
и
(3.18)
По возможности в таких формулах удобно выражать ошиб ку в процентах (долях единицы). Разделив уравнение (3.18) на (3.16), возведенное в квадрат, получим
(3.19)
Пример 3.2. Расход воды через треугольный водослив пропорционален напору в степени 2,5. Если среднее квадратическое отклонение напора составляет 3% абсо-
лкЭтного значений, то какой будет ошибка в определений расхода, если все остальные величины измерёны точно?
Peidenue. rto формуле (3.19) нйходим
^-=2,5-0,03=0,075, или 7,5%.
Заметим, что если показатель степени меньше единицы, то ошибка результата будет меньше ошибки измеряемой величины.
2. Дана |
функция |
|
|
|
|
|
(3.20) |
Имеем |
|
|
|
( dR \ _ Y ( X + Y) — X Y |
f d R \ __ X ( X + Y) — X Y |
||
\ д Х ) ~ |
( X + Y)2 |
И [ dY ) x |
( X + Y)2 |
Тогда по формуле (3.15) получаем (полагая, например, что w = р, где р — вероятная ошибка)
Y* |
„8 , |
X* |
Рг— (X + |
Рх + |
(X + У)4 Ру |
Можно воспользоваться полученным соотношением, одна ко обычно лучше найти относительную ошибку, если толь ко это не приводит к усложнению функции. После деле ния на /?2 имеем
Рг _ |
Y* |
(X + У)2 _* | |
Х« |
(X + К)* . |
|
/?2 |
(X -+- У)« |
Х2У2 |
Р*^ |
(X + У)« |
Х2У* Ру' |
Выполнив |
необходимые |
алгебраические |
преобразования, |
||
получим |
|
|
|
|
|
Пример 3.3. Уравнение для полного коэффициента теплопередачи U в системе, где две жидкости разделены стенкой с пренебрежимо малым тепловым сопротивлением, имеет вид
_ / _ L |
I JL V 1___ |
|
U ----1 и |
< и |
I ----- и |
где hi и й2 — коэффициенты теплопередачи каждой из этих жидкостей. Если hi = 75 ккал/м2• час-град с вероят ной ошибкой 5%, a h->= 100 ккал/м2'час-град с вероят ной ошибкой 3%, то какой будет вероятная ошибка для U?
Решение. По формуле (3.21) находим ( т ) ' = Ы т т б ) '- ° '05’ + (т а т т в )’-»’03’-
#= 3 ,1 % .
Втабл. 3.1 приведены формулы для ошибок резуль тата в случае некоторых основных функций. Все эти вы ражения можно получить с помощью формул (3.14) или
|
|
Таблица 3.1 |
|
Некоторые формулы для определения |
|
|
ошибки результата |
|
|
Функция R |
Ошибка результата рг |
1) |
k(X + Y) |
(р%+ р1)щ |
2)kXY )
3) |
fcX/Y) |
RKPX/X)* + (Р„/П2]1/г |
4) |
kXb |
bRPx/X |
5) |
ke* |
RPx |
6) |
k\nX |
RPxl(X In X) |
7)ksinX RPxteX
(3.15). Многие другие соотношения можно найти с по мощью рассмотренных здесь методов, однако читателей следует предостеречь от неосторожного применения не которых приведенных здесь формул. Например, выраже ние, записанное в табл. 3.1 для функции
R = k e x,
совершенно не подходит для функции
R — kerx,
3.4. Планирование экспериментов с точки зрения анализа ошибок
Идеи, рассмотренные в предыдущих разделах, находят наиболее широкое применение при планировании инже нерных экспериментов. Часто исследователь имеет боль шой выбор приборов и испытательного оборудования, и вполне логично, если он будет стремиться использовать относительно простые и недорогие средства. Во многих лабораториях промышленных и правительственных орга низаций нередко проводятся эксперименты, когда беспо рядочно используются приборы самых различных диапа зонов точности. Можно израсходовать десятки тысяч долларов на самую совершенную аппаратуру и все же получить окончательные данные в виде графика разме ром в половину страницы, и при этом среднее квадратиче ское отклонение результата может составить 10 и более процентов. Руководитель или инженер-испытатель, от ветственный за аппаратуру, допуская такое небрежное планирование эксперимента, лишает свое предприятие огромных средств, которые можно было бы направить на новые неотложные исследования. На следующих двух примерах проиллюстрируем применение анализа ошибок при планировании эксперимента.
Пример 3.4. Получена проба смеси газов неизвестной пропорции. С помощью уравнения состояния идеального газа
Pv=(R/M )T,
где Р — давление, Т — абсолютная температура, а о — удельный объем, требуется определить значение постоян ной R/M для данной смеси газов. Используемый манометр имеет шкалу от 0 до 10 кГ/см2, половина наименьшего деления шкалы составляет 0,1 кГ/см2 (будем считать, что данный интервал охватывает 95% всех отклонений). При температуре 4 °С (277 °К) ожидаемая ошибка состав ляет ± 7 °С. Внутренний объем сосуда точно известен и составляет 0,028 м3. Удельный объем газов равен 62,4 см31г. С какой точностью необходимо определить вес пробы, чтобы в 19 случаях из 20 ошибка в определе нии R/M не превышала 3%?