(dfldQ) Q; di* = f* di* = 0,

не могут создать в окрестности упругой области пластиче­ ского течения, поэтому к* = 0; если же f = 1, то должно

быть f < 0, X* > -0, так что рассматриваемый член будет по­ ложительным. Поскольку первое подинтегральное выражение представляет собой определенно положительную квадратич­

Второй экстремальный принцип устанавливает, что из всех статически допустимых полей скоростей изменения напря­

жений действительное поле минимизирует Л?. Как и раньше, легко показать, что

что подинтегральное выражение будет неотрицательным. До­ казательство аналогично предыдущему.

Так же как в теории упругости, эти две теоремы можно

Каждый из этих двух принципов можно использовать для исследования вопроса о единственности решения1). Пред­ положим, например, что существуют два полных решения

сформулированной краевой задачи, и пусть Л' и Л" будут соответствующими скоростями изменения энергии. Так как любое решение минимизирует скорость изменения энергии,

!) Совершенно иной подход к вопросу единственности был предло­ жен Друккером [11.2]. Некоторые другие вопросы единственности рас­ смотрены Хиллом [11.3].

8 Зак. 1254.

то эти две величины должны быть друг другу равны. Сле­ довательно, по аналогии с (11.8) имеем

± f B iJ(fy-Q:)(Q'/ - Q " ) d V + f f ( i ' - \ " ) d V = 0. (11.12>

V V

Поскольку матрице Ви соответствует положительно опре­

деленная квадратичная форма, первый интеграл будет не­ отрицательным, поэтому второй интеграл должен быть не­ положительным. Однако на основании соображений, приве­ денных после вывода (11.8), можно показать, что последнее подинтегральное выражение положительно в области, где первичное состояние было упругим, вторичное — пластиче­ ским, причем в некоторых точках подинтегральное выраже­ ние равно нулю. Следовательно, (11.12) исключает возмож­ ность существования любой такой области. Так как не суще­ ствует предпочтительного выбора первичного и вторичного состояний, то отсюда следует, что упруго-пластическая гра­ ница однозначно определена. Так как второй интеграл

Поскольку упругий закон скоростей изменения напряже­ ний — деформаций является однозначным, скорости дефор­ маций определяются в упругой области также однозначно. Однако в пластической области наличие неизвестного мно­

жителя Я, входящего в закон течения (11.3а), означает, что

заданным скоростям изменения напряжений может соответ­ ствовать более чем одно поле скоростей деформаций. По­ этому вопрос об единственности скоростей деформаций для* идеально-пластического материала следует пока считать от­ крытым.

Для упрочняющего материала результаты будут весьма похожими. Рассмотрим для простоты изотропный материал. Так как мгновенно не имеется существенного различия ме­ жду таким материалом и материалом, упрочняющимся на основе кинематической модели, то результаты будут совер­ шенно одинаковыми. Полный закон течения можно записать в виде

(11.14а)

где

Статически и кинематически допустимые поля опреде­ ляются, как и раньше, с помощью вполне очевидной модифи­ кации выражений (11.4) и (11.5). Выражения для скоростей изменения потенциальной и дополнительной энергий примут вид

и формулировки принципов будут тождественны тем, кото­ рые вытекали из равенств (11.7) и (11.9).

Рассуждая так же, как и раньше, получим

ДЛ = 1 f {BtJ{Q) - Clt) ( p ) - ( } f) + F [ o r r ( f - 2 f ) + af*])dV. v

Следовательно, необходимо доказать, что член в фигурных скобках является неотрицательным. Можно различить че­ тыре случая в зависимости от того, будут ли а и а* равны единице или нулю. Обозначив выражение в скобках через В*, получим

Очевидно, тот же самый результат справедлив для других трех случаев, и доказательство теоремы проводится, как пре­

жде.

Подобным же образом можно показать, что доказатель­ ство второго принципа основано на доказательстве того, что