Г л а в а 4

МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

§10. Введение

Втеории упругости принцип минимума потенциальной энергии и принцип минимума дополнительной энергии играют весьма важную роль. Поэтому естественно, что были сделаны попытки установить подобные принципы и в теории пластич­ ности1). Основная идея экстремальных принципов за­ ключается в том, что с их помощью определяется класс функций, который удовлетворяет некоторым (но не всем) требованиям полного решения. Далее показывается, что не­ которое функциональное выражение, определенное для этого класса функций, является минимальным для тех функций, которые удовлетворяют остальным требованиям полного решения.

Конкретная форма экстремального принципа будет, разу­ меется, зависеть от частного вида соотношений между пере­ менными задачи. Однако для всех принципов некоторые черты являются общими, а остальные — аналогичными. Сле­ довательно (хотя это обстоятельство обычно не подчерки­ вается), минимальные принципы теории упругости в дей­ ствительности являются прототипами большинства принципов, которые будут рассмотрены нами в дальнейшем. По этой причине данную главу, посвященную экстремальным прин­ ципам, мы начнем с изложения хорошо известных экстре­ мальных принципов теории упругости и будем вести

изложение с такой точки зрения, которая позволит перейти, к последующим аналогиям.

Типичная краевая задача теории упругости состоит в за­ дании перемещений на одной части границы и усилий на остальной ее части. В более общей форме эту задачу можно

яйца S D с перемещениями, если в каждом из трех независи­ мых направлений либо заданы компоненты перемещения, либо равны нулю компоненты усилий. Тогда, если обозначить через «1 и иг любые два вектора, удовлетворяющие всем гранич­ ным условиям для перемещений, а через Т — любой вектор, удовлетворяющий граничным условиям для напряжений, то

Хотя эти условия не являются наиболее общими возмож­ ными условиями, в дальнейшем мы будем предполагать, что поверхность S состоит целиком из областей типа Sr> или S T-

Решение задач теории упругости следует выразить через обобщенные напряжения Qt и обобщенные деформации qt,

которые должны удовлетворять определенным условиям. Напряжения Qt должны удовлетворять соответствующим

уравнениям внутреннего равновесия и должны находиться в равновесии с приложенными усилиями Т там, где эти уси­

лия заданы. Любое семейство функций Q9, которое удовле­

творяет этим условиям, назовем «статически допустимым». Далее, во всех точках границы определим вектор-функцию Т° как усилие на границе, соответствующее полю напря­

жений Q°i.

Действительное поле деформаций qi должно определяться на основании вектора смещений и, поэтому если qt даны, то можно определить и. Если и* есть любой вектор переме­

и деформации связаны линейной зависимостью, следова­ тельно, справедливо выражение (1.4).

Так как матрица B tJ однозначно обратима, статически допустимые деформации можно определить следующим образом:

- { Q , W - i , ) “ v =

V

V

следовательно,

ДП = 1 f Bi/(Q*iQ*/ - 2 Q iQ *+Q lQ . )d V =

V

= T / 5 /;(Qt-Qi)(Q;— Qj)dV> 00-8)

V

где последнее равенство следует и-з симметричности ма­

вытекает равенство g * = g t \ следовательно, и* = и с точ­

ностью до движения твердого тела, что и требовалось до­ казать.

Аналогично внутренняя дополнительная энергия, соответ­ ствующая любому статически допустимому состоянию (и от­ несенная к единице объема) выражается следующим образом:

а полная дополнительная энергия имеет вид

Тогда принцип минимума дополнительной энергии устана­ вливает, что среди всех статически допустимых напряжен­ ных состояний Q4 действительное состояние минимизирует П£.

Доказательство аналогично предыдущему, поэтому мы его не приводим.

Наконец, непосредственно из принципа виртуальной ра­ боты следует, что для действительного состояния П + Пе= 0. Поэтому неравенства, отвечающие обоим принципам, можно скомбинировать в неравенство

энергий.

Все выводы этого параграфа формулировались с по­ мощью обобщенных переменных. В любом частном случае выбор переменных может вызвать дополнительные ограни­ чения в отношении определения допустимых полей. Напри­ мер, если материал предполагается все время несжимаемым, то допустимыми будут только поля перемещений, соответ­ ствующие отсутствию сжимаемости. Такое условие может иметь отношение также к вопросу об единственности, рас­ сматриваемому в следующих параграфах. Подробности бу­ дут ясны в каждом конкретном случае.

§11. Экстремальные принципы для скоростей

Впринципах, доказываемых в данном параграфе, рассма­ триваются основные зависимости, связывающие не напряже­ ния и деформации, а скорости изменения напряжений и ско­ рости деформаций. Поэтому начнем с определения поверхно­

сти Sy скоростей посредством равенства

и поверхности скоростей изменения напряжений с помощью зависимости

во всем теле известны перемещения и напряжения, а скоро­ сти изменения напряжений и скорости деформаций заданы на S в соответствии с (11.1) и (11.2). Задача заключается в определении скоростей изменения напряжений и скоростей деформаций всюду внутри объема К, ограниченного поверх­ ностью S.