принципа теории предельного равновесия следует, что ре­ зультирующая кривая текучести есть «верхняя граница» в том смысле, что истинная кривая текучести не может ле­ жать вне ее. Поскольку мы исчерпали все возможные верхние границы, мы получили истинную кривую текучести. Оконча­ тельным доказательством этого положения служит тот факт,

Интересная особенность этой задачи состоит в том, что хотя мы исходили из кусочно-линейной функции текучести, выраженной в напряжениях, полученная функция результи­ рующих напряжений оказывается частично нелинейной. Для применения кусочно-линейной теории следует аппроксимиро­ вать эту кривую. Пунктирные многоугольники на фиг. 23 показывают два пути аппроксимации, которые использова­ лись в литературе. Подробности применений аналогичны тем, которые встречаются в теории пластинок, и мы их здесь не приводим. Читателей, интересующихся этим вопросом, мы отсылаем к литературе, указанной в начале параграфа.

§ 20. Плоская деформация и плоское напряженное состояние

Математическая теория плоской деформации для жест­ кого идеально-пластического тела представляет собой один из старейших разделов теории пластичности. Много сведе­ ний о дифференциальных уравнениях, определяющих теорию, было накоплено до 1930 г. Позднее исследовалось примене­ ние этой теории к решению практических краевых задач. Весьма полное изложение как теории, так и приложений можно найти в [0.3 и 0.4]. Здесь оно не повторяется.

С 1950 г. было опубликовано много дальнейших работ, посвященных приложениям. Без особого труда автор смог составить список, включающий более 70 таких решений; было бы нелепо не только пытаться описать, но даже пере­ числить все эти работы. Поэтому ограничимся весьма крат­ ким обзором тех решений, которые кажутся нам более зна­ чительными.

Единственным направлением развития теории плоской деформации является улучшение методов решения. Среди новых методов можно упомянуть графическое построение, предложенное Прагером [20.1, 20.2], и в некоторой мере ана­ логичный метод годографа, разработанный Грином [20.3].

Уровень развития теории плоского напряженного состоя­ ния примерно тот же, что и для плоской деформации.

Довольно полный обзор двумерных задач, включающий об­ ширную библиографию, опубликован Гейрингер [20.4]. С точки зрения получения решений важным этапом развития теории было использование критерия текучести Треска совместно с ассоциированным законом течения. Многие из решений для плоского напряженного состояния, упомянутые в последую­ щем изложении, были получены на основании этой гипотезы. Задачи, относящиеся к стержням с вырезами, встречаются в современной литературе чаще всего. Ли и другие [20.5, 20.6, 20.7] рассматривали растяжение в условиях плоской деформации. Хилл [20.8], Онат и Прагер [20.9] и Томас [20.10] изучали близкие задачи, связанные с образованием шейки. Грин исследовал изгиб стержней с вырезами [20.11] и изгиб балок как двумерную задачу [20.12]. Гэйдон [20.13], Крэггс [20. 14], Хорн [20. 15], Онат и Шилд [20. 16] также работали в области задач изгиба.

Верхние и нижние границы разрушающих нагрузок в пло­ ских полосах с вырезами были найдены Гэйдоном [20.17, 20.18] и Ходжем [20.19]. Рассматривалось также влияние подкреплений [20.19, 20.20, 20.21].

Все вышеупомянутые работы относились к жестко-пласти­ ческим материалам или к разрушающим нагрузкам для упруго-пластических материалов. Полные решения большей частью относятся к осесимметричным задачам. Кроме много­ численных работ о толстостенных трубах, они включают не­ сколько решений задач о тонких полосах, где учитывается изменение толщины [8.2, 8.3, 20.22].

Задачи об обработке металлов в условиях плоской дефор­ мации были довольно полно исследованы до 1950 г.; в кни­ гах [0.3 и 0.4] можно найти многочисленные примеры задач о выдавливании, протяжке и прокатке. Позднее Ли й Шеф­ фер [20.23, 20.24, 20.25] изучали процесс образования стружки как задачу теории пластичности.

В качестве последнего примера упомянем задачу о вда­ вливании жесткого штампа в полубесконечное пластическое тело. Эта задача явилась одной из первых, для которых было получено решение для скоростей деформаций, но лишь недавно Шилд и Друккер [20.26] получили нижнюю границу для вдавливающей нагрузки путем рассмотрения разрыв­ ного поля напряжений. Эти результаты были распростра­ нены Шилдом [20.27] и Россом [20.28] на случай некоторых

§21. Балки, стержни и брусья

Втечение нескольких последних лет широко развивалась теория предельного равновесия балок и рам. Работы в этой области основывались на предположении, что влиянием пере­ резывающей и осевой сил можно пренебречь; тогда харак­ теристики балки определяются зависимостью между изги­ бающим моментом и кривизной. Последняя зависимость предполагалась аналогичной кривым напряжений — дефор­ маций, показанным на фиг. 1, б, г, е, так что упрочнение не учитывалось. Исчерпывающий обзор работ, проделанных при

указанных допущениях, был дан Саймондсом и Нилом [21. 1]. Хотя с тех пор было опубликовано большое число работ, главные направления развития в этой области можно счи­ тать твердо установленными и в дальнейшем этого вопроса мы здесь касаться не будем.

Отметим, однако, некоторые работы, развивающие дан­ ный раздел теории. Хофф [21.2] исследовал частный случай статически неопределимой балки из упругого линейно упроч­ няющегося материала и показал, что полное решение близко аппроксимируется теорией, используемой при решении за­ дач о предельном равновесии. Многие авторы [20.12, 20.13, 20.14, 20.15, 20.16] исследовали влияние сдвига на условия текучести в балках, рассматривая балку как двумерный кон­ тинуум, находящийся в состоянии плоской деформации или

вплоском напряженном состоянии. Онат и Прагер [21.3] исследовали влияние осевых сил на разрушающую нагрузку

врамах. Тесно связанным с этим последним вопросом ока­ зывается вопрос о разрушающих нагрузках в арках и коль­ цах, где осевые силы должны иметь существенное значение. Статьи на эту тему написаны Хендри [21.4], Онатом и Праге­ ром [21.5] и Хуаном [21.6]. Некоторые упруго-пластические решения для криволинейных балок получили Свида [21.7,

риала, рассмотренные в § 17, были сперва решены для бес­ конечной балки. Первое исследование выполнили Ли и Саймондс [21.13], а Саймондс и другие решили много других динамических задач для балок [21.14, 21.15, 21.16]. Подобные задачи разрабатывали Конрой [21.17], Блейх и Сальвадори [21.18], Паркс [21.19] и Ментел [21.20].

Основы теории кручения упругих идеально пластических стержней хорошо известны. Эта теория весьма полно опи­ сана в книгах [0.3] и [0.4]. Последние достижения в этой •области принадлежат Онату [21.21], изучавшему кручение стержней из упрочняющегося материала, Сезу [21.22], иссле­ довавшему кручение при конечных деформациях, и Хиллу 121.23], распространившему теорию на анизотропные мате­ риалы.

Кроме того, изучались различные комбинации изгиба, кручения и растяжения стержней. В частности, Браш, Сайд-

Статьи о совместном действии растяжения и кручения были написаны Мии [21.27] и Гэйдоном [21.28]. Сочетание изгиба и кручения рассматривалось Хиллом и Зибелем [21.29], Мии [21.30] и Стилом [21.31].

Некоторое внимание привлекли вычислительные задачи, связанные с исследованием пластического поведения слож­ ных рам. Фолке [21.32] привел задачу о минимальном весе конструкции к задаче линейного программирования. Крон

Комбинированные изгиб и кручение тонкостенных труб исследовались Хиллом и Зибелем [22.1, 22.2] и Онатом и Шилдом [22.3]. Задача о толстостенной трубе под совместным действием растяжения и кручения рассматривалась Кросслендом и Хиллом [22.4]. Кристоферсон и Хиггинсон [22.5] изучали толстостенный цилиндр под давлением для случая, когда длина цилиндра очень мала.

Общий класс осесимметричных задач представляет зна­ чительный интерес благодаря многообразию приложений. Теоретические статьи в этой области были написаны Саймондсом [22.6] и Юнгом [22.7]. Одной из наиболее существен­ ных теоретических работ является статья Шилда [22.8], исследовавшего осесимметричную задачу с использованием критерия текучести Треска.

Томсен и другие [22.9—22.12] выполнили ценную экспери­ ментальную и теоретическую работу по выдавливанию ци­

линдрических заготовок. Шилд [22.13] нашел решение теоретической задачи, весьма близко аппроксимирующей про­ цесс волочения проволоки. Задача о протяжке труб исследо­ валась Свифтом [22.14]. Глубокая вытяжка металлических чашек послужила темой статей Хилла [22. 15], Чуна и Свифта [22.16] и Ямада [22.17]. Хилл [22.18], Росс и Прагер [22.19] и Вейл и Ньюмарк [22.20] рассмотрели раздувание металлической диафрагмы.