дислокации в анизотропной однородной среде, обобщив ста­ тические теоремы Вейнгартена — Вольтерра.

§ 11. Диффракция. Распространение возмущений

Вторая группа работ по двумерному волновому движению посвящена диффракции пакета плоских волн или диффракции импульсов относительно полубесконечной щели со свобод­ ными или фиксированными границами. Эта задача пред­ ставляет собой в теории упругости аналог хорошо известной задачи Зоммерфельда о диффракции плоских электромагнит­ ных волн относительно полубесконечного экрана. Успешно применить метод Зоммерфельда к задаче теории упругости (где приходится иметь дело не с одним, а с двумя краевыми условиями), по-видимому, нельзя. Для решения задач о диф­ фракции электромагнитных волн относительно экрана при­ меняются и другие методы; ссылки на них и замечания по поводу возможности их применения к задачам теории упру­ гости можно найти в статье Мауэ [1]. Метод, использованный ранее для электромагнитных задач (суперпозиция плоских волн во всех направлениях), был использован также Заутером [1] для нахождения решения об упругом полупростран­ стве с поверхностной нагрузкой, распределение которой за­ дано во времени и в пространстве (задача Лэмба в двух измерениях). Иные методы были предложены Мауэ в более поздней публикации [2], а также группой русских исследова­ телей. Мы рассмотрим теперь эти работы более подробно и

В момент t = 0 в отрицательном направлении оси х мгно­ венно производится полубесконечный прямолинейный надрез, так что при t > 0 границы надреза свободны. Отправным пунктом служат соображения подобия, которые можно не­ строго сформулировать следующим образом: «Так как за­ дача не содержит характерной длины, распределение напря­ жений в пространстве будет тем же самым во все последую­ щие моменты времени, если считать единицу длины пропор­ циональной Ь.

Существует класс диффракционных задач, определяемый волновым уравнением в двух измерениях и не имеющий характерной длины. К нему относятся задачи о полубесконечных разрезе, экране или преграде, на которых напряжения, смещения, скорости или другие величины становятся рав­ ными нулю скачком, подобно падающей волне, имеющей форму ступенчатой функции и0Н(%), где

#(£) = ! при £ > 0 и //(£) = 0 при £ < 0.

Направление падения Ох' образует угол а с направле­ нием надреза, так что £ = * '— at, где а — скорость распро­ странения. Последующие состояния определяются функцией и(х, Уу t), где a2V2u = d2uldt2, причем и должна иметь ту же природу, что и и0 (если и0 есть скорость, то и будет состав­ ляющей скорости). Решение для и должно представлять со­ бой зависимость между семью величинами:

и, и0у г, 0, ty ау а,

где г и б — полярные координаты с полюсом в конце надреза. Если и и и0 можно определить как скорости, то эти семь ве­ личин требуют для своего определения двух основных еди­ ниц измерения — единиц длины и времени. Следовательно, должно существовать пять независимых безразмерных групп величин, так что решение должно иметь вид

Так как задача линейна, то и должно быть пропорционально и0 и аргумент и0/а следует исключить. Тогда

Переменная % будет действительной при r>at и мнимой при r<at. Именно эту форму решения дал Мауэ. В случае упругой задачи имеются две функции <р и ф, удовлетворяю­ щие уравнениям a2V2cp — d2cpjdt2 и 62У2ф — d2tyfdt2. Ка­ ждая из них, следовательно, может иметь вид (52). Связь между функциями 9 и ф устанавливается из граничных усло­ вий на надрезе, что приводит задачу к функциональным уравнениям. Удовлетворяя этим условиям, Мауэ пришел к интегральным уравнениям в одной комплексной области для определения части решения, зависящей от 9, и в другой ком­ плексной области — для части решения, зависящей от ф.

Существо задачи, разумеется, состоит во внезапном унич­ тожении начальных растягивающих напряжений вдоль над­ реза. Если это происходит при наличии падающей волны на­ пряжений, то получается решение для диффракции такой волны относительно надреза. Очевидно, что волна должна перемещаться в направлении оси у, ортогональном надрезу, поэтому напряжения должны уничтожаться вдоль всего над­ реза одновременно. Случай, когда угол падения произволен, рассматривался Фридманом [3].

Несколько русских исследователей привели диффракционные и некоторые другие волновые задачи к легко разреши­ мой задаче Гильберта (см. выше, § 5) в двух вспомогатель­ ных комплексных плоскостях. Отправным пунктом здесь слу­ жит решение двумерного волнового уравнения a2V29 — d2yldt2

Это решение, описанное Смирновым и Соболевым [1], по существу совпадает с решением (52), найденным Мауэ. Если

в (52) взять функции /(0+х). ёГ(б — х) в виде F[cos (0±х)], то аргумент cos (0±х) можно отождествить с в в формуле (53). Мы имеем

cos (0 ± х) = cos 0 cos х + sin 0 sin x =

< 5 4 >

Если возвести в квадрат радикал, входящий в равенство (53), и разрешить получающееся квадратное уравнение от­ носительно 0, получится точно правая часть формулы (54).

Один из исследователей этой группы, Фридман [2, 3], рас­ сматривал падающую волну ступенчатой формы, движу­ щуюся со скоростью а (в случае продольной волны) или Ь

{в случае поперечной волны) в произвольном направлении в плоскости ху. В случае продольной волны составляющие смещений будут равны

и= — cH{t — сх -+- У а~2— с2 • у),

v~ У а - 2— с2 • H{t — с х - \-У а ~2— с2 - у),

сящей от двух функций 01, 02 того же вида, что и входя­

других функций. Использование условий на надрезе, яв­ ляющихся разрывными при переходе от одной границы к дру­ гой, приводит к двум задачам Гильберта, по одной для каж­ дой из функций. В обоих случаях линией разрыва служит часток — 6-1< £ < —агх действительной оси в плоскости 0

Усогласно уравнению (55) на оси х физической плоскости имеем 01 = 02 = —J , в соответствии с чем результаты выра­

жаются посредством интегралов Коши, взятых по этому уча­ стку. Решаются две задачи: (а) в работе Фридмана [2] обе границы надреза полностью фиксированы, (б) в работе

Фридмана [3] обе границы свободны. Для второй задачи,, когда фронт волны ортогонален, а направление ее распро­

прикладывается, мгновенная импульсивная касательная на­ грузка. Во всех других точках границы касательные напря­ жения хху все время равны нулю. Положительная половина границы свободна также от нормальной нагрузки оу, но вдоль отрицательной половины границы не допускаются нор­

внезапно сообщаемой радиальной скорости) в круговой по­ лости в бесконечной среде *) была исследована посредством двойного преобразования Лапласа. Кромм [1] привел ее к интегральному уравнению и путем численного решения по­ лучил ряд графиков. В дальнейшем оказалось*2), что соответ­ ствующая задача о кручении, когда к поверхности полости прикладываются не нормальные, а касательные усилия (или' сообщается касательная, а не нормальная скорость), совер­ шенно аналогична описанной задаче (как и в статическом случае) и решается аналогичным образом. Случай нормаль­ ных усилий был исследован независимо и более простым пу­ тем Селбергом [1]. Его статья содержит также решение за­ дачи о внезапном увеличении давления в сферической по­ лости 3) .

В задачах о давлении мы имеем дело лишь с одной ско­ ростью распространения волн, так как ясно, что движение является безвихревым и можно использовать простейшую сетку характеристик. Метод конечных разностей дает воз­ можность с помощью этой сетки получить подробное реше­