в данном случае первоначальная гипотеза для профиля на­ пряжений несправедлива и тип профиля должен быть вы­ бран таким, как в § 16. Подробности расчета оказываются несколько более сложными и здесь не приводятся. Аналогич­ ная задача рассматривалась в [17.1].

§ 18. Приложение принципа минимума потенциальной энергии

Экстремальные принципы, описанные в гл. 4, предста­ вляют собой потенциально мощные средства для решения задач теории пластичности. Однако из этих принципов в при­ ложениях использовались только теоремы предельного рав­ новесия. Единственным известным автору приложением прин­ ципов для скоростей является принадлежащее Юнгу [18.1] решение задачи о толстостенной трубе. Автор не знает ни­ каких публикаций, посвященных приложению конечных принципов (которые доказаны в § 12), за исключением рас­ смотренных им задач о цилиндрической оболочке (см. [6.1], [9.2] и [18.2]). Несмотря на малое число приложений, пред­ ставляется целесообразным рассмотрение простого примера, иллюстрирующего некоторые характерные особенности за­ дач, которые не встречаются в теории упругости.

Итак, рассмотрим пластинку, изготовленную из жесткого линейно упрочняющегося материала с изотропным упрочне­ нием. Зададим функцию перемещений в виде

при котором удовлетворяются граничные условия, наложен­ ные на перемещения. Постоянные А и В должны быть опре­ делены таким образом, чтобы они минимизировали потен­ циальную энергию (12.7).

Прежде всего нужно решить, каким пластическим режи­ мом следует воспользоваться. Имея в виду (14.36), получим следующие выражения для обобщенных деформаций, соот­

Так как направление вектора, соответствующего зависимо­ стям (18.2), является функцией переменной g, то в пластинке не будет конечной области, для которой вектор имеет по­ стоянное направление; следовательно, ни одна из сторон

рамки текучести не будет применимой. В качестве первой гипотезы предположим, что q1 и q2 положительны во всех точках пластинки, так что корректным режимом окажется угол В (см. фиг. 13). Для В функция текучести f опреде­ ляется функцией

где последнее выражение получено из закона напряжений — деформаций (19.11 в) для изотропного упрочнения. Оконча­ тельно подстановка (18.2) в (18.3) даст

При доказательстве (12.7) для потенциальной энергии было сделано допущение о том, что плотность энергии равна Q-fli, в то время как при данном выборе переменных она

(14.3), получим, что потенциальная энергия пропорциональна

( 1

П “ */ [(4Л+165^2+ 1 ) 2— l]6fl№-

Если А И В вычисляются обычным способом из условий дИ/дА = дП/дВ = 0, то в результате найдем

Подставив, однако, эти значения обратно в (18.2), для деформаций получим

<h"= w (6Р — 4 ~ 9Р?У' ъ = - & ( 6 Р - 4 ~ ЗР<2)- (18-8)

Предшествующие результаты были получены на основа­ нии гипотезы о том, что как qi9 так и q2 неотрицательны

всюду в пластинке, однако из (18.8) следует, что в действи­ тельности <7i<0 вблизи | = 1 . Таким образом, мы не полу­ чили должного минимума потенциальной энергии, и наше решение лишено смысла. Это затруднение можно преодо­ леть двумя способами. С одной стороны, можно было бы

/ — точное решение; 2 — приближенное решен

принять другую гипотезу. Например, можно предположить, что <72 положительно, но qx отрицательно для 0 •< | < у и по­ ложительно для у < £ < ! 1. В этом случае у определяется из условия, что <7i (у) = 0.

Мы в данном случае изберем другой путь. Определим одну из постоянных так, чтобы соблюдалось условие qx>> 0.

Таким образом, мы потребуем, чтобы

ИЛИ

Следовательно, (18.6) должно быть заменено зависимостью

Далее, так как деформации заданы теперь зависимостями

то очевидно, что оба выражения будут положительны, если

Наконец, для перемещений находим

На фиг. 21 представлены перемещения в центре пластинки как функции нагрузки Р. Приближенные значения, вычислен­ ные из (18.15), сопоставлены здесь с точными значениями, найденными в § 16; совпадение оказывается достаточно близким.

вытекает из первого принципа теории предельного равнове­ сия, так как мы в действительности построили только стати­ чески допустимое поле напряжений и, следовательно, определили нижнюю границу. Однако для этого простого примера ясно, что мы исчерпали все возможные нижние границы и, таким образом, получили истинное условие теку­ чести.

Другой метод получения кривой на фиг. 23 заключается в исследовании в первую очередь допустимых направлений вектора скорости деформаций, причем деформации считаются полностью пластическими. Если скорости деформаций за­ даны, то напряжения, по крайней мере частично, опреде­

ляются из закона течения. Например, если в пространстве e v,

е9 вектор скорости деформаций направлен к любой точке, расположенной внутри первого квадранта, то точка напря­ жений должна быть в углу oi = 02 = У кривой текучести. Однако если вектор скорости деформации направлен вдоль

Таким образом, закон течения можно рассматривать как отображение пространства скоростей деформаций на кривую текучести, как показано на фиг. 24.

Скорости деформации в любой точке сечения оболочки

где ех е,2 и к х— соответственно удлинения и кривизна сре­ динной поверхности. Отсюда следует, что если скорости деформаций в срединной поверхности представлены точ­ кой Р на фиг. 24, то деформации по поперечному сечению

будут изображаться параллельным оси отрезком, длина

которого 21гкх, центр расположен в точке Р. Для той точкиР, которая показана на фиг. 24, получаем, что напряжения во

что требование Nx = 0 ограничивает положение точки ско­ рости деформации для срединной поверхности пунктирной линией KL на фиг. 24.

Как видно из фиг. 24, можно различать пять случаев, соответствующих различному расположению отрезков RaT^ Отрезок R\T{ означает, что по сечению имеем ах = 0, о?= У,