§ 9. Трехмерные контактные задачи

с ньютоновым потенциалом простого слоя, плотность которого пропорциональна р(х,у). Таким образом,

Составляющие по оси z перемещений у поверхности будут равны

На этом основана теория контакта гладких упругих тел Герца1). В точке контакта О поверхности имеют вначале ненулевую кривизну, и в окрестности этой точки каждая из

динат в точке О. Эта теория нашла обширные приложения как в ее статической форме, так и в псевдостатической теории удара, которую из нее вывел Герц. Использование теории Герца позволило предсказать поведение среды, со­ стоящей из плотно упакованных сфер, и выявить существен­ ные и интересные эффекты трения. В недавних работах Миндлина и его сотрудников производится учет трения в задачах о двух сферах, подвергнутых действию поперечных сил и закручивающих моментов. Полный обзор этих работ, библиографию и обнадеживающие данные экспериментов можно найти в работе Миндлина [1]. Оказалось, что круговая площадка контакта делится на две области. Во внешней кольцевой области имеет место скольжение, тогда как во внутренней области существует сцепление с трением.

!) См., например, гл. 8 книги Лява «Математическая теория упруго­ сти», ОНТИ, 1935.

В русских публикациях, начиная с 1935 г., преобладающее внимание уделялось проблеме вдавливания без трения жест­ кого штампа (чем задаются вертикальные смещения под штампом) в плоскую поверхность полубесконечного тела; остальная часть поверхности тела остается свободной. Этой

грального уравнения (45). Если рассматривать Й как тонкий слой, вне которого пространство является пустым, то непре­ рывность требует, чтобы при приближении к поверхности этого слоя сверху или снизу потенциал <pi принимал одни и те же значения, например f(x, у), определяемые формой штампа. Таким образом, мы имеем задачу Дирихле для пространства, расположенного вне тонкого слоя формы й. Условие (44) удовлетворяется по симметрии. Решения, дан­ ные Галиным и полученные главным образом на основании его собственных работ, относятся к областям й, имеющим вид круга, эллипса и бесконечного клина. Функция f(x ,y ), определяющая смещения w внутри й (т. е. форма поверх­ ности основания жесткого штампа), предполагается сначала произвольной.

Когда й представляет собой круг, искомый потенциал определяется при помощи формулы Гобсона [1] в сферои­ дальных координатах. В полярных координатах р, б выраже­ ния для силы Р, вызывающей в плоскости z = 0 заданные

в 1946 г., представляет собой обобщение решения Буссинеска, соответствующего частному случаю /(р, 6) = const и опубликованного в «Application des potentiels» (1885).

Распределение давления под штампом находится с по­ мощью введения функции Грина, которая обращается в нуль на внешности кругового диска и ведет себя как 1/г в окрест-

]) Содержание первой половины этой книги, относящееся к двумер­ ным задачам, освещено выше в § 5.

ности точки, расположенной на диске. Использованная Гали­ ным функция Грина была получена Кочиным‘) (1941) на основании опубликованных ранее более сложных результатов Зоммерфельда. Для функции /(р, 0) общего вида давление определить не удалось. Для случая осевой симметрии оно определяется в виде

где Д — оператор Лапласа по ри т. е. Д = д2/др1~{-р-1д[др1.

Ядро Я выражается формулой 2те

#(Р> Pi) = 4 / Pi(p2 — 2Picos0i-l-Pi)_,/3arctgX

рованной выше книге «Преобразования Фурье», где приво­ дится решение Хардинга и Снеддона [1], найденное посред­ ством преобразования Ганкеля. Другую форму решения можно найти на стр. 172 книги Грина и Церна [1].

Частный случай /(р) = Лрх был рассмотрен ранее Штаерманом и Лурье, причем решение выражается через гаммафункции от X. Галиным [1] найдена зависимость между силой и перемещением, причем на фиг. 40 его книги дан соответ­ ствующий график для 1 < %< 4.

Приведенные выше результаты относятся в первую оче­ редь к случаю, когда смещения задаются посредством глад­ кой функции f(x,y) или /(р) и требуется определить радиус а круговой площадки контакта по заданной силе Р. Если положить функцию /(р) равной константе с, то эти резуль­ таты переходят в хорошо известное решение Буссинеска для кругового штампа с плоским основанием.

•) См. книгу Галина [1].

Если неплоский круговой штамп вдавливается с силой, достаточной для того, чтобы был осуществлен контакт по всей площади основания штампа, то дальнейшее увеличение силы будет соответствовать простому наложению решения Буссинеска.

Поверхность z = 0 полубесконечного тела предполагается свободной от нагрузки, за исключением площадки, на кото­ рую давит штамп. Если вне штампа имеется пригрузка, то давление под штампом изменится. Галин нашел, что для плоского кругового штампа, находящегося под действием силы Р, при наличии сосредоточенной нормальной силы Q, приложенной на поверхности 2 = 0 в точке х = /, у = 0, давление под штампом будет равно

Так как основание штампа остается параллельным плоско­ сти z = 0, то положение силы Р не будет фиксировано.

Учет сил трения для осесимметричных контактных задач (Галин [1]) произведен лишь для случая стационарного вра­ щения штампа. По всей круговой площадке контакта в окружном направлении действуют предельные силы трения, но коэффициент трения считается функцией F(сор) скорости вращения сор.

Исследование этой задачи упрощается ввиду того, что решение не зависит от 0 (при цилиндрической системе коор­ динат р, 0, 2). Если принять это во внимание, то уравнения линейной теории упругости, выраженные в смещениях (уравнения Ламе), разобьются на две независимые группы

от нуля, т. е. имеем осевую симметрию без кручения. Сюда относятся задачи о штампах без трения. Во вторую группу (только одно уравнение) входит лишь щ, а ир и иг полагаются

равными нулю. Отсюда следует, что ар= oQ= oz= Tp2 = 0. Отличны от нуля Тро и т20, чего достаточно для задач

о полубесконечном теле с кольцевыми касательными напря­ жениями 'г*-), приложенными на поверхности z = 0 (а также для предложенной Мичеллом теории кручения тел враще­ ния). Действие сил трения, возникающих под вращающимся штампом, относится к задачам этого рода; другими приме­ рами служит кручение сжатых сфер при наличии трения

4 Зак. 1254.

смещения f(x,y) под штампом, имеющим произвольную форму в плане, можно найти из асимптотических выражений на бесконечности для гармонической функции <р(лг, у, г) и ее производных д<р/ду, ду/дх в плоскостях у = 0, х = 0 соответ­ ственно. Выражая функции ср через функции Ламе Е™, F™

(см. цитированную выше книгу Уитеккера и Ватсона, гл. 23),

имеем

оо 2л+1

9 (*. * *) = ? > , S р )= 2 2 A„mE ^ ) E ^ ) F mn{р).

п= 0 тп =О

Определение асимптотических значений функции <р сво­ дится к нахождению коэффициентов А0, A it А2 в разложении

где предполагается, что значения 5 = (х2 + у2 + z2) 1/а велики. Искомые коэффициенты определяются на основании свойств ортогональности функций Ламе, что приводит к. следующим результатам. Для силы Р, приложенной к эллиптическому штампу, имеем

е

Здесь о — коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, е —

внутренняя область эллипса + р = Ь ЧГоО) = ^ (у > —

полный эллиптический интеграл первого рода [b2 = а2(1 — в2)]. Равенство (47) для круглого штампа представляет собой частный случай формул (49). Для моментов, действующих на эллиптический штамп, имеем *)

a F4 Е и П — полные эллиптические интегралы первого, вто­ рого и третьего рода.

Задачу о штампе произвольной формы в плане без трения

развили далее Моссаковский [2] и Галин [1]. Последний дал верхнюю и нижнюю оценки для силы Р, приложенной к пло­ скому штампу, который под ее действием перемещается на заданную величину, оставаясь параллельным недеформированной поверхности. Для получения верхней оценки действи­ тельная область контакта Q в плоскости z = 0 заменяется описанным вокруг нее эллипсом, который ориентирован так,, что имеет наименьшую площадь. Далее используется фор­ мула (49). Для получения нижней оценки использована неравенство, полученное из соображений симметризации Пойа и Сеге1). Задача о штампе без трения эквивалентна некоторой электростатической задаче [см. формулу (45)], причем если штамп имеет плоское основание и сохраняет горизонтальное положение, то отношение Р/д — отношение силы, действующей на штамп, к величине перемещения штампа — представляет аналогию с емкостью Q тонкого диска. Симметризованное неравенство показывает, что ем­ кость плоского кругового диска (как предельной формы для сплошного эллипсоида вращения) будет меньше, чем емкость любого другого диска равновеликой площади. В соответствии с этим Галин получает нижнюю оценку для силы, действую­ щей на штамп, принимая площадь основания плоского круг­ лого штампа равной площади основания заданного штампа £2. В случае штампа квадратной формы в плане (сторона квад­

Галиным (1947) было построено также решение для

штампа без трения с плоским основанием клинообразной формы в плане, занимающим в плоскости z =0 область а < 0 < а, бесконечную в радиальном направлении. Это ре­

1) Апгег. /. Math., 67. 1945, 1—32.

жение). Задачи были посвящены исследованию интерферен­ ции плоских волн (Зволинский [1]), а также движения, вы­ званного действием в среде сосредоточенного импульсивного возмущения (Зволинский [1, 2]).

По-видимому, не представляет труда решить задачу Снеддона в случае, когда вместо движущейся нагрузки за­ дано движущееся по поверхности смещение. Однако смешан­ ная задача не поддается решению элементарными методами. Она рассматривалась Галиным (1943) и включена в его книгу (Галин [1]). Смешанные краевые условия удовлетво­ ряются при (дозвуковом) движении подвижного жесткого штампа заданной формы у = /(х), вдавливаемого нормаль­ ной силой Р в границу полуплоскости при учете кулоновых сил трения. Решение найдено тем же путем, что и решение задачи Римана — Гильберта, о которой упоминалось в § 5 в связи с задачей о неподвижном штампе. В качестве при­

и m = V/b. Здесь ц — коэффициент трения.

При сверхзвуковом обтекании конуса упругой средой воз­ никают два конуса Маха, соответствующие двум основным скоростям распространения а и Ь. Решения для конуса и для клина даны Кусукава [1].

Теория движущихся в упругой среде источников возму­ щений представляет в настоящее время интерес для иссле­ дования дислокаций в кристаллах. Изложение этого вопроса и библиографию можно найти в статьях Мотта [1] и Набарро [1]. Эшелби [1] исследовал действие силы на особен­ ности в упругом поле напряжений, связанное с возможностью уменьшения потенциальной энергии при смещении особен­ ностей1). Саенц (1] рассмотрел равномерное движение)*