тально подтверждено Гудьером и Су [1] в виде результата, •непосредственно вытекающего из интегрирования уравне­ ний для перемещений. Если одна тонкая пластинка перекры­ вает другую и прикрепляется к ней посредством некоторой площадки контакта и если коэффициенты Пуассона обеих пластинок одинаковы, то передача силы от одной пластинки к другой будет происходить полностью по линии, ограничи­ вающей площадку контакта. При этом предполагается, что имеет место плоское напряженное состояние и что пластинка является идеально тонкой. Очевидно, что вдоль линии, по ко­ торой передается нагрузка, нет местной концентрации на­ пряжений. Отсюда ясно, что в исследованиях, посвященных передаче усилия пластинке прикрепленным к ней (в ее пло­ скости) стержнем (к ним относится недавняя 1) работа Койтера [1]), недопустимо пользоваться теми формами решения, которые исключают наличие сосредоточенных сил.

§ 5. Задачи со смешанными краевыми условиями. Третья основная задача в двух измерениях

В то время как в ранних статьях Мусхелишвили путем элегантного применения теории функций комплексного пе­ ременного систематически изучены первая и вторая основные задачи (для должным образом преобразуемых областей), в его позднейших исследованиях анализируются смешанные краевые условия, т. е. третья основная задача, что суще­ ственно расширяет класс новых решений. Развитие подобных исследований, по-видимому, имело место только в СССР.

К счастью, эти исследования нашли отражение в переведен­ ной книге Мусхелишвили [1]. Математической основой этих работ являются комплексные сингулярные интегральные уравнения; теория этих уравнений и некоторые их приложе­ ния в других разделах прикладной математики излагаются в другой книге Мусхелишвили [2], также переведенной Ра­ доном.

Метод можно вкратце пояснить на следующем примере: на п определенных участках граничной окружности круго­ вого диска (обозначенных суммарно через U) заданы сме­ щения, а расположенные между ними участки (обозначен­ ные суммарно через V') свободны от нагрузки (см. книгу Мусхелишвили [1]). Метод не ограничивается рассмотрением

1)Ссылки на предшествующие работы можно найти в статье Гудьера

иСу [1].

случая окружности: области, которые могут быть отобра­ жены на круг посредством рациональных функций, рассмот­ рены в гл. 21 книги Мусхелишвили [1].

Формулы (1) — (3) для напряжений и смещений, выра­ женных через два комплексных потенциала 9(2), ф(г), легкополучаются для криволинейных координат, отвечающих преобразованию z = со(£). Для нужного нам частного случая полярных координат (z=re'°) эти формулы примут вид [при обозначениях Ф(г) =ф' ( 2), Ч^г) = ф'(г)]

Для смещений сохраняются составляющие в прямоугольных координатах и, v, и мы имеем

Условия на граничной окружности z= t= e iH будут следую­ щими:

Верхний индекс + обозначает пределы, когда z стремится к граничной точке t со стороны S +, т. е. изнутри круга.

Метод заключается прежде всего в удовлетворении усло­ вия (18) посредством аналитического продолжения Ф(г) че­ рез L" в область S- , внешнюю к кругу. Тогда 4f(z) можно определить из Ф(г), а сама функция Ф(г) находится из ус­ ловия (19).

Функции Ф(г) соответствует другая функция Ф (г)=Ф (г). причем чертой обозначаются комплексно сопряженные вели­

из разложения функции Ф(г) заменой коэффициентов на со­

Рассмотрение правой части выражения (20) показывает, что функция Ф(г) определена и голоморфна в S~, так как

когда г располагается в 5~ величина— представляет собой точку в S+.

С другой стороны, когда z находится в S +, убудет точ­

кой в 5 - и ее можно использовать в (20). Следовательно,

Это определяет для значений г в S+ функцию ЧГ(г) [а по­ тому и сопряженную ей функцию ^ (г)] через Ф(г), и Ф'(г), продолженных посредством (20). Теперь можно выразить формулы (1) — (4) через функцию Ф(г), определенную на всей плоскости, за исключением круга.

В равенстве (16) можно заменить ет на — и всюду

Z

взять сопряженные величины. Это дает

°г+ frri = ф(г)+ Ф(*) — 2 - ф'(z) — WO?),

и после использования выражения (21) для исключения гф'(г)

Это преобразование позволяет легко использовать граничные условия (18). Когда z (в S+) стремится к точке t на гранич­

мится к нулю. В пределе последний член в (22) исчезает. Функция Ф(г) имеет некоторый предел Ф+(0 при подходе

из S +, а ф(-=-)— некоторый предел Ф ”(/) при подходе из

S~ поэтому из (22) имеем

Следовательно, функция Ф(г), продолженная согласно (20), сохраняет непрерывность при переходе через L" и будет

доказательства в книге Мусхелишвили [1], а также в книге* Грина и Церна [1], где авторы широко применяют задачу Гиль­ берта в двумерной теории. В качестве дополнения к этим книгам читателям рекомендуется обратиться к монографии. Мусхелишвили [2].

Решение задачи Гильберта, представленное равенством (27), и вместе с тем решение краевой задачи (18) и (19) со смешанными условиями для кругового диска имеет сле­ дующий вид (Мусхелишвили [1], гл. 18):

или рациональную функцию. В его книге «Некоторые основ­ ные задачи математической теории упругости» содержится (и упоминается) большое число решений смешанных задач для диска, кругового отверстия, эллиптического отверстия, полубесконечной пластинки (или полуплоскости при плоской деформации), в край которой вдавливается жесткий штамп *) (с учетом и без учета сцепления и трения), для нескольких подобных штампов, отдельных или связанных, для бесконеч­ ной пластинки с круговым вырезом, для некоторых случаев впрессовывания (с предварительным натягом) гладкого жест­ кого диска в отверстие, вырезанное в бесконечной упругой

где Е и F — эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, а — половина длины щели, |3 — угол между направлениями щели и давления р. После нахождения а нор­ мальное контактное давление (при отсутствии трения) опре­ делится формулой

дачи» охватывает как задачи о вдавливании жестких штам­ пов, где граница контактной зоны и форма слабо искривлен­ ной повеохности штампа задаются заранее, так и задачу Герца о местном контакте двух упругих тел, где зону кон­ такта надо определить. Из соображений гладкости Герц счи­ тал, что в окрестности зоны контакта недеформированные границы достаточно точно представляются (в общем трех­ мерном случае) уравнением z= ax2 + by2 (х и у расположены в касательной плоскости). Советские авторы идут дальше этого предположения как в двумерных, так и в трехмерных

на значительном протяжении близки друг к другу до кон­ такта или когда они даже локально не являются по­ верхностями второго порядка. Учитывая доступность пере­ вода Радока, нет нужды приводить здесь все разнообразные решения, данные в книге Мусхелишвили. Не переведены на английский язык две книги под названием «Контактные за­

лее поздней и более широкой работой; ее содержание не пе­ рекрывается содержанием книги Мусхелишвили и будет из­ ложено здесь.

Половина книги Галина посвящена плоской задаче (часть, относящаяся к трехмерной задаче, будет нами рас­ сматриваться в § 10). В нее включены подробные результаты для плоского жесткого штампа, находящегося под действием нормальной силы и момента (в одной и той же плоскости) и вдавливаемого в границу упругой полуплоскости. Момент вызывает наклон штампа в мере, достаточной для отделения деформированной границы от штампа у верхней части зоны контакта, поэтому длина участка контакта подлежит опреде­

Ссылки на работы, опубликованные на английском и не­ мецком языках, приведены Хорви [1], который для удобства вычислений развил вариационные методы в вещественных переменных1). Аналогичные собственные функции для бес­ конечных клиновидных областей применялись Вильямсом [1] при исследовании особенностей в вершинах таких областей в случае однородных граничных условий по двум граничным линиям.

Русские работы, по-видимому, начинаются с вышедшей в 1939 г. книги П. Ф. Папковича «Теория упругости»2). Китовер ш дает систематический перечень функций и их ха­ рактеристических уравнений [типа приведенного выше урав­ нения (32)] для полос, клиновидных областей и областей, ограниченных радиусами и концентрическими дугами, как для плоского напряженного состояния, так и для изгиба пла­ стинок. Перечень простирается дальше, включая собственные решения для осесимметричного состояния в круговых ци­ линдрах из работы Прокопова [1].

Наиболее общий вид характеристического уравнения та­ ков:

Щ “t“ U\ sin Z -f- U2 COS Z = 0,

где и0, ии и2— полиномы от z соответственно степени 0, 1, 2; корни этого уравнения определяются посредством процесса, который рассматривался только в русских статьях. Напри­ мер, для уравнения sin z= az и z= p + iq введение переменной

приводит к уравнению

которое позволяет найти значение q. Применение собствен­ ных функций иллюстрируется на примере сектора круга, за­ щемленного по криволинейной кромке и нагруженного моментом (в плоскости сектора), приложенным к вершине. Прокопов [2], кроме того, дал решение для прямоугольной пла­ стинки, защемленной по двум противоположным кромкам и

1)Приложение к задачам о температурных напряжениях выполнено Хорви [2] и Борном и Хорви [1].

2)Пространственные однородные решения для слоя (1942) и полой сферы (1943) были получены А. И. Лурье. Более подробные сведения об однородных решениях можно найти в книге А. И. Лурье «Пространствен­ ные задачи теории упругости», ГИТТЛ, М., 1955. — Прим. ред.

несущей сосредоточенную нормальную нагрузку (в плоскости пластинки) на одной из остальных кромок. Лурье [3] дал таблицы и кривые для семейства собственных решений для кругового цилиндра при осесимметричной деформации в связи с задачей о полосе опоясывающего давления на боко­ вой поверхности цилиндра. Последняя задача иным спосо­ бом была рассмотрена Бартоном и Рэнкином1), а задача для полого цилиндра — Шапиро [1].

§7. Анизотропная упругость

Втечение последних 25 лет в Советском Союзе происхо­ дило широкое развитие теории упругости анизотропных ма­ териалов, особенно в работах С. Г. Лехницкого [1, 2], кото­ рые подробно освещены в двух его книгах «Анизотропные пластинки»2) и «Теория упругости анизотропных тел». Эти книги дополняет обширный обзор Фридмана [1], включающий русскую библиографию с 88 названиями. В книгу Савина [1J включена глава, посвященная эллиптическим (и круговым) отверстиям в анизотропных пластинках; в этой главе даются полные решения первой и второй основных задач, ряд число­ вых результатов и кривые. Эта глава также дополняет ра­ боты Лехницкого в данной области.

Почти параллельно, но позднее теория анизотропной упругости развивалась в Англии в работах Грина и Тейлора; эти исследования были продолжены Грином. Ссылки можно найти в книге Грина и Церна [1]. Глава под названием «Плоская задача для аллотропных тел» является существен­ ным вкладом в данную область. В ней отражено современ­ ное направление исследования основных задач двумерной теории, заключающееся в сочетании комплексного представ­ ления с задачей Гильберта (см. выше § 5).

Комплексное представление возникает из функции напря­ жений Эри U(x, у ), которая должна удовлетворять условиям совместности и анизотропным зависимостям между напря­ жениями и деформациями, что сводится к требованию удов­ летворения линейного дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Для коэффициентов, соответствующих

стинок содержатся в книге С. Г. Лехницкого «Теория изгиба упругих анизотропных пластинок». ГИТТЛ, М., 1957. — Прим. ред.

изотропной среде, это уравнение приводится к бигармониче-

В соответствии с этими результатами теория получает естественное развитие в двух вспомогательных плоскостях двух комплексных переменных

для вещественной функции £/ мы получим

U (х, у) = F fa ) + F2(z2) + Fl(zi) + F2(Z2).

Упругие постоянные pi, p2, <7i, p2 представляют собой комби­ нации упругих постоянных an, ai2 и т. д. (входящих в зави­

Лехницкого [2] общее решение для полуплоскости с заданной нагрузкой получено посредством известного метода Мусхелишвили.

Савин применил специальный метод (1939) для задачи об эллиптическом отверстии в бесконечной пластинке, решенной иным методом Лехницким в 1936 г. Подробные резуль­ таты, приведенные Савиным [1], даны для эллиптического отверстия при произвольно ориентированном растяжении для случая анизотропии общего вида (в двух измерениях); для эллиптического отверстия, край которого подвержен равно­ мерному давлению; для эллиптического отверстия, часть края которого подвержена равномерному давлению, причем в пре­ деле получается случай сосредоточенной силы, приложенной в любой точке; для эллиптического отверстия при произволь­ ной ориентации его в поле чистого изгиба; для поля напря­ жений в консольной балке.

Подобным же образом исследуется вторая основная за­ дача с приведением подробных результатов для жесткого эллиптического включения, подвергнутого действию момента в плоскости включения, а также для случая, когда включение служит источником возмущения в однородном произвольно ориентированном поле растяжения. Последняя задача была решена также Оуэнсом и Смитом [1].

Лехницкий [1] с помощью метода возмущений дал реше­ ние плоской задачи для материала со слабо выраженной анизотропией и определил главные члены разложений ком­ плексных потенциалов для оваловидных отверстий, нарушаю­ щих однородные поля напряжений. В дальнейшем Лехницкий [3] распространил это решение на пластинки с эллиптиче­ скими включениями. Затем метод возмущений рассматри­ вался Сокольниковым []].

Решения в рядах для внутренности эллипса были даны Лехницким (1937) и Куфаревым [1] и включены в книгу Лехницкого «Анизотропные пластинки» [1]. Куфарев [2] выразил в форме двойных интегралов комплексные потен­ циалы для бесконечного клина, когда на его гранях заданы нормальные и касательные напряжения. Возмущения в одно­ родном напряженном состоянии плоскости, вызванные нали­ чием конечного числа надрезов по оси х, были исследованы Михлиным [1] и позднее — методами решения задачи Гиль­ берта— Грином и Церна [1].

Смешанная краевая задача о вдавливании жесткого штампа в ортотропную полуплоскость (упругая ось парал­

имеет форму f(to). Это уравнение никак не связано с анизо­ тропией. Оно совпадает с интегральным уравнением соответ­ ствующей задачи для изотропного тела, общее решение которого известно (см., например, Мусхелишвили [1], гл. 19). В работы Савина включены также случаи действия каса­ тельных нагрузок. Соответствующая задача для нескольких штампов (принцип наложения неприменим) при наличии кулонова трения решена Галиным [2], который свел ее к за­ даче Римана — Гильберта. Изотропные задачи этого типа решены в книге Мусхелишвили [1].

В книге Лехницкого [2] изложена его ранняя теория обобщенной плоской задачи для бесконечного цилиндра, ось которого совпадает с осью Oz, когда перемещения и, v, w не зависят от координаты z и анизотропия произвольна. Решение выражается через две функции напряжений F{xy у), ХУ(Х>У), удовлетворяющие двум линейным дифференциаль­ ным уравнениям четвертого и третьего порядка, что требует введения трех комплексных переменных z t (i = 1, 2, 3), яв­ ляющихся аргументами шести аналитических функций

^i(2i).4f,(z/).

В качестве приложений рассматриваются эллиптическая ци­ линдрическая полость с не меняющимися в осевом направле­ нии силами, приложенными к поверхности полости (осевые составляющие поверхностных сил считаются равными нулю), и параболический цилиндр с такими же силами.

Кручение и изгиб стержня и взаимодействие кручения и изгиба, обусловленные анизотропией, исследованы исчерпы­ вающим образом. При этом особое внимание уделено эллип­ тическому и прямоугольному сечениям, а также аэродинами­ ческим профилям (для них решение было получено при помощи приближенного вариационного метода Лейбензона). Кручение круглых валов переменного диаметра (с цилиндри­ ческой анизотропией) рассмотрено путем распространения на этот случай изотропной теории Мичелла; получены резуль­ таты для конического вала. Лехницкий дал общее решение задачи Сен-Венана об изгибе анизотропного стержня

полуобратным методом посредством трех комплексных функ­ ций Ф/(2/), голоморфных в областях трех гг плоскостей, соответствующих поперечному сечению.

При симметричной деформации тел вращения, обладаю­ щих трансверсальной изотропией (все направления в плоско­ стях, ортогональных оси, являются упруго эквивалентными), тангенциальные смещения щ равны нулю, а смещения и г и uz являются функциями только г и z. Касательные напря­ жения тго» те* равны нулю. Остальные четыре составляющие напряжений выражены Лехницким через единственную функ­ цию напряжений, удовлетворяющую дифференциальному уравнению четвертого порядка (обобщение изотропной функ­ ции Лява). Теория применена к решению задач для полубесконечного тела, на границе которого приложено давление, для цилиндра и для тяжелого полубесконечного тела, огра­ ниченного горизонтальной плоскостью и имеющего вертикаль­ ную цилиндрическую полость. Для этого класса осесимме­ тричных задач «без кручения» Эллиот [1], Шилд [1] и Пейн [1] недавно получили новые решения. Юбэнкс и Штернберг [1] установили полноту функции напряжений Лехницкого. В двух последних статьях содержатся ссылки, дополняющие лите­ ратуру по этому вопросу, а также сведения исторического характера. Доступность этих статей делает излишними даль­ нейшие комментарии; следует лишь упомянуть, что Шилд получил решения для несимметричных задач о плоской эллиптической трещине в бесконечной среде, о вдавливании плоского эллиптического штампа в полубесконечное тело и о распределении напряжений по толщине балки. Определен­ ная упругая ось трансверсально изотропного материала будет ортогональна эллиптической трещине, поверхности штампа или торцам балки.

В общем случае вряд ли изотропные состояния можно сделать математически эквивалентными анизотропным со­ стояниям, так как первые являются лишь предельным слу­ чаем последних. Такая эквивалентность имеет, однако, место

вопределенных частных случаях: в связи с уравнением (38),

атакже при сведении общей задачи о трещинах и вдавлива­ нии штампов для трансверсально изотропных тел к эквива­ лентной задаче для тел изотропных, что было сделано

Шилдом [1]. В линейной теории переход от изотропных к анизотропным соотношениям между напряжениями и де­ формациями представляет собой линейное преобразование, связанное с линейным геометрическим преобразованием [подобно переходу от 2 к Z\ и г2 в равенствах (33) и (34)].