- •пластичность
- •§ 5. Задачи со смешанными краевыми условиями. Третья основная задача в двух измерениях
- •§ 8. Температурные напряжения. Упругие волны, вызванные тепловым ударом
- •§ 9. Трехмерные контактные задачи
- •§ 11. Диффракция. Распространение возмущений
- •§ 12. Сейсмические задачи и задачи о колебаниях
- •§ 13. Заключительные замечания
- •§ 2. Условие текучести и закон течения
- •§ 3. Постановка задачи
- •§ 10. Введение
- •(dfldQ) Q; di* = f* di* = 0,
- •§12. Конечные принципы
- •§ 14. Жесткий идеально-пластический материал
- •§ 15. Упругий идеально-пластический материал
- •§ 17. Динамическое нагружение
- •§ 18. Приложение принципа минимума потенциальной энергии
- •§ 20. Плоская деформация и плоское напряженное состояние
- •§21. Балки, стержни и брусья
- ••§ 23. Общие замечания
§ 14. Жесткий идеально-пластический материал
Первые четыре главы этого обзора были посвящены изложению современных теорий пластичности и не касались решений конкретных задач. Хотя по-видимому на каждую статью, содержащую существенный вклад в теорию, прихо дится около двадцати решений конкретных задач, подоб ное подчеркивание роли теории оправдано, так как без теории получение этих решений было бы невозможным, тогда как при наличии теории получение конкретных решений является лишь вопросом времени и заинтересованности авторов. Мы рассмотрим теперь несколько конкретных задач как с целью иллюстрации теории, так и для того, чтобы показать уровень развития, достигнутый в данной области. В этой связи мы не будем претендовать на полноту изложения, считая примеры чисто иллюстративными. С точки зрения нашей первой цели задача о круглой пластинке под действием осесиммет ричной нагрузки является во многих отношениях идеальной. Действительно, хотя в ней и содержатся многие существен ные элементы более сложных задач, она тем не менее проста с математической точки зрения. Для определенности рассмотрим свободно опертую круглую пластинку, подверг нутую действию равномерно распределенного нормального давления р. Эта и другие задачи, связанные с пластинками, впервые исследовались Гопкинсом и Прагером [14.1], а позд нее Гопкинсом и другими [14.2 14.3]. Задачи о пластинках рассматривались также советскими авторами, как указано в библиографии на стр. 175, 180 и 181.
Обобщенные напряжения и деформации для этой задачи были уже определены в (1.2). Результирующие напряже
ния должны удовлетворять уравнению равновесия |
|
(?QI)'-Q 2 = -3 P ? 2, |
(14.1) |
где £ и Р — соответственно безразмерные координата и да вление, определяемые соотношениями
Г |
п |
рсР |
П\ |
Штрихи обозначают дифференцирование по |. Далее, если безразмерное перемещение задать в виде
(14.3а)
то из (1.2) для обобщенных деформаций получим
qi = a*r = — W", дг = ац = — ^ ~ . |
(14.36) |
Можно показать [14.1], что если материал пластинки подчиняется условию Треска для максимального касатель ного напряжения, то моменты Мг и М 0 удовлетворяют гео метрически аналогичному ограничению. Тогда, выражая условие текучести через Qi и Q2, получим
max[ | Qx|, |Q*|, 1Qi — Q2| ] < 1 - |
(14.4) |
Соответствующая рамка текучести показана на фиг. 13. Общий метод решения для пластически жесткого мате
риала состоит в задании некоторого «профиля напряжений» для тела, т. е. в задании некоторого геометрического места точек напряжений по отношению к рамке текучести. В част ности, очевидно, что для значений Р, меньших, чем некоторое критическое значение Р0, деформации не возникнут и пла стинка будет жесткой, но при Р = Р0 движение может иметь место. Следовательно, очевидно, что единственным интерес ным решением для жестко-идеально-пластического материала будет решение, отвечающее Р = Ро.
Чтобы показать, как быстро выявляется некорректность гипотез, принятых относительно профиля напряжений, пред положим сперва, что некоторая конечная часть профиля напряжений принадлежит стороне АВ. Тогда из закона те чения получим
gl== - \ V " > 0 , g2 = - ^ f = 0.
Предположим теперь, что конечная часть профиля напряже
ний принадлежит |
точке В. Тогда Qi = Q2 = 1. и уравнение |
|
равновесия (14.1) |
приведется |
к виду |
|
Р = |
О, |
что также неприемлемо для данной задачи.
Правильная гипотеза для профиля напряжений должна,
разумеется, удовлетворять |
граничным условиям. |
Для сво |
бодно опертого края они имеют вид |
|
|
Qi(l) = |
0, Щ 1) = 0, |
(14.5а, б) |
тогда как в центре пластинки из соображений изотропии должно быть
Qi(0)= Q,(0). |
(14.5В) |
Если предположить, что под действием нагрузки Р0 вся пластинка переходит в пластическое состояние, то разумно
Ф и г . 13. Рамка тек учести и проф или напряж ений для круглой пластинки.
принять профиль напряжений совпадающим с линией СВ, причем В соответствует | = 0, а С соответствует | = 1. От сюда следует, что Q2 = 1 всюду в пластинке, и уравне ние (14.1) вместе с граничным условием (14.5в) дает
( ? ! = ! —