книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Cyjr-Cy(^) и ^ - /( 0 4 ^ ,) была близка. Если таких векто­

ров нет, выбирается любой близкий сосед. Далее траектории

При таком подходе максимальный ляпуновский показатель определяется по формуле

м

Чтобы вычислить сумму двух наибольших показателей, нужно рассматривать пары близких траекторий и изменение площадей соответствующих треугольников (см. рис.6.18). Когда ищутся

243

Обычно, пользуясь методом аналога, больше двух ляпуновских

показателей не вычисляют.

Тестовые расчеты позволили выявить область примени­ мости обоих методов и их ограничения. Примером такого ана­

лиза может служить работа [387].

Допустим, что имеется априорная информация о том, какова размерность вложения р изучаемой системы. Тогда оба метода дают разумные оценки старших показателей при срав­

нительно небольших выборках. Результаты в обоих случаях

слабо зависят от выбора е и шага интегрирования. Метод якобиана в этом случае в ряде тестовых расчетов позволял

при вычислении размерности аттрактора, значения первых ляпуновских показателей перестанут меняться. В противном случае мы просто не сможем сказать, какие же показатели "настоящие". Проведенные исследования показали, что этим

обычно приводит к росту значений положительных ляпуновских показателей и их числа. Пояснить это можно следующим образом. Допустим, экспериментальные данные порождаются динамической системой, вложенной в р-мерное пространство. Тогда при р > р должны появляться большие отрицательные показатели (в идеальном случае А~ = А~+2 = ... = - « ),

244

что приводит к тому, что матрица А является плохо опреде­

ленной. Поиск ее собственных значений становится некор­

ректной задачей.

По-видимому, вопрос о возможности расчета отрицатель­

ных ляпуновских показателей по экспериментальным данным* в настоящее время остается открытым. В самом деле, нетрудно

представить себе ситуацию, в которой аттрактор в р-мерном пространстве лежит в fc-мерном многообразии. На больших ха­

рактерных временах можно считать, что траектория лежит на аттракторе. Чтобы узнать, каковы р - k отрицательных пока­ зателей, должны быть траектории, которые лежат вне аттрак­

тора и стремятся к нему. А последовательность эксперимен­

Отметим, что применение алгоритмов вычисления ляпу­

новских показателей по временным рядам оправдано, если в

рым строятся ^-вектора, каким-то образом задано. И дейст­

вительно, по критерию Такенса оператор Ф является вложени­ ем почти для любого At. Однако при этом предполагается до­ ступной выборка неограниченной длины и возможность перейти к пределу при е —» О, рассматривая сколь угодно малые мас­ штабы.

Реально оба требования не выполнены, и выбор At ста­ новится важным методическим вопросом. Часто именно от его успешного решения зависит, будет ли обнаружена фрактальная структура того или иного аттрактора. В настоящее время во многих натурных и вычислительных экспериментах вначале оп­

245

ределяют статистические характеристики процесса, затем по ним выбирают At и потом получают серию экспериментальных данных [271, 376]. Рассмотрим несколько методов выбора Lt,

некоторый куб в ^-пространстве. Оценить наклон линейного участка кривой In С = /(1п е) также будет трудно.

Естественно выбрать At так, чтобы C,k и были бы

достаточно близки, но в наименьшей степени коррелированы. Тогда каждый следующий С-вектор будет независим от преды­ дущего, что позволит, используя выборку данной длины, на­ иболее полно охарактеризовать аттрактор. Этим требованиям удовлетворяют такие значения At, при которых автокорреля­ ционная функция

Смысл такого выбора At можно проиллюстрировать следу­ ющим примером. Пусть в системе реализуется простейший ко­

лее простым. В этом случае

246

С+ - 2соэ(ЬЛ/)5„€„+1 = s i - W

окружности. При Ы ~ Ы точки (£п, €л+1) будут равномерно заполнять фигуру, близкую к окружности, что и позволит определить размерность множества с помощью выборки неболь­

шой длины. (Строго говоря, при точном выборе At на этой окружности будут пробегаться только четыре точки, поэтому в этом случае разумно брать значения А/, лежащие вблизи

At. Это связано с постоянством времени оборота Т = 2л/ш. В

странных аттракторах дифференциальных уравнений время обо­

было связано с предположением, что наилучшим будет Af, при котором £(/) и £(/ + At) статистически независимы. Однако вопрос может быть поставлен иначе: при каком значении At

каждый следующий вектор £п+1 будет добавлять наибольшую информацию об аттракторе? Это зависит от того, каков был предыдущий ^-вектор И здесь естественно использовать представления теории информации.

247

Тогда, как было показано Шенноном, среднее количество информации, которое может быть получено после одного изме­

рения, определяет энтропию системы

248

где

H(Q) - неопределенность в измерении величины q, H(Q\S) - неопределенность величины q в случае, когда измерена вели­ чина s. Таким образом, измерение величины s уменьшает неопределенность q на величину

нужно для различных значений At оценить по данным натур­

/(5.Q ) и найти первый минимум этой функции. В работе [271]

пространстве, если для выбора А/ пользоваться двумя обсуж­

тор системы, возникшей при наблюдении реакции Белоусова -

Жаботинского. Зависимость автокорреляционной функции С(А/)

определяемом нулем автокорреляционной функции, справа А/

найдено с помощью критерия минимума взаимной информации.

249

Слева большая часть аттрактора проектируется в не­

сколько узких полосок. Это приводит к смещению линейного

участка 1пС = /(1пе) в область малых масштабов, что за­

трудняет оценку его размерности. Справа траектории сравни­ тельно равномерно заполняют довольно большую область фазо­ вого пространства. Тзкой выбор At более удачен.

J. -1

Рис. 6.19

Критерий, использующий взаимную информацию, широко используется во многих работах и обычно дает хорошие ре­ зультаты.

Экспериментальные данные, которые сейчас обрабатыва­ ются для оценки фрактальной размерности, могут относиться к самым разным объектам. Поэтому можно ожидать, что для ряда выборок наилучший выбор Ы не будет связан с двумя обсуждавшимися критериями, и существуют другие способы построения С-векторов.

250

{'-векторы, сдвигаясь по траектории. В общем случае оба па­ раметра независимы, и можно ожидать, что наилучшие резуль­

мы строим ^-вектора так же, как они строятся в теореме Та-

траектория и нет никаких возмущений. В расчетах странных аттракторов в силу чувствительности к начальным данным вы­ численная траектория оказывается в окрестности различных траекторий исходной системы и дает представление о целом

251

ляпуновских показателей, и от величины вносимых возмуще­

ний.

Вработе [211] предлагается оптимизировать Ы таким

С-векторов определенным образом. При таком подходе объем вычислительной работы значительно увеличивается по сравне­ нию с двумя методиками, обсуждавшимися выше.

Однако вопрос о том, как оптимизировать АТ и At, что­

бы наилучшим образом оценить размерность странных аттрак­ торов, остается открытым.

§ 6 .7 . Экспериментальное исследование маломодового хаоса

Анализ общих свойств динамических систем позволил вы­

двинуть предположение, что сложные стохастические режимы в нелинейных средах часто связаны не с возбуждением беско­

Подчеркнем, что это предположение носит общий характер и

мам в колебательных химических реакциях, к ряду систем в нелинейной оптике, ко многим другим явлениям. Развитые в последние годы алгоритмы анализа фракталей, странных ат­

тракторов позволили перейти к экспериментальной проверке

этого предположения.

Одной из систем, в которой наблюдается переход от упорядоченного ламинарного режима к хаотическому турбу­ лентному, является течение Куэтта - Тейлора. Это течение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами высоты L,

радиусы которых равны а и Ь. Внешний цилиндр вращается с угловой скоростью Qg, внутренний - со скоростью Qj. Число

252