книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

1

>og 1 Р*

D

=

11ш

i

(6.32)

я

F T

е-»о

log

€ ’

где суммирование

ведется

по

всем

кубикам покрытия, или

эквивалентным

выражением

D

1

1i m

log Sm B^x^dpjx)

l o g e

(6.33)

я

F

Tе-»о

поточечной размерности). Величины D

определены при

любых

а > 0, и можно показать, что DЯ >

ЬЯ/, если а < а '.

Одна-

ностями.

Сравнивая

формулу

(6.32)

с

соотношениями

(6.4),

(6.25), (6.26),

нетрудно

убедиться,

что

1i m

D

-

d ,

D

0

= v

(6.34)

<^0

*

c

*=2

Можно

показать,

что

lim

D = dr

(6.35)

В самом

деле,

представим

D

в

виде

log

£

р ехр(<7-.1 )

In

р

11 m

----------------------------------------.

°я = F T е-»о

log

е

При q —» 1 мы имеем

неопределенность

0 /0 .

Чтобы

раскрыть

ее,

воспользуемся

правилом

Лопиталя.

Взяв

производные

от

числителя

и

знаменателя

по

q

при q

= 1,

получим

D.

=

lim

Е р ,- ln Pj

11ш

-----------------

(6.36)

£-»0

In е

Е

р.

l

i m

Z ! ,

i

Р ‘

£-»0

In

£

<8V> = MJn) 5

| 8* Р(8,п) d8 = К n * /D™.

(6.39)

*

о

D(y) = -

1i ш

К 1 п л

(6.40)

In Му(л)

'

л-м»

Предел

в формуле"

(6.40) связан

с

т^м, что

мы

будем

рассматривать

величину

Z)(y) только при

больших

л,

считая,

повторяет себя на .меньших масштабах, и пользуясь

определе­

нием, можно получить следующее выражение для P(8,n)d8,

P(8,n)d8 = PjP(a“ 1 S.PjHja'1 d8 +

p2P(a2'8,p2n)a2' d8.

(6.41)

Множители Oj <

1

и « 2 <

1 связаны с изменением мас­

штабов при переходе

к

следующему шагу построения

канторова

множества.

Множители

р^ и р2

учитывают, что в первый и

второй

отрезок попала

различная

доля точек (мы здесь

счи­

таем,

что

п достаточно

велико,

и поэтому ближайшие

соседи

Му(л) =

Р,

J

р(У'р1п) аУ +

(6 .4 2 )

+

р2 <4* S

у*

Р(у,р2п) аУ-

Далее, подставив

выражение для моментов,

получим

1

=

« *

+

(6 .43 )

Рассмотрим

теперь

решение

уравнения

£>(у)

= If.

(6 .44 )

Это дает

новый способ

вычисления емкости. В самом

деле, будем рассматривать

одномерное

отображение

V r

D(*k> =

- |im

^ In

1 п п

(6 .45 )

Му ( п)

л-»ео

f k

Задав некоторое

значение

будем

строить

у2,...,У5.

Можно проверить, что

D (у*)

< 1,

поэтому

у. —> у* .

*

к —►со

Типичный вид этого отображения показан на рис. 6.13.

Йз формулы

(6.43)

ясно,

что

Щт) = In Pj/ln tty. При та­

ком подходе можно определить функцию D и для отрицательных

значений у. В

этом

случае Щ-т) =

In р2/1п

Это число

ными размерностями. Из их определения следует, что

exp(Zyi - <7)1пе)

=

£ \ q(c)

=

£

pq(e)

+

£ pq(c).

(6.46)

/=1

<1>

<2>

Или, учитывая соотношение, в котором сокращаются мас­

штабы,

и равенства £

Р. = pv

£

Р. = р0, получим формулу

<1>

*

1

<2> *

г

exp[Z> (1

-

</)lne]

= pq £

exp[Z) (1

-

</)ln(a,e)]

+

q

'<i>

q

•

+ Pq2 £ exp[Z> (l-<7)ln(a

e)].

(6.47)

^<2>

4

*

Откуда следует,

что

1

4

0 - 4 ) 0 ,

4

(1 -4 )0

(6.48)

1 = Р\ а1'1

4 +

Н «2

Или,

сравнивая

эту

формулу

с

(6.43),

получим

D [У = (1 -

q)D^ = D_

(6.49)

Из

графика

6.13

ясно,

каким

образом,

пользуясь

одно­

следующей.

Выборку длины N = 2к разобьем на 2к~* блоков,

каждый из

которых

содержит

п - 2* точек.

Расстояние

5^п)

оценивается

после

вычисления

расстояния

от точки

х( до

всех других

точек

в этом б/оке. Затем расстояния д£п)

усредняются

по всем

точкам множества.

8 Т.С. А хром еева н др.

225

Чтобы сократить объем

вычислений (и при этом оценить

5(п) для больших значений

п), часто используют менее стро­

считать

функции

8t(k) (i

=

l,...,m ). Функция 5(л) получа­

ется в

результате их усреднения.

В настоящее время метод Бадьи и Полити широко исполь­

зуется

при анализе

странных

аттракторов

и

эксперименталь­

ных

данных.

В

отличие

от

метода

Грассбергера

- Прокаччо,

при

котором

оценивается

линейный

участок

кривой

In

С -

=

/(In

е),

здесь

решается

уравнение

(6.49),

в

котором

функция Z)(y)

определена формулой (6.40). В

ряде

случаев

это

оказывается более

удобным.

Отметим,

что

в

отличие

от емкости,

хаусдорфовой

раз­

В последние годы

была

предложена другая

характеристи­

ка, более наглядная,

чем

набор обобщенных

размерностей,

лучила название а-спектра

[291].

Обсудим

ее

более

подроб­

но.

М раз­

Будем

вновь полагать*

что

изучаемое

множество

бито на кубики с ребром

е. Вероятность найти точку мно­

жества в 1-м

кубике можно

выразить как

р. ~

с * 1.

(6.50)

Поскольку множество

неоднородно, можно

ожидать, что

лями

а.

Предположим,

что

число кубиков, в которых показа­

тель

а лежит в

интервале

между

а7

и а 7 +

da7, пропорци­

онально

величине

da7p(a7) е~Ка \

(6.51)

где /(а 7)

-

непрерывная

функция.

в соотношение

Подставим

формулы

(6.50)

и

(6.51)

(6.32), определяющее обобщенные

размерности

1

log

Jda7

p (a 7)

е- т ')Ря <*'

D

= 11 m

(6.52)

<7-Г

log

е

я

е-»0

Тогда в области

интегрирования

ё(х) й g (V -

^(*)

~ S< V

+

2

^ (*о)‘

Следовательно

r\S"(xQ)t2-

ц

dt,

(6.53)

F(А) ~ g(xQ) exp [AS(xQ)] J expj^------2------ ]

поэтому

f(A) * /

exP(A5(V>

(А —» +со).

В

нашем

случае

g(x) =

р(х),

А = ln (l/e),

S(x) =

= f(x) -

qx, a(q)

определяется

условием

экстремума

До7-

~ Ла'И

|а/ =

а(<7)

~ 0

(6.54)

Поскольку

функция

f(x)-qx

имеет

максимум

в точке

«(?).

/ а .2

t«“') -

!«'= Ц,)

< 0

(6.55)

Dq =

[ q т

~ № q)) ]■

(6.57)

Таким образом,

зная

зависимость

оc(q)( называемую

наоборот, зная все обобщенные

размерности,

можно найти

а-спектр:

М я) = щ

[(</ -

1)^ -

(6-58)

Для вычисления а-спектра полезной величиной оказыва­

ется так называемая функция разбиения

Г(<7,е) =

< р / е Г 1 >,

(6.59)

Г(<7,е)

~

ет(<7)

или

т(<7) = Dq{q -

1).

(6.60)

Подставляя

формулу

(6.57)

в

выражение

(6.60),

нетруд-

но убедиться,

что

a(q)

=

dx(q)/dq,

(661)

f(q)

=

Т(<7)

-

qdT(q)/dq.

канторово множество,

показанное

на рис.

6.1 1 . Из формулы

(6.56)

следует, что / '( <х(0))

=

0.

Подставив <7 = 0 в равен­

ство

(6.57), получим,

что

DQ

=

/(ос(0)).

Следовательно, ор­

множества. Зависимость величины

от <7 и а-спектр для

двухмасштабного канторова множества

представлены на рис.

6.15.

ного канторова

множества,

показанного на

рис. 6.11;

б) а-спектр для

это­

го множества,

f = 0

соответствует значениям

= 1п(0,4)/1п(0,4) =

1,0

и

Dm =

1п(0,6)/1п(0,25)

= 0,3684

Другой

пример

неоднородного

фрактального

множества

дает аттрактор Фейгенбаума. В самом деле, положим

А

= Аю и

будем следить за итерациями точки х

=

0. Можно

проверить,

что

при увеличении

п

/"(0)

не

попадают

в

интервал

(/4(0),

/3(0)),

они

также

не

попадают

на

участок

(/6(0),

/8(0)),

(/7(0),

/5(0)),

и

т.

д.

(рис.

6.16),

это

генбаума (сплошные

линии на рис. 6.16).

Видно, что

ситуа­

ция оказывается близкой к той, которая

наблюдается

в слу­

чае двухмасштабного

канторова множества.

Числа

соответствуют числу итераций точки х =20. Такой аттрактор

наблюда-

ется в

одномерном отображении

= А(1-2ДГ) при

А = Аю =

0,837005134...

...;

б) Обобщенные размерности для этого аттрактора;

в) О. -

спектр

Теория Фейгенбаума

предсказывает,

в

каком

интервале