книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdfначальных данных происходит выход на различные циклы). Отсюда вледует, что инвариантный тор разрушен. Другими
словами, нет такой замены координат, с помощью которой
фигура, возникающая на плоскости Пуанкаре, могла бы быть приведена к окружности. Если бы существовал контур, токо
логически |
эквивалентный окружности, |
то число вращения |
было |
бы единственно. |
|
|
|
При |
исследовании гамильтоновых |
систем во многих |
физи |
ческих задачах используется критерий перекрытия резонансов
[233]. |
В |
соответствии с |
ним |
в |
области, |
где |
хотя |
бы |
два |
|||||||
«языка» |
перекрываются, |
|
может |
возникать |
стохастичность. |
|||||||||||
Близкая ситуация характерна и для отображения (5.16). |
|
|
|
|||||||||||||
Естественно выяснить вначале, в каких случаях сущест |
||||||||||||||||
вует единственное число вращения, и когда |
их |
бывает |
||||||||||||||
несколько. |
|
Достаточные |
условия |
этого |
были |
|
получены |
. в |
||||||||
работе |
[212]. |
Прежде |
чем |
перейти |
к |
этим |
результатам, |
|||||||||
введем |
несколько |
определений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
компактное |
инвариантное |
множество, |
содержащее |
||||||||||||
все точки |
|
г € |
А = п |
Fn(B), |
делит |
область на |
две |
части |
- |
|||||||
внутреннюю |
В и |
лЭД |
|
BQ (см. |
рис. 5.16). |
|
|
|
|
|
||||||
внешнюю |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Назовем неподвижную |
точку |
г отображения |
седлом, |
если |
||||||||||||
у матрицы |
Якоби |
DF(z) |
одно |
собственное |
значение | | |
< |
1, |
|||||||||
второе |
|Л2 1 > |
1. |
Точка |
z |
цикла |
Fq называется |
периодической |
|||||||||
седловой точкой, если те же неравенства выполнены для
собственных |
значений |
матрицы DFq. |
F, тогда множества |
||||||
Пусть |
2 - |
неподвижная точка |
|||||||
Ws(z,F) |
= |
{ |
х. |
Fn(x) |
- -» 2 |
при |
п —» +00 |
}, |
|
Wu(z,F) |
= |
{ |
ж: |
Fn(x) |
- -» 2 |
при |
п —» -00 |
с |
|
} |
|||||||||
будем называть соответственно устойчивым и неустойчивым многообразиями точки г. Отметим, что эти многообразия могут вести себя не так, как интегральные кривые дифферен циальных уравнений, они могут пересекаться, не совпадая целиком.
171
Вработе [212] были доказаны два утверждения.
Те о р е м а 5.1. Предположим, что отображение F удовлетворяет следующим требованиям:
а) существует периодическая седловая точка у € А с по
ложительными собственными значениями; |
|
|
|
||||
б) WXy.F**) п А = |
{у} , где q - |
период у; |
|
|
|||
в) одна ветвь Ws(y,Fq) пересекает |
только В(, в |
то |
вре |
||||
мя как другая ветвь пересекает только |
|
(см. рис. |
5.16). |
|
|||
Тогда р(г) = р(у) для |
всех г € |
В. |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
5.2. |
Пусть у |
€ |
А - |
периодическая |
точ |
|
ка, принадлежащая циклу с периодом q |
и числом |
вращения |
|||||
p/q, где числа р и |
q взаимно |
просты. |
Предположим, |
что |
|||
Wu(y, Fq) пересекает |
W ^F ^y)^) |
трансверсально |
(под |
не |
|||
нулевым углом) для некоторого 0 < k < q. Тогда существует невырожденный интервал I, содержащий p/q, такой, что для
каждого а € I существует г € |
А, р(г) = |
а. |
Более |
|
того, |
есть |
|||
такие точки, для которых число вращения не определено. |
|
||||||||
На |
рис. 5.17 |
звездочками |
обозначены |
седла |
и |
и |
показано |
||
несколько |
итераций |
точки |
близкой |
к |
/ |
|
|
Для |
|
у = |
F (у). |
||||||||
итераций таких точек можно построить символическую динами ку, использование которой и позволяет доказать теорему.
172
Определение устойчивого и неустойчивого многообразия естественно обобщается на случай цикла Y периода q
|
(У s {у, F(y), .... |
F*-\y)), F%y) = у, |
||
|
Fn(y) * у |
для 0 < п < q): |
|
|
|
WS(Y,F) = {ж : d(Fn(x),Y) —» 0 |
при п —» +«} |
||
|
WU(Y,F) = {ж : d(Fn(x),Y) —» 0 |
при п —» -со}. |
||
Точка ж € б называется |
гомоклинической к Y, если |
|||
|
ж е W*(Y,F) л WU(Y,F) - |
Y. |
||
Условия второй теоремы означают, что должна сущест |
||||
вовать |
гомоклиннческая |
точка. |
|
|
В |
этой и во многих других задачах, |
в которых возника |
||
ющие отображения обратимы, наличие гомоклинической точки
оказывается |
принципиальным. Можно |
-убедиться, |
|
что |
из |
|||||
наличия одной |
гомоклинической |
точки |
ж |
следует, |
что |
их |
||||
будет |
бесконечно |
много. |
В самом |
деле, |
в |
силу |
инвариант |
|||
ности |
Ws(z,F) |
и |
Wu(z,F), |
Fk(x) |
€ Ws(z, F), |
Fk(x) |
€ |
Wu(z,F) |
||
при любом k. Следовательно, все они являются гомоклиничес-
кими точками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если допустить, что точки ж, |
|
F(x), |
... |
, |
Fm(x) |
||||
образуют |
цикл, получим |
противоречие |
с |
тем, |
что |
|
Fk(x) € |
|||
€ |
Ws(z,F). |
В |
самом |
деле, |
из последнего |
соотношения |
следу |
|||
ет, |
что точки |
Fk(x) |
должны стремиться |
при k —» со |
к |
г. По |
||||
этому из существования одной невырожденной гомоклинической точки (т. е. такой, в которой и Wu пересекаются, а не
касаются) следует, что существует очень сложное множество,
называемое гомоклинической структурой. В силу |
бесконечнос |
|
ти точек пересечения Ws и Wu ее не удается |
изобразить, од |
|
нако наглядное представление о ней обычно |
дают |
с помощью |
рис. 5.18. |
|
|
173
Рис. 5.18
Впервые гомоклиническая структура была открыта
А.Пуанкаре при исследовании классической задачи трех тел. Наличие такой структуры связано с возникновением стохасти
ческих режимов [10, 87, 289]. Действие отображений, в ко
торых существует гомоклиническая структура, во многом ана логично действию подковы Смейла. Отсюда следует существо
вание |
инвариантных канторовых |
множеств, |
исследовать кото |
|||||||
рые |
позволяет аппарат |
гиперболической |
|
теории. |
Можно |
|||||
сказать, |
что |
итерации |
F |
ведут |
себя |
как случайная |
последо |
|||
вательность |
бросаний |
монеты. |
Ссылки |
на |
оригинальные |
|||||
работы, |
посвященные |
этой задаче, |
можно |
найти в |
обзорах |
|||||
[158, |
177]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если переход к хаосу происходит в со |
|||||||||
ответствии со |
сценарием |
Рюэля |
- Такенса, |
то |
после |
двух би |
||||
фуркаций Хопфа и рождения инвариантного тора может проис ходить захват частоты. При этом система в пространстве па
раметров оказывается в пределах одного из «резонансных
рогов» (см. рис. 5.15). Возникает цикл, при этом обычно выполняются условия теоремы 5.1. Далее происходит сложная перестройка инвариантного множества, в результате которой появляются гомоклинические точки (выполняются условия тео ремы 5.2). В системе наблюдается гистерезис: с разных на чальных данных может происходить выход на циклы с различ ными числами вращения и на хаотические режимы.
Интересен вопрос о том, что происходит с инвариантным множеством А при изменении параметров, как оно теряет
174
гладкость. Этот вопрос рассматривался в работах [9, 158, 233]. Возможные варианты эволюции множества А, появление
гомоклинических |
точек |
наглядно представлены |
в |
работах |
||||
[14, |
351]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратим внимание на отличие обсуждаемого сценария от |
|||||||
тех, |
которые |
мы рассматривали до этого. Там, чтобы |
||||||
выяснить |
тип |
аттрактора, |
достаточно было |
рассмотреть |
||||
итерации |
взятой |
наугад |
точки |
(может быть, |
нескольких то |
|||
чек). Здесь ситуация намного сложнее. |
|
|
|
|||||
|
Если |
рассматривать |
последовательность |
{■*„}. |
получае |
|||
мую в натурном или вычислительном эксперименте, то можно ожидать, что при изменении параметров будет обнаружена по следовательность: особая точка —» цикл —* 2-тор- —* цикл —*
—* хаос. Однако, чтобы выяснить механизм разрушения ин
вариантного тора, |
нужно иметь |
математическую модель явле |
ния и тщательно |
ее исследовать |
- изучать двупараметричес |
кое семейство динамических систем, строить устойчивые и
неустойчивые |
многообразия, |
искать |
гомоклинические |
точки. |
Это приводит |
к тому, что |
постановка |
вычислительного |
экспе |
римента оказывается достаточно сложной. Хаос в системах, описываемых двумерными отображениями, может возникать в результате разрушения инвариантных торов. Однако в двупа раметрических семействах двумерных отображений возможны и
другие сценарии, при ‘ которых непериодическому режиму
(точнее траектории с иррациональным значением р) предшест вует последовательность циклов. Более того, для этой по
следовательности обнаружены |
универсальные |
закономерности, |
|||
справедливые |
для |
различных |
инвариантных |
торов |
[264, 351, |
368]. |
|
|
|
|
|
Удобной |
моделью для |
изучения такого |
поведения |
||
является двумерное |
отображение |
|
|
|
|
'0п+П+b г п~( К/2л) sin 2пвп
brn~(K/2n) |
s i n 2n0 n |
(5.23) |
|
якобиан которого постоянен и равен Ь. При Ь |
1 это |
отображение сохраняет площадь, оно широко используется при
анализе гамильтоновых систем. В другом предельном случае
(Ь = 0 ) оио переходит в одномерное отображение
е л+ 1 = |
/<е п> - |
в п + |
Q |
- |
<К / 2 п ) s in 2 п в п |
(5 .2 4 ) |
|
При 0 ^ К < 1 / и |
/ “ 'обратимы |
и аналитичны. При К = |
1 /“ ' |
||||
существует, |
однако |
при |
0 |
= |
0 |
имеет особенность 01/3 и |
поэ |
тому недифференцируема в этой точке. При К > 1 однозначной функции /“ ' не существует. Число вращения для отображения
(5.24) естественно определить формулой |
|
р(/С,П) = |
lim I (/"(0) - 0). |
|
л->со |
Выберем какое-нибудь |
иррациональное число 0 < р < 1 . |
Удобно выбрать число, наиболее просто представимое в виде
цепной |
дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Например, |
золотое сечение |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
р |
= |
= |
< 1 1 1 11 |
...> |
1+ - |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ . . . |
|
|
Построим |
далее |
последовательность |
рациональных |
чисел |
||||||||
р, = P/Q, таких, что lim |
р. = |
р. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
i'->со |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Р, = <1> = 1/1, |
р2 = |
<11> |
= |
1/2, |
р3 = <111> |
= 2 /3 ... |
|||||
Можно |
проверить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
р , - <П 1 |
|
i > = F / F m . |
|
|
|||
где |
F( |
- |
числа |
Фибоначчи, |
которые определяются |
соотношени- |
||||||
ем |
^f+1 |
= F i + F i- y |
Fo = °- |
F \ |
= |
|
|
|
|
|||
176
При этом
|
lim Pf+1 |
Pj |
= - / 2. |
|
('->00 Pi-Pi- 1 |
|
|
Здесь /=р. |
Будем считать, |
что |
значение К фиксирован <т, и |
определим последовательность значений параметра Д в ото
бражении (5.24) таких, что при |
Д = |
Q, |
= Pf |
f '(0) |
То есть точка 0 = 0 в отображении принадлежит циклу с пе риодом Q( и числом вращения р . Далее, следуя работе [264], сделаем предположение, что существует единственная предельная точка
|
lim |
Q. (К) = Д (К) |
, |
р(К, |
Д (К)) |
= |
р. |
||||
|
f->co |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 6//С) |
= |
(Дь 1(/С) |
- |
Д//С))/(Д//С) |
- |
Д,+](/0). |
|
|
|||
Численные |
расчеты, |
приведенные |
в |
работе [368], |
показывают, |
||||||
что |
lim |
5{К) |
= - Г 2, |
0 |
^ |
К < 1, |
|
|
|||
|
|
|
|||||||||
|
f-»co |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
6(К) = |
-ГУ В б, |
|
К = 1, |
|
(5.25) |
||||
|
i-*m |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где у = 2,16443 ± 0,00002. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Так же |
как в |
|
теории |
Фейгенбаума, |
естественно рас |
||||||
смотреть расстояние между точкой 0 = 0 и ближайшим к ней
элементом цикла (по |
модулю 1) |
с |
периодом Q; |
|||
|
|
dt = fQi' \ 0) |
- |
P(_v |
||
Пусть ос^К) = dj_/d. . Расчеты |
показывают, что |
|||||
lim |
а{К) |
=* - Г 1, |
0 |
£ |
К < |
1, |
f-»C0 |
* |
|
|
|
|
(5.26) |
lim |
а(К) |
= - Г х = а, |
|
К = |
||
|
1, |
|||||
i-*m |
1 |
|
|
|
|
|
где х = 0,52687 ± 0,00002.
По аналогии с теорией одномерных отображений можно ожидать, что применение ренорм-группового подхода в этой системе позволит найти универсальные функции и соотношения
(аналоги |
уравнения Фейгенбаума), исследуя |
которые |
можно |
||||
найти значения |
х н у . |
Такая теория |
была построена |
в |
рабо |
||
тах [264, |
351]. |
|
|
|
|
|
|
В |
работах |
[351, |
368] обсуждался |
важный |
вопрос |
о |
том, |
какой должна быть постановка эксперимента и обработка его
результатов, чтобы обнаружить явления, предсказываемые
теорией. В качестве примера такого экспериментального ис следования можно привести работу [374]. В ней рассматрива
лась конвекция Рэлея - Бенара в ртути, через которую про пускался переменный ток, при этом параметры выбирались
таким образом, чтобы числа вращения наблюдаемых циклов
лежали в окрестности золотого р = ( / 5 - 1 ) / 2 = <1 1 1 ...> или
серебряного р = У~2-\ = <122 ...> сечений.
Вопросы, связанные с разрушением инвариантных торов, вызывают в настоящее время большой интерес. Обратим внима
ние на несколько направлений исследований.
Одно из них связано с исследованием сценария Рюэля -
Такенса в различных математических моделях, например, в
системах с |
симметрией. |
В |
работе |
[304] |
изучалось |
||||
отображение |
х |
|
|
|
Ах2 + |
D(y |
- |
х ), |
|
|
, |
= 1 |
- |
|
|||||
|
|
л+1 |
|
|
п |
п |
|
п' |
|
|
у |
, |
= 1 |
- |
Ay2 + |
Dix |
- |
у ). |
|
|
* п + 1 |
|
|
у л |
' л |
|
у л ' |
|
|
Была обнаружена сложная последовательность циклов и
инвариантных торов. Оказалось, что значения А , |
при |
кото |
||
рых появляются |
циклы длины |
Q = 8 /1- 1 , сходятся |
к А |
при |
п —» оо, и А„ - |
__П |
Л |
W |
|
А ~ Сп . Сложные последовательности |
цик- |
|||
СО |
п |
|
|
|
лов и инвариантных торов были обнаружены и при исследова нии некоторых задач радиофизики [6, 78].
|
Другое |
направление |
связано |
с |
анализом |
глобальных |
|||||||
свойств |
|
отображений, |
в |
которых реализуется сценарий Рю - |
|||||||||
эдя, |
- |
Такенса. |
Например, |
если |
построить |
зависимость |
числа |
||||||
вращения р от параметра Q для отображения (5.24), то воз |
|||||||||||||
никает |
очень |
сложная |
функция. |
Каждый |
«резонансный |
рог» |
|||||||
(СМ. |
рис. |
5.15) |
с р = |
P/Q дает ступеньку на этом графике. |
|||||||||
Между |
каждыми |
двумя |
ступеньками |
P/Q и Р '/Q' |
существует |
||||||||
ступенька |
(Р |
+ |
P')/(Q |
+ |
Q '), |
и так |
до |
бесконечности. |
Воз |
||||
никающий график (и другие кривые такого типа) часто назы вают «дьявольской лестницей». Оказывается, можно построить ренорм-групповую теорию [246], позволяющую предсказать, с
какой вероятностью взятое |
наугад значение параметра Q бу |
дет давать цикл. |
|
Появились работы, в |
которых развитые представления |
обобщаются на торы более высокой размерности [366]. В ряде случаев анализ двумерных отображений позволяет предсказать
новые явления, характерные для многих нелинейных диссипа тивных систем. К ним относятся кризисы аттракторов. Оказа
лось, |
что, наряду |
с внутренними и граничными кризисами, |
могут |
существовать |
циклические кризисы. Это одновременное |
столкновение нескольких сосуществующих аттракторов с гра ницами, которые отделяют их области притяжения [288]. При этом точка в фазовом пространстве после кризиса (А > А*)
«обходит» |
один |
за другим все существующие при А < А* ат |
тракторы. |
Однако |
время, которое она проводит в каждом из |
них, оказывается |
случайным. |
|
В некотором |
диапазоне параметров у отображения |
|
*п+1 = 4AV1 - Хп>* +х п |
У п ' |
|
(5.27) |
уп+1 = 4Ч ( ! - уг) + |
уп |
могут сосуществовать три аттрактора. Область притяжения каждого из них обладает сложной геометрией. В фазовом про странстве возникает «паркет» [288]. По-видимому, такая «паркетная» структура простирается вплоть до бесконечно
179
малых масштабов. Граница областей притяжения может быть
Гладкой при А < А, а при А > |
А |
становится |
сложной |
изрезан^ |
|||
ной |
кривой, повторяющей |
себя |
на |
меньших масштабах. |
В |
рабо |
|
те |
[283], где изучаются |
такие |
перестройки, |
они названы |
ме |
||
таморфозами. Можно ожидать, что аналогичные явления будут обнаружены и в различных системах дифференциальных уравне ний. Важные результаты были получены при анализе двумерных
отображений кольца в себя.
Аттракторами таких отображений могут быть как устой
чивые неподвижные точки, так и более сложные притягивающие
множества, описывающие |
квазипериодические режимы. |
Каково |
же типичное разбиение |
пространства параметров на |
области, |
в которых аттракторы имеют один тип? Какова последователь
ность |
бифуркаций, связанная с |
переходом |
от |
одних аттрак |
|
торов |
к другим? |
|
|
|
|
|
Ответ на |
эти вопросы, |
связанный |
с |
результатами |
вычислительного эксперимента и теоретического анализа, был
получен |
в восьмидесятые |
годы. Следуя работам |
[14, 351], |
обсудим |
типичную картину внутри резонансного рога. |
|
|
Рассмотрим двупараметрические семейства отображений |
|||
РЫ ,а ^ :
гп+1 |
= |
1 |
+ |
А(гп - 1 ) |
- |
( о / 2п) sin |
(2щп) |
|
|||
<Рп+, = |
<Рп |
+ |
w + |
Цгп - |
1) - (о /2 п ) |
sin |
(2ткрп) |
|
|||
|
|
|
О |
s |
<р |
< 2тг, |
|
0 < А < 1, |
|
|
|
в котором параметр |
А |
связан |
со |
сжатием |
фазового |
объема, |
|||||
0) — с числом |
вращения. |
|
|
|
|
д. Их |
|
||||
Выделим |
неподвижные точки |
отображения |
устой |
||||||||
чивость определяется собственными значениями матрицы
линеаризованной |
системы |
Aj и |
А2. |
Устойчивую |
точку с |
||
|Aj| < 1 , |
|А2 | |
< 1 будем |
называть |
стоком |
(далее |
считаем, |
|
что 0 < А2 < Aj < 1 ), а неустойчивую |
с 0 < |
А2 < 1 < Aj - |
|||||
седлом. Простейшая бифуркация в системе - |
одновременное |
||||||
рождение |
или исчезновение седла |
и стока. |
|
|
|||
180