книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Считая,

что имеет место степенная зависимость Ще) «

d

d

= 1

-

V

2‘

(6.18)

С

Обобщение этих рассуждений на отображения более высо­

кой

размерности приводит

к формуле

dL

k +

Л1+

Л2+

- + \

(6.19)

1 ^ +,1

где

k -

наибольшее

значение,

при

котором

Aj + Л2 + ...

...

+ Afe

> 0. Если

<

0,

определим

dL = 0.

Величину dL,

ласти аттрактора должны давать больший вклад в А)(...,

Хр.

Исходя из

этого, в работе

[259] было

высказано предположе­

ние, что

для типичного

аттрактора

вероятностные

размер­

важную характеристику динамической системы -

топологи­

ческую энтропию.

Остановимся

на

этой" характеристике.

Пусть

система

А может

находиться в

состояниях

i = 1.........

п с

вероятностями Р

. Тогда мера

информации,

энтропией, которая по формуле Шеннона определяется

как

S ~ - £ Р. In Р. .

(6.20)

t

мы,

поэтому

оказывается

тесно

связанной

с

формулой

Шеннона.

Ее можно определить следующим образом [204].

Разобьем

фазовое

пространство

изучаемой системы

на

ячейки

размера

ер.

Обозначим

через

Р

вероятность

того,

что

в

МО-

мент

/

=

0

точка

на

O' ' ’ 1 п

траектории

находилась

в

ячейке

фазовой

с

номером

tQ,

в

момент

t =

т -

ъ ячейке

с номером

^

и

т.

д.

Из

формулы

(6.20)

следует,

что

количество

информа­

ностью е (т. е.

последовательности

ячеек t * . t *) в момент

пт пропорционально

величине

к„

= - 1

Р .

In

Р.

.

I

0 '

i 0 .

а в момент (п +

1 )т

-

величине

К

п+1

.-

IL

. р ‘- О "

In Р.

п+1

'о - •• 'п+1

h = I i m 1 i m 1 i m -тс

N - \

I

<

*„>

-

T-»0

e-»0

N-*со

yvx

=

lim

lim

lim

т с

Y

P.

In

P.

( 6. 21)

.

T-»0

e-»0 W-»co

yv

.

'o ”

, l N

' O' ' '

N

' 0 ' ' ' 'JV

Предел

при

e —»

0

берется

после

перехода

к

пределу

при N —» с».

Для дискретных отображений т = 1

и

А = -

lim

1im

4т

.

Y

.

Р.

In

Р .

‘ yv

(6.22)

е->0

IV-»со N

L

'О •••l N

‘ 0 "

' 0

•lN

определяет

некоторую

динамическую

систему.

Зафиксируем

п >

0

и введем

расстояние

в

фазовом

пространстве X

Р„(х,

у),

положив

Р„(х. У) =

шах

р(Г/(х),7’/(у)).

Для е > 0 обозначим через N(n,T,e) наименьшее число

шаров радиуса е в

метрике

рп ,

необходимое

для

того, чтобы

покрыть

М. Тогда

А(Г) =

1im

77m

log

Af(n,T,e)

=

Mm

Mm

19Я N UhJ,fA .

e-»o

n-»eo

e-»o

n->со

n

корреляций

бесконечно.

Пусть

Р

=

е

и

на

следующем

шаге точки

из

этой

ячейки

'о

пространства переходят

в ячейку

с

номером

фазового

1Г Но

тогда

Р

■ =

е,

а,

значит,

из

формулы

(6.21)

сле­

дует,

что

А

том

Таким

образом,

в

случае

регулярного

=

0.

движения т

=

со ,

А =

0.

первоначально

близкие

точки

расходятся

экспоненциально;

Р. =

е,

Р. ■ =

е

е~^

. Поэтому

А = А >

0.

Следовательно,

'о

т

'о 1

величина, А

-

положительное

число.

здесь

- конечная

3.

Если динамику

системы

определяет случайный шум, то

ячейкам в фазовом

пространстве системы Р.

= е, Р.

. ~

'о

'о

1

~ е2,

А ~

-In

е —» оо. В таких

системах

т

= 0, А = со.

Величину

k(T)

для отображений

класса С*

и

многообразия

можно

оценить

как

где

Aj(x)

г

... г V > (x) г 0 -

Ам

(х) * ...

=

Ар(х),

р =

dimM

-

ляпуновские показатели

в

точке х,

q£x)

- их

казателями в (6.23) имеет место

равенство [158].

Соотно­

шение

еще

больше упрощается, если

А;(х) оказываются

одними

и теми

же

для почти всех точек х.

Тогда h(T) просто равна

ностями

оказывается

верным.

Было

показано,

что

в

этом

случае

1о*1^

х'с)> - « = УГ) 4; - jq>-

<6-24>

и

поэтому

0

-

емкость,

верхняя

и

нижняя

размерности

Ледрапье

dL(p.) и

d^(M),

а также верхняя и

нижняя

емкости

совпадают и

равны.

Поскольку

топологическая

энтропия

А^(Г)

здесь

равна

А^

то а

определяется

формулой

Каплана -

Йорке.

Расчет

ляпуновских

показателей

и

оценка

фрактальной

процесс,

а

также система в вариациях. Однако во многих

случаях

(в

частности,

при

анализе

экспериментальных

дан­

ных) это

не так, и

нужны

другие

подходы. Один из

них

мерность

аттрактора

Хенона (а =

1,4, Ь = 0,3

в формуле

(5.15)) с

точностью в несколько процентов, требуется около

200 тыс.

точек. При

вычислении

корреляционного

показателя

Усреднение

по всему

аттрактору

(см. формулу

(6.25)) явля­

ется очень

важным.

В результате

усреднения

локальные от­

При анализе экспериментальных данных важно представ­

лять,

насколько длинной

должна

быть

выборка для

надежного

вычисления V.

В [372]

получена следующая оценка

длины вы­

борки,

необходимой для

расчета

корреляционного

показателя

с точностью в 5%

:

N > 42м,

где

М

-

целая

часть

хаусдорфовой

d

размерности

аттрактора.

То

есть

для

анализа

аттрактора

с

~ 3 нужно

около 70

тыс.

точек,

а

с. d

и

10

1fi

^

N ~ 10 .

Последнее число намного

тельного

эксперимента.

В

то же

время . практика

показывает, что хорошие ре­

зультаты

для аттракторов с d^ ~

5

10 получаются зачастую

при N ~

30-60

тыс. [280].

ного аттрактора

-

определение размерности

аттрактора

дина­

мической

системы, которая могла бы описывать изменение

погоды с

характерным временным масштабом в несколько дней

и была

бы полезна при среднесрочном прогнозе [269, 270].

Другой

пример

-

климатический аттрактор.

В этой

задаче

превышает

нескольких

сотен.

Вопросы о том,

в каких случаях расчет корреляционного

показателя по таким выборкам будет давать разумный

резуль­

тат, какие

величины,

характеризующие размерность

аттрак­

ясен из рис. 6.11. После первого шага вместо

единичного

отрезка остается два отрезка длины <Xj и а2,

на которые

сопоставить р символов R и L. На

первом

шаге

правому

отрезку соответствует R, левому L,

каждому

из

четырех

отрезков на втором шаге сопоставляется RR, RL, LR, LL (RR

соответствует самому правому отрезку,

LL - самому

левому)

и т. д.

Рис. 6.11. Схема построения

двухмасштабного

канторова множества, <Х^ =

= 0,25;

= 0,4;

= 0.6;

Р2 = 0,4

рова

множества,

которому

соответствует

последовательность

L L L ...,

то

поточечная

размерность

будет

равна d =

= ln p j/llM X j.

Правому

концу

соответствует

последовательность

R R R ...,

поточечная

размерность будет равна

dp =

1пр2/1шх2.

множества,

был

введен в

работе [294].

Они

строятся следую­

щим

образом.

0 -

уровень. На самой грубой шкале множество предста

ляет

собой N точек в кубе

объема

lQd.

1 -

уровень. В более мелком масштабе эти точки попада

в

один

из

кубиков размера {lQ/s^jd (таких кубиков

штук),

размера

(lQ/s2)d

(таких

кубиков

М2 штук),

<V

s,) d

(их

Мг штук) (рис. 6.12). Обозначим через рк долю

точек, попадающих в кубик со

стороной

(lQ/sk).

п +

1

-

й

уровень.

Каждая из ячеек, существующих на

п-м

уровне,

заменяется такой же конфигурацией, как на пер­

вом

уровне

(рис.

6.12),

и т.

д.

Далее предполагается, что

N —» ю.

Из приведенного определения следует, что

Е МрРр =

1.

(6.28)

3-1

Можно показать, что емкость и корреляционный показа­

тель могут быть определены из соотношений

Е MpSpdc = 1,

Е

= 1.

(6.29)

3=1

3=1

Прокомментируем эти формулы. Первое равенство явля­

ется аналогом (6.1), (6.2).

В

(6.29)

не уточнено,

после

какого шага построения фрактального

множества нужно

рас­

масштабного канторова множества.

На

первом

шаге

формула

(6.29)

дает

(Sj =

l/c^,

s-2 = 1/<х2)

d

d

+

=

1.

(6.30)

<x,c

a2c

Но отсюда следует, что на втором шаге

2d

d

d

d

d

a

2d

a,

+ a,c a2c + a2c a,c

= 1,

(6.31)

d

d

d

d

d

d

a ,e (a ,c + < ) + <

( < +

= ! -

Следовательно, если выполнено соотношение (6.30), то

автоматически удовлетворяется

равенство

(6.31),

а

также

решать с

помощью метода простой

итерации или

метода

Ньютона.

Если аттрактор обладает четко

выраженной

канторо-

ношение для

V становится понятным, если записать формулу

для корреляционного показателя в

виде А С(е)

e v = 1 (^4 —

постоянная

величина, С - число

расстояний,

меньших е).

онально PQ, число

расстояний, меньших е,

пропорционально

а также то,

что е ~ 1/s, получаем

формулу (6.29)

для V.