книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

■их членов - наложение двух «пил». Второй член имеет

мелкими и частыми зубцами. При этом график следующего чле­ на ряда получается в результате сжатия графика предыдущего

щие члены определяют поведение функции Н{х) на больших масштабах по оси абсцисс, а последующие на меньших.

Однако полное доказательство ее недифференцируемости было найдено только в 1972г. Обсуждение ряда этих и других примеров, а также обширную библиографию исследований, по­ священных функциям, не имеющим производной, можно найти в работе [292]. Как правило, это функции, повторяющие себя на меньших масштабах.

Рис. 6.2. Схема построения канторова множества

Одно из наиболее известных множеств такого типа было

191

много раз. Оставшееся множество С обладает многими замеча­

нулевой при любом 0 < р < 1. Однако при различных значе­ ниях р эти множества будут существенно отличаться, а

С канторовым множеством и его обобщениями связаны другие интересные объекты, возникающие при анализе нели­ нейных систем. Это непрерывная монотонная функция, произ­ водная которой равна нулю почти всюду; она названа Сдьявольской лестницей» (рис. 6.3). Здесь также на каждом шаге функция определяется на трети каждого из оставшихся

192

после предыдущего шага интервалов. На первом шаге всем

точкам из интервала [1/3, 2 /3 ] присваивается значение 1/2,

на втором шаге значение 1/4 присваивается всем точкам из

могут иметь положительную меру, несмотря на то, что они не содержат ни одного интервала. Их можно построить следующим

образом [67]. Выберем произвольное число а, 0 < а < 1. На первом шаге из отрезка [0, 1 ] выбросим все точки открытого

193

личин и обладает сложной внутренней структурой (такие объ­ екты можно ргссматривать кж пример сверхсложной организа­ ции). В меньшем масштабе оно выглядит так же, как в более

крупном. Эта инвариантность связана с некоторой симметри­

ей. Объекты, обладающие такими свойствами, были названы

фракталями [323].

Фрактали можно строить не только по простым детерми­ нированным правилам, но и пользуясь вероятностными алго­ ритмами. При этом получающиеся множества оказываются по­ добными себе в статистическом смысле. Они представляют ин­

терес во многих физических задачах. Для характеристики фракталей используется большой класс так называемых фрак­

194

Рис. 6.5. Четыре первых элемента в последовательности многоугольников, пределом которой является остров Коха

Одним из неожиданных примеров фракталей является бе­

что является характерным признаком фрактальной кривой. В некотором диапазоне параметров степенная зависимость опре­ деляет длину побережья многих других островов, длину неко­ торых рек, путь, проходимый частицей при броуновском дви­ жении. Пример фигуры с бесконечным периметром и ограничен­ ной площадью дает остров Коха. Он так же, как и канторово множество, возникает после бесконечного количества шагов.

196

них работ указывается на большие возможности использования фракталей в космологии, теории турбулентности, химической кинетике, физике полимеров [91, 323]. Фрактальные структу­ ры, известные как перколяционные кластеры, возникают при прохождении жидкости через твердые тела [178, 192, 392].

никновения фрактальных структур в различных физических за­

дачах, а также проведен ряд экспериментов, связанных с

анализом пространственной упорядоченности такого типа. Об­ разование сложной пространственной структуры можно объяс­ нить с помощью достаточно простых механизмов. Одним из них является агрегация, ограниченная диффузией [392]. Предста­ вим себе частицы, совершающие случайное блуждание, которые могут осаждаться на некоторой поверхности. Прилипая к по­

верхности, частицы меняют ее форму. Понятно, что вероят­

ность столкнуться с бугорком на поверхности выше, чем ве­ роятность попасть в ямку. Именно поэтому размеры бугорков

497

Другой механизм возникновения фракталей может быть обусловлен совместным действием диффузии и электрического

поля. Он позволяет объяснить возникновение сложной струк­ туры при электромеханическом осаждении цинка. При этом полный ток, движущийся к катоду, определяет вероятность

частице быть адсорбированной. Чем больше кривизна поверх­

ности электрода, тем выше напряженность поля, тем быстрее осаждаются ноны и происходит рост [192]. Таким образом,

неравновесный необратимый рост может приводить к появлению фракталей.

Оказалось, что при вытеснении жидкостью с малой вяз­

костью другой жидкости с большой вязкостью первоначально

плоская поверхность раздела переходит в поверхность, кото­

рая по форме напоминает пальцы перчатки. Такие структуры получили название « вязких пальцев». Последовательное дроб­

ление кончиков таких «пальцев» приводит к возникновению

моделей фрактального роста, они достаточно хорошо предска­ зывают фрактальную размерность наблюдаемых в эксперименте структур. Это связано с тем, что фрактальные размерности являются усредненными характеристиками множества, они отражают только его основные черты, которые и передает мо­ дель.

Выше мы рассмотрели несколько примеров множеств, об­ ладающих фрактальной (иногда ее называют канторовой)

структурой. Оказалось, что такие множества возникают при анализе многих систем, в которых существуют стохастические режимы или сложная временная упорядоченность. В этом слу­ чае представление о фрактальных размерностях оказывается очень полезным при выделении параметров порядка и построе­

198

нии иерархии упрощенных моделей. Обсудим основные коли­ чественные характеристики таких систем.

характеризуют изучаемые множества как геометрические объ­ екты и определяются их метрическими свойствами (в работе

[323]именно они называются фрактальными размерностями).

Вероятностные размерности (или размерности естественной меры) учитывают, с какой вероятностью типичная траектория

динамической системы оказывается в различных частях

аттрактора.

Кметрическим размерностям относится упоминавшаяся

ностям, обсуждаемым ниже. В работе [159] построен пример

множества, в котором dc * dc * dH. Однако это является

исключением, а не правилом. Обычно верхние и нижние преде­ лы для типичных аттракторов совпадают, поэтому далее мы не будем уточнять, о каком пределе идет речь.

199

Так как множество всех возможных разбиений при вычис­

ны примеры простых двумерных отображений, где все происхо­

кой системы, бывает в разных частях аттрактора. Эта веро­

ятность задается естественной мерой.

Ее можно определить следующим образом [158, 259]. Для каждого шарика С, содержащего точки аттрактора, и каждой точки х из области притяжения определим число ц (х,С), по­

Естественная мера позволяет определить ряд вероятно­ стных размерностей. Одной из них является информационная

е. В некоторых работах рассматриваются покрытия шарами с радиусами, не превышающими е, и вводятся верхняя и нижняя

информационные размерности d{ и d при этом в формуле

(6.6 ) берутся верхние и нижние пределы [158]. Величина rf/ иногда называется размерностью Реньи. Если все кубики

200