книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdf(здесь |
<х - |
постоянная |
Фейгенбаума). Поскольку |
число |
эле |
|||
ментов |
покрытия на |
каждом шаге увеличивается |
вдвое, |
|
|
|||
|
|
D т = 1п2/1па = 0,75551 ... |
|
|
|
|
||
|
|
-со |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dm = 1п2/1па2= 0,37775 ... . |
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
В |
этом |
аттракторе, |
как и в других, D |
= |
а , |
D |
= |
|
= amjn |
(это |
видно |
из |
формулы (6.57)). Таким |
образом, |
в |
||
двух рассмотренных выше примерах большая геометрическая информация о фрактальном множестве оказалась выражена с помощью одной непрерывной функции простого вида.
Если сравнить такое описание с универсальными функци
ями (г, введенными в теории Фейгенбаума для характеристики возникающих фрактальных множеств, которые имеют бесконечно много разрывов и не являются дифференцируемыми [261, 262], станут ясны преимущества обсуждавшегося подхода.
В настоящее время a-спектр вычислен для нескольких
других важных множеств, характеризующих странные аттрак
торы. В некоторых случаях, когда аттрактор имеет небольшую
размерность, он может быть рассчитан на основе эксперимен
тальных данных [214, 301]. В частности, для этого в работе
[353] было предложено использовать обобщение метода
Грассбергера - Прокаччо.
Опишем этот подход подробнее. Запишем корреляционный интеграл С(е) в виде
(6.62)
где 0 - функция Хевисайда. Это не что иное, как другая за
пись формулы (6.25). Индекс (2) связан с тем, что корреля ционный показатель совпадает с обобщенной размерностью D2. Перепишем эту формулу в виде
(6.63)
231
итерацию растягивается |
до |
длины I/'(лс0) |е (xQ |
принадлежит |
||
отрезку I ), поэтому при |
е |
—» О |
|
||
P(i,......in) |
~ |
l(/n), ( V I ~ 1 ~ ехр(-улт). |
|
||
где |
|
|
|
|
|
у |
= |
(1/л ) |
ln|(/"), (Jf0)l- |
|
|
Можно ожидать, |
что |
при |
л —» со |
|
|
P{i, |
|
/„) |
~ |
ехр(-уят), |
(6.69) |
где у характеризует сумму положительных ляпуновских пока зателей. Рассмотрим множество траекторий, задаваемых раз личными начальными данными xQ. В этом случае значения у
могут быть различны (например, значения |
xQ могут |
опреде |
||||||||||||||
лять неустойчивые |
циклы с |
различными у). |
Предположим, |
что |
||||||||||||
по аналогии с а-спектром число траекторий, |
у |
которых |
зна |
|||||||||||||
чения у легат в интервале |
от |
у ' |
до |
у ' |
+ |
dy', |
может |
быть |
||||||||
представлено |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N(y')dy" ~ dy‘ ехр(Л(у')лт). |
|
|
|
|
(6.70) |
|||||||||
Подставим |
|
формулы |
(6.69) |
и |
(6.70) |
в |
соотношение |
|||||||||
(6.68). Так же как при анализе а-спектра, |
перейдем |
к |
пре |
|||||||||||||
делу при л —» со и воспользуемся методом перевала: |
|
|
|
|||||||||||||
4q) |
= |
- |
lim ^ |
1п Г(<7,л) = |
qy{q) |
- |
h(y(q)). |
|
(6.71) |
|||||||
|
|
|
л-»со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
niq) = |
Щ *(?)• |
|
а(у(?)) |
= <и(я)-Чя)- |
|
|
|
||||||||
Зависимость |
h(у) |
и |
получила |
название |
у-спектра. |
|||||||||||
Гамма - спектр |
для нескольких |
моделей был |
найден |
в |
работах |
|||||||||||
[363, 365]. Внешне он выглядит так |
же, |
как |
/(а). |
|
В |
этой |
||||||||||
работе также обсуждаются некотооые свойства у-спектра. |
|
|
||||||||||||||
Есть |
основание |
полагать, |
что |
использование |
функции |
|||||||||||
Л(у) будет полезно при описании переходных |
режимов. |
В тех |
||||||||||||||
случаях, |
когда |
переходный |
процесс, |
а |
|
не |
асимптотическое |
|||||||||
234
поведение играет основную роль, информация о множестве траекторий, которую дает у-спектр, будет очень важной.
Другая область, |
где у-спектр может оказаться |
полез |
ным - переходы хаос |
- хаос в динамических системах, |
кото |
рые сейчас вызывают большой интерес [209]. Можно предполо
жить, что в точках перехода будут существенно меняться
у-спектр и времена, за которые устанавливаются ляпуновские
показатели при движении вдоль траектории. Это |
особенно |
важно, если фрактальная размерность достаточно |
велика и |
трудно представить перестройку аттрактора по его |
проекциям |
на различные плоскости или изменению фрактальной размер ности.
Таким образом, вычисление ляпуновской размерности,
корреляционного показателя, других размерностей позволяет определить количественные характеристики большого класса фракталей. И здесь принципиальным становится вопрос, опре деляется ли наблюдаемая временная динамика в реальных физических системах стланным аттрактором небольшой размер ности, случайными флуктуациями или это просто неустановив-
шийся переходный |
процесс. Перейдем |
к его обсуждению. |
|||
§ 6.4. Определение |
фрактальной размерности |
||||
|
по |
результатам измерений |
|
||
Будем считать, |
что у |
нас есть |
прибор, |
измеряющий одну |
|
из характеристик |
изучаемой |
системы |
в разные моменты време |
||
ни с интервалом и Af. Результаты измерений дают ограничен
ную последовательность {а(.}, 0 s / < ю. Встает вопрос,
можно ли по этой последовательности выяснить, имеем ли мы дело со сложным детерминированным процессом, который опи сывается дифференциальным уравнением х = Х(х) в фазовом пространстве R”, или со случайной функцией. Ответ на этот вопрос был получен в работах Ф.Такенса [377, 378].
Следуя работе [378], будем говорить, что результаты измерений могут быть описаны с помощью гладкой детермини
235
рованной |
модели, если существует дифференциальное уравне |
||||||||||||||||
ние |
х = |
Х(х) |
в |
фазовом |
пространстве |
R” |
с |
гладкой функцией |
|||||||||
X |
и гладкая функция / |
R”—» R такие, |
что |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1) |
для |
каждой |
наблюдаемой |
последовательности |
А = |
||||||||||
= |
{а(.}, |
О |
£ |
/ |
< |
со, |
экспериментальных |
данных |
существует |
||||||||
точка |
xQ |
€ |
R” |
такая, |
что |
а. |
= |
f[x(ibt)], где |
х(/) |
- |
ре |
||||||
шение |
дифференциального |
уравнения х |
= |
Х(х), |
у |
которого |
|||||||||||
х(0) |
= х0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2) |
для каждой начальной точки xQ € |
R” решение |
х(/), |
||||||||||||
х(0) = xQ, при t > 0 ограничено. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Если |
для |
некоторой |
последовательности |
А = |
{а^ |
удает |
|||||||||
ся |
|
построить функции |
/, |
X |
и интегральную |
кривую |
xQ(0. бу |
||||||||||
дем |
говорить, |
что |
результаты |
данного |
эксперимента |
могут |
|||||||||||
быть объяснены с помощью гладкой детерминированной модели. Чтобы сформулировать критерий Ф.Такенса, введем не сколько определений. Пусть А = {а^, 0 s / < в, - ограни
ченная последовательность действительных чисел (экспери
ментальные данные). Для £ > 0 H /I € N ( N - множество целых
положительных чисел) определим множество ®n£; с N следую
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
е ®л,е- |
|
|
|
При / > 0 / € |
5 |
в том |
и только том |
случае, |
если |
для |
||
всех 0 ^ j |
< i |
и / |
€ |
© |
|
|
|
|
шах |
{ \а. - |
а.|.|а.+1 " |
а/-и1......К +л " |
в/+« |} ‘ |
£' |
|
||
Обозначим |
через |
С „(И) число элементов ® |
Так |
как |
пос- |
|||
ледовательность |
А ограничена, |
С „(Л) конечно. |
|
|
||||
В работе |
[378] |
были сформулированы следующие утверж |
||||||
дения. Результаты эксперимента, определенные последова тельностью А, могут быть объяснены с помощью гладкой детерминированной модели, если величина
равномерно ограничена при (п - 1п(е)) —» т. В противном случае последовательность измерений А не может быть объяс
нена с помощью гладкой детерминированной модели.
В критерии Ф.Такенса фигурирует бесконечная последо
вательность |
А. Реально |
эксперимент дает конечное число* из |
мерений, и |
приходится |
иметь дело не с величиной Сп£{А), а |
с Спе т(А), |
где т - |
длина выборки. Величина 1п(е) также |
ограничена (например, конечной точностью измерений), огра
ниченность предела можно проверить только |
для конечного |
|
числа п. Однако если с помощью ЭВМ удается |
убедиться, |
что |
при увеличении т и л и уменьшении е пределы |
практически |
не |
меняются, то можно считать, что физическая система хорошо
описывается |
конечномерной |
детерминированной . |
моделью. |
||
(Обычно |
используется несколько |
иной алгоритм, |
к которому |
||
мы далее |
вернемся.) |
|
|
|
|
Важно, |
что установить |
|
наличие детерминированного |
||
хаоса в нелинейной среде можно, измеряя любую из динами
ческих |
переменных в одной точке почти |
при любом интервале |
Af, с |
которым делаются измерения.» |
Основой для такого |
вывода является результат Ф.Такенса, показавшего, что для
компактного многообразия М |
размерности |
р, |
диффеоморфизма |
||
g: М —* М, |
и гладкой функции /: М |
—» |
R, |
отображение |
|
= VW' |
........... |
f(g2m(x))) |
является |
в общем |
|
случае вложением (то есть оператор Ф является непрерывным,
взаимно |
однозначным отображением |
М в R9ГГ74-1), |
т > р. |
|
В качестве g в системе х = Х(х) можно рассматривать |
||||
оператор |
сдвига вдоль траектории |
за 'время |
А/; |
в качестве |
функции |
f можно взять одну из |
динамических |
переменных |
|
^(sA/), 5 = 0, 1,..., 2т. Отсюда следует, что фрактальная размерность предельного множества может быть определена по
дискретному |
набору £(Л) |
= С,- |
-* <*>■ |
По |
этим данным |
|
можно построить набор |
т - |
мерных |
векторов |
|
|
|
|
С» - |
« , +,........W |
i i |
|
. <6 73) |
|
для I = 1, 2 и т. д. и определить размерность (обычно кор |
||||||
реляционный |
показатель |
и) |
множества {£fe} |
в I - |
мерном фа |
|
237
зовом пространстве. |
Если размерность |
аттрактора |
М конечна |
|||||
й равна р, |
можно |
ожидать, что |
при |
I > |
2р |
+ |
1 |
полученные |
значения уже не будут зависеть от т. |
|
2р |
+ |
|
|
|||
Это |
означает, |
что существует |
набор |
1 |
параметров |
|||
порядка, к которым «подстраиваются» все остальные степени свободы системы. Такое поведение характерно для многих
математических моделей, изучаемых синергетикой [151, 193],
в том числе для нелинейных систем с бесконечным числом
степеней |
свободы, |
которые описываются уравнениями в част |
|||
ных |
производных. |
Множества, состоящие из векторов вида |
|||
(6.73), |
часто |
называются множествами |
в ^-пространстве, а |
||
само |
их |
построение |
- реконструкцией аттрактора. |
||
|
Отметим, |
что |
результаты Ф.Такенса |
не в полной мере |
|
соответствуют тем физическим ситуациям, в которых обычно производится реконструкция аттрактора. Одно из наиболее
серьезных |
ограничений |
связано с |
предположением |
о |
том, |
что |
||||||
М является |
многообразием. |
Инвариантный |
тор и |
предельный |
||||||||
цикл - действительно |
многообразия, |
однако |
для |
большинства |
||||||||
странных |
аттракторов |
характерна |
канторова |
|
структура |
- |
они |
|||||
не являются |
многообразиями. |
Оценка |
2р + |
1 |
связана |
с |
теоре |
|||||
мой Уитни, касающейся гладких многообразий. Есть основания
полагать, что в общем случае она |
неприменима. |
|
|
|
Требование компактности также накладывает жесткие |
||
ограничения. Вопрос о том, в |
какой мере |
эти результаты |
|
могут |
быть применены к аттракторам бесконечномерных сис |
||
тем, |
которые описываются уравнениями в частных производ |
||
ных, |
остается открытым. |
|
|
|
Пусть аттрактор m - мерной |
динамической |
системы имеет |
хаусдорфову размерность d . Дифференцируемая замена пере менных (преобразование, которое является диффеоморфизмом) не меняет значения dH- Однако непрерывное взаимно одноз начное преобразование может изменить значение хаусдорфовой размерности аттрактора.
Таким образом, теоретическую работу по обоснованию процедуры реконструкции аттрактора нельзя считать завер шенной.
238
Исследование множеств в ^-пространстве позволяет
предложить ряд алгоритмов вычисления фрактальной размер
ности, более эффективных, чем при анализе |
аттракторов в |
Обычном фазовом пространстве (^-пространстве) |
[138, 280]. |
Как уже упоминалось, при использовании стандартного алгоритма вычисления корреляционного показателя v расчет
величины С(е) |
(см. формулы |
(6.25) |
и (6.26)) требуется хра |
нить N векторов |
(N р -чисел) |
и ~ № р |
действий. |
Вычисление корреляционного интеграла С(е) для мно жества в ^-пространстве требует N слов памяти и ~ А^2 + Np действий. В самом деле,
|
0<C*-CJ ’ I 1 ' |
|
|
|
|
<e'74> |
||
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
k = |
1, .... |
N - р - X, |
т = |
1, ... |
|
|
|
|
.... |
N |
р — 1, |
т - |
k = |
const, |
|
|
= |
P % |
. < J |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
- W |
* |
- |
- У |
2- |
Формула (6.74), определяющая так называемый алгоритм |
||||||||
скользящей |
суммы |
[138, |
139], |
позволяет |
вычислять |
|||
p2(Cfe+1. Cm+1). Добавляя и вычитая из p2(Cfe. Cm) по одному слагаемому независимо от размерности пространства.
Более эффективные алгоритмы могут быть предложены и для вычисления емкости и информационной размерности. Они
требуют |
объема памяти, меньшего |
4N и числа действий, |
мень- |
Л |
[138,139]. Идея таких |
алгоритмов связана с |
упоря |
шего N |
дочением ^-векторов по первой компоненте, благодаря чему
удается уменьшить количестве необходимых сравнений. Предварительное упорядочивание позволяет также пост
роить алгоритмы вычисления корреляционного показателя' в которых число действий не зависит от длины выборки N. Они
могут быть |
очень |
полезны в случае |
больших выборок |
N > |
где |
*0 “ хаРактеРный |
размер аттрактора, |
239
d - его |
размерность, |
c min~ наименьшее |
расстояние между |
|
векторами |
Ст и Сл. которое |
может быть надежно измерено. |
||
§ |
6 .5 . Определение |
ляпуновскнх показателей |
||
|
по экспериментальным данным |
|||
При |
исследовании |
динамических систем |
важной характер |
|
ристикой служили ляпуновские показатели. Наличие положи
тельного показателя свидетельствовало о хаотическом режиме
в системе. Поэтому большое значение имеют алгоритмы, поз воляющие оценивать ляпуновские показатели по эксперимен тальным данным. Здесь можно выделить два различных под
хода. Первый |
был предложен в 1985 году в работе Дж.Экмана |
|
и Д.Рюэля [256], |
а также в работе М.Сано и И.Савады [364]. |
|
В литературе |
он |
известен как метод якобиана. |
|
Будем |
вновь полагать, |
что |
мы |
имеем |
дело с ^-векторами |
|||||
Сk |
= (€fe. |
€fe+1.......... |
^ь+р-1) |
в |
Р-м еРном |
пространстве, по |
|||||
строенными |
по |
результатам |
наблюдений |
£2............ |
Обозна |
||||||
чим |
через Т оператор, |
переводящий |
в Cfe+1- |
|
|
||||||
|
Идея |
метода |
очень |
|
проста. |
Выберем |
сферу |
малого |
|||
радиуса е |
в |
^-пространстве |
(рис. |
6.17). |
Через m |
итераций |
|||||
240
оператор |
Тт переводит эту сферу |
в |
эллипсоид с |
полуосями |
||
а „ .... |
а . Если в системе есть |
s |
положительных |
показате- |
||
лей, то |
шар |
будет |
растягиваться |
вдоль некоторых 5 осей и |
||
e lf .... |
ag |
> е. |
Если радиус |
сферы выбрать |
достаточно |
|
малым, то оператор Тт близок к сумме оператора сдвига и линейного оператора А, собственные значения которого и
нужно оценить. Затем, проводя усреднение этих собственных
значений |
по |
всему |
аттрактору, |
мы и получим оценку |
ляпунов- |
|||||||||||||||
ских |
показателей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Выберем |
вектор |
|
и |
найдем |
множество |
векторов {£ ^ } |
||||||||||||
(I |
= |
1, |
2, |
.... |
N), |
попадающих |
в |
его е-окрестность. Други |
||||||||||||
ми |
словами, |
векторы |
у*= |
^ |
- |
Су |
таковы, |
что |
Ну'11 |
^ |
е, |
где |
||||||||
llwll |
|
ft |
|
... |
+ |
ft |
1/ft |
|
|
w - |
|
|
|
‘ |
|
вектора |
||||
= (Wy + |
wp) |
, |
Wy |
|
компоненты |
|
||||||||||||||
w. |
Через |
время |
mLt |
оператор |
Tm переводит |
вектор |
С,, |
в |
Су+т> |
|||||||||||
а вектор |
С^ |
в Су^ |
• Вектора |
у1 при |
этом |
перейдут |
в |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
I |
|
|
i+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если сфера е достаточно |
мала, то |
можно |
считать, что |
||
существует линейный |
оператор |
Aj. |
|
|
|
|
г1 = |
Aj |
/ |
|
(6.75) |
Можно сказать, что |
А. характеризует |
систему |
в вариациях. |
||
Чтобы оценить наилучшим образом оператор А естественно воспользоваться методом наименьших квадратов, т. е. мини
мизировать |
функционал |
|
|
|
|
|||
|
min |
S |
min |
|
- |
A .yf |
(6.76) |
|
|
|
А /. |
|
А , |
|
|
|
|
Обозначим |
через |
afef(/) элемент |
матрицы |
А , находящийся в |
||||
k-й строке |
и |
I-м |
столбце. |
Условия |
минимума функционала |
|||
ds/dakl(j) = |
0 |
дадут |
систему |
рхр |
уравнений |
вида |
||
241
|
|
А/Г = |
C, |
|
|
(V)bl = |
l y‘V . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kl |
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.77) |
|
|
|
|
|
■ |
i |
|
f |
z 'V 1 |
|
|
|
|
||
|
|
( C ) |
« |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
K, |
|
L |
z У |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
t.= l |
|
|
|
|
|
|
|
где |
V и |
С - |
матрицы |
размера |
рхр, |
а |
через |
у1к и г‘к обозна |
||||||
чены k-e компоненты |
векторов |
|
у1 и г1 соответственно. |
|||||||||||
|
Далее ляпуновские показатели можно будет найти по |
|||||||||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X. = |
I i m |
_ ! |
|
У In |
А. е(, |
|
(6.78) |
|||
|
|
|
|
пт |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
п-*со |
|
i= 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
А - |
решение |
уравнений |
(6.77), |
{е^} |
- |
набор базисных |
|||||||
векторов в касательном пространстве в С,.. |
|
|
||||||||||||
|
При |
реализации |
этого |
алгоритма |
можно |
поступать так |
||||||||
же, как при вычислении ляпуновских показателей в аналити чески заданных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Можно выбрать вначале произвольный базис {е*} и
следить, |
как |
меняется длина |
вектора |
Л.е5 , |
площадь |
парал- |
|||
лелограмма, построенного на |
векторах |
/ |
-/ |
А.е |
s« |
т. |
д. |
||
A.t |
, |
, и |
|||||||
при изменении |
/. |
|
А^ |
ts |
|
|
|
|
|
По |
мере |
роста компонент |
векторов |
и изменения |
их |
||||
ориентации с ростом / периодически надо проводить их пере нормировку и ортогонализацию, получать новый базис. Далее
процедура повторяется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В 1985 году в работе [393] |
был |
предложен |
другой |
ме |
||||||
тод, |
который |
условно |
может |
быть |
назван методом |
аналога. |
|||||
Его |
суть |
ясна |
из рис. |
6.18. |
Выбирается вектор С- и ищется |
||||||
его |
сосед |
|
расположенный |
достаточно близко к |
£ |
на рас |
|||||
стоянии |
Ш0). |
Если разность |
/ |
- |
/ ' |
достаточно |
велика, |
то |
|||
можно считать, что мы имеем две различные близкие траекто рии. Поскольку в системе есть положительный показатель,
расстояние |
между |
образами |
и Су |
растет и |
в момент |
/1 |
|
становится |
равным |
L' |
когда |
его |
уже нельзя |
считать |
ма |
лым, а траектории близкими. В этот момент ищется другой
близкий вектор Су» такой, чтобы ориентация векторов
242