книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

3.Отображение Т, действующее на множестве М и

имеющее инвариантную меру Р(х), называется перемешивающим,

если для любых f, g € Z«2

точно большое число итераций будет равномерно размазано по тору. «Черные» участки (см. рис. 5.1) окажутся перемешан­ ными с белыми. Доказательство соотношения (5.7) для отоб­ ражения (5.2) можно найти в книге [8]. Определение (5.7) естественно обобщается на случай непрерывного времени. Из свойства перемешивания следует эргодичность.

Проверка соотношения (5.7) в реальных системах оказы­ вается достаточно сложной. Поэтому, чтобы установить свой­ ство перемешивания, обычно, рассматриваются автокорреля­ ционные функции b(t)

m = Sf(x(t))f(x(0))dP(x) - Sfm)dP(x)Sf(x(0))dP(x).

В эргодических системах удобно заменить среднее по мере средним по времени для типичной траектории:

Г-»а> Q

Г-» со

151

Если динамическая система обладает перемешиванием, то b(t) —* 0 при t —* оо, что свидетельствует о стохастичности

частности, отображение (5.6) свойством перемешивания не обладает.

Закон убывания b(t) и спектральные характеристики ди­

В случае эргодического движения без перемешивания функция

мых случайных величин будут характерными и для динамичес­ ких систем с хаотическим поведением. Одним из них является

центральная предельная теорема. Введем величину

оо

Величина в скобках во многих случаях убывает как

7’-,/2 . Поэтому по аналогии с теорией вероятностей можно

152

В этом случае функция а(и) (см. формулу (5.9)) аналитична. Величину TQ часто называют временем расцепления корреляций, или радиусом корреляции системы.

При исследовании отображения (5.2) важным являлось

наличие сжимающегося и расширяющегося слоения. В

окрестности каждой траектории лежали бесконечно близкие

устроены все траектории динамической системы, то на основе представлений о локальных свойствах траекторий можно

исследовать глобальные свойства динамической системы. Такой подход развивается в гиперболической теории. Обратим внимание на некоторые ее результаты.

Свойство гиперболичности естественно обобщает свойст­

ва отображения (5.2) на многомерные отображения с более сложным фазовым пространством.

Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем

вфазовом пространстве М (в отображении (5.2) это тор).

153

Т= Es(S*(x)) + £ “(S'(x)).

S?(x)

причем эти подпространства являются инвариантными от­ носительно отображения Т (dSTEs(S?(x)) = Es(St+T(x)), dSTEu(S\x)) = Eu(St+T(x))) и существуют постоянные числа

О< Л < 1 < р

такие, что для всех t и т > О

|rf5T оI а С 'V х |о|. о € £“(S'(x));

Всистемах с дискретным временем вместе с хп+ = f(xn)

Динамическая система называется У-системой, или диф­ феоморфизмом Аносова, если каждая ее траектория является равномерно полно гиперболической, а постоянные С, Л и д = = Л'1 можно выбрать одинаковыми для всех точек.

154

Диффеоморфизмы Аносова, так же как отображение (5.2), являются структурно устойчивыми. Число задач, где они

ардом называется система, отвечающая движению материальной

от границы. Если область ограничена гладкими выпуклыми внутрь кривыми, и кривизна положительна для каждой регу­ лярной точки границы, биллиард называется рассеивающим. Он представляет собой аналог гладких гиперболических систем. Биллиарды возникают в задачах акустики, радиофизики, кван­ товой механики. Хаотическое поведение в них во многих слу­ чаях удается детально исследовать [43].

_ Однако наибольший интерес при исследовании дис­ сипативных систем представляет собой использование резуль­ татов гиперболической теории для анализа странных аттрак­ торов.

Аттрактор динамической системы называется гиперболи­ ческим, если он состоит целиком из траекторий, удовлет­ воряющих условию равномерной полной гиперболичности с одними и теми же постоянными С и Л.

155

ределения гиперболичности можно исследовать свойства дос­

случаев удается проверить с помощью ЭВМ. В литературе их часто называют критерием Синая. Этот критерий может быть использован при анализе математических моделей различных явлений, для которых характерны хаотические режимы.

=df/dx (отображение Т переводит УУ-мерный вектор х в

щихся векторов в данной точке х образует конус растягиваю­ щихся векторов. Изменив знак неравенства на противополож­ ный, получим определение сжимающегося вектора и конуса сжимающихся векторов. Для N = 2 этих определений было бы достаточно. В многомерном случае приходится определять еще расширяющееся L(u) и сжимающееся подпространства или

подпространства, состоящие соответственно из расширяющихся или сжимающихся векторов.

рытое множество &и\х) 6-мерных расширяющихся подпрост­ ранств lSu^ и открытое множество &s)(x) сжимающихся

/-мерных подпространств lSs\х) (рис. 5.5) и при этом

156

растягивающиеся векторы внутрь конуса, в котором лежат растягивающиеся векторы на следующей итерации. Второе условие получается, если заменить конус растягивающихся векторов на конус сжимающихся, а Г на Г-1..

В случае двумерных отображений (5.1) эти условия упрощаются и могут в явном виде быть выражены через произ­ водные функций / и g [44]

где ||h{x,y)\ = max \h(x,y)\. ( * у №

В таком виде критерий гиперболичности использовался, например, в работе [44] при исследовании модели Лоренца и

157

в работе [26] при изучении странного аттрактора в системе

дифференциальных уравнений, связанной с уравнением типа реакция - диффузия.

A— В

158

Примером может служить инвариантное множество отображения,

оно сжимает квадрат в одном и растягивает в другом направ­

каждая из полосок вновь разделится на две, на л-м шаге

возникает 2" полос. Отсюда следует, что предельное мно­

жество 1i mTn(S) п S будет обладать структурой, повторяющей

п-»ео

себя на меньших масштабах. Такие множества часто называют канторовыми. Они характерны для аттракторов многих систем, проявляющих хаотическое поведение. Примеры таких систем, свойства канторовых множеств и их количественные характе­

и двоек следующим способом. Если образ точки на первом ша­ ге попадает в полосу VJt то на первой позиции в этой по­

левую часть, то на (А>+1) месте в последовательности должна стоять единица, если в правую, то двойка. При этом каждая итерация отображения Т эквивалентна сдвигу на один элемент

вправо. В предельном множестве 1i mTn(S) n 5 все точки с п-><»

159

одной координатой у характеризуются одной и той же после­ довательностью единиц и двоек. Разные последовательности

двойку. Одно бросание эквивалентно сдвигу на один элемент

ответствует бесконечная серия бросаний монеты. Это очень важный факт. Он показывает глубокую связь между детермини­ рованными обратимыми динамическими системами и традицион­

ными объектами теории вероятностей. Такой подход, связан­

ный с сопоставлением различным траекториям символического описания, получивший название символической динамики, ока­ зался очень плодотворным. Методы символической динамики помогли исследовать хаотические режимы в ряде интересных динамических систем [152, 175, 289]. Чтобы построить инва­ риантное множество, поступим следующим образом.

160