книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

подобия позволяет найти профили f(£) и для других tf. В

последние годы близкие задачи возникли во многих областях

науки [182].

В связи с этим решения уравнений, которые описывают

конфигурации нестационарных структур, получили название

собственных функций нелинейной среды [80, 171]. В отличие

от обычных собственных функций, они описывают локализован­ ные процессы и не зависят от граничных условий. (Например, формула (2.9) может определять решение огромного класса

ный максимум. (Будем говорить, что оно определяет простую

го времени максимумы движутся к оси симметрии, но форма профиля меняется мало. Это позволяет говорить о взаимодей­ ствии тепловых структур.

41

Рис. 2.4. Взаимодействие четырех тепловых структур. Линии уровня и видо­ вые проекции распределения температуры в последовательные моменты времени

42

пространственная симметрия начальных данных играет важную роль. В работе [127] с помощью численных методов изучалось взаимодействие структур в многомерном случае и был приве­ ден следующий пример. Рассматриваются начальные данные ви­ да

Можно дать приближенное описание различных стадий взаимо­ действия структур и показать, что близкие закономерности характерны и для трехмерного случая.

Профили вида (2.11) при t —* tf меняют свою форму (поэтому их иногда называют квазиструктурами). Обнаружен­

ные в расчетах закономерности взаимодействия структур поз­ воляют предположить, что существуют сложные структуры. Они

определяются решениями уравнения (2.7) (или его многомер­

ного аналога), имеющими несколько максимумов, или, как их называют, высшими собственными функциями нелинейной среды

венно потребовать, чтобы при х —» оо температура и поток

43

Если при решении нелинейной задачи (2.7), (2.8) нужно было

установить интересную закономерность [80, 171]. В решении можно выделить две части. В одной из них решение представ­

ный набор собственных функций нелинейной среды, которая

Рис. 2.5.а — Полный набор собственных функций данной нелинейной среды зависящих от одной пространственной координаты, б - Эволюция второй соб­

ственной функции

44

Такой характер решений позволил дать оценку числа собственных функций N нелинейной среды, связанную с анали­ зом линеаризованной около f = 1 задачи [171]

125]. Типичную картину иллюстрирует рис. 2.6. Здесь пока­ заны две численно построенные собственные функции нелиней­

собственные функции и приближения, полученные методом сшивания. Видно, что они близки.

Рис. 2.6. Собственные функции нелинейной среды при 0 = 3,5; <Т = 2. а) вторая и третья собственные функции (сплошная линия), соответствующие асимптотики вблизи гомотермического решения (штрих-пунктирная линия) и

Таким образом, метод сшивания позволил получить хоро­ шие приближенные решения (приближения) исходной нелинейной задачи (2.7), (2.12). Такие приближения были использованы для построения новых численных алгоритмов, связанных с

45

роении многомерных собственных функций нелинейной среды.

полярные координаты. При этом двумерная функция f, опреде­ ляющая форму сложной структуры, удовлетворяет нелинейному эллиптическому уравнению

ли действовать по аналогии с одномерным случаем, то нужно искать границу, на которой можно сшить решение линеаризо­

125, 161]. При исследовании открытых нелинейных систем, которые описываются нелинейными параболическими уравнения­ ми, зачастую удается выделить набор параметров порядка, к которым «подстраиваются» все остальные степени свободы.

нятно, что соответствующий ряд будет содержать только гар­

46

дает целую иерархию упрощенных конечномерных моделей. Они позволяют предсказывать конфигурацию высших собственных функций в области немонотонности и дают хорошие начальные приближения, необходимые для численного построения таких решений.

Рис. 2.7. Видовые проекции нескольких собственных функций нелинейной среды

47

• М аксимум

О 5 10

0Минимум

+ Ц ентр

Рис. 2.8. Набор собственных функций, предсказанных с помощью приближен­ ного анализа и затем построенных численно

В работах [125, 161] эти приближения широко использо­ вались, и был построен большой класс высших собственных функций нелинейных сред. Видовые проекции нескольких таких функций показаны на рис. 2.7. Рис. 2.7 дает представление

онаборе собственных функций, предсказанных на основе

приближенного анализа и затем построенных численно для не-

\

которой нелинейной среды. Этот результат оказывается очень

интересным.

48

Наряду с простейшими конфигурациями, состоящими из одинаковых квазиструктур, существует и много других форм.

Максимумы в них могут иметь разную амплитуду и распола­ гаться несколькими слоями, с ними определенным образом оказываются согласованы и минимумы температуры. Напомним, что все эти структуры описывают сходящиеся к центру волны

горения растущей амплитуды.

Таким образом, в простейшей нелинейной среде может существовать сложная организация. В ней есть конечное

число конфигураций, сохраняющих в процессе эволюции свою форму. Их можно интерпретировать как несколько простых структур с различными максимумами, объединенных в одну сложную (см. рис. 2.8). Законы такого объединения и опре­ деляют высшие собственные функции нелинейной среды. Соз­ дать более сложную упорядоченность в среде с данными зна­

чениями Э и <г нельзя [121, 125].

Постановку начальных данных можно рассматривать как

способ воздействия на нелинейную среду. (Они могут быть

созданы с помощью других процессов, которые модель (2.3)

не учитывает.) При этом в общем случае происходит быстрое

формирование одной или нескольких простых структур, каждая

из которых локализована в некоторой области (?д. Если на­ чальные данные поставлены в соответствии с высшими собст­ венными функциями нелинейной среды, то, процессы идут в

большей области, возникающая тепловая волна сходится к

центру и сохраняет свою форму. Ход процессов при этом су­

нейной системы. Подчеркнем, что здесь наиболее важной ока­ зывается не амплитуда начальных профилей, а их конфигура­ ция, соответствие собственным функциям нелинейной среды.

-Анализ собственных функций разных нелинейных сред

49

желаемое поведение, и было бы очень заманчиво использовать

резонансные возбуждения, явления самоорганизации, эффек­

тивно опираться на внутренние свойства самой системы. Это особенно необходимо в тех случаях, когда нет возможности действовать методом проб и ошибок.

для которой установлены законы организации диссипативных

ным. Трудно остановиться даже на основных результатах, полученных в последние годы при изучении модели (2.3) и ее обобщений. Поэтому мы охарактеризуем только несколько

крупных направлений исследований.

Первое направление связано с обобщениями модели (2.3)

на более сложные среды и с ее использованием в различных

физических задачах. Было показано, что явление локализации

и режимы с обострением характерны для систем, параметры которых явно зависят от пространственных координат. Были рассмотрены случаи, когда плотность среды и нелинейный

также возникают локализованные структуры, развивающиеся в

Вряде случаев здесь также удается построить

Аналогичные результаты были получены и для системы

двух квазилинейных уравнений параболического типа с объем­ ными источниками.

50