книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Г Л А В А 3

ИЕРАРХИЯ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ

В. последнее десятилетие для описания конкретных сис­

тем в химической кинетике, физике плазмы, экологии, многих других областях были предложены десятки различных моделей

типа реакция - диффузия. Их анализу посвящено большое

количество работ, в которых рассматриваются конкретные за­ висимости Q^(X,Y,\), Q2(X,Y,\) различных типов. Поэтому возникает следующий вопрос: существуют ли общие черты в

поведении решений системы (1.1) при различных правых час­

тях, можно ли провести классификацию двухкомпонентных сис­ тем по каким-либо признакам? Классификация и выделение об­ щих черт позволили бы перейти от исследования конкретных моделей частного вида к созданию их теории. Это, в свою

ных методов исследования является вычислительный экспери­ мент. Задав конкретные функции Q^(А-,У,A.), Q2(X,Y,\), коэф­ фициенты Dy £>2, начальные данные и краевые условия , мож­ но проследить эволюцию одного решения в течение определен­ ного времени. Однако, наблюдая за этим решением, в котором зачастую трудно усмотреть какую-либо закономерность, мы не можем сказать, что поняли, как оно устроено.

72

Опонимании можно говорить тогда, когда мы умеем

каждый раз само уравнение. Хорошо было бы предсказывать и основные количественные характеристики, пользуясь явными формулами или более простыми моделями. Таких упрощенных моделей может быть несколько, отличающихся областью приме­ нения, сложностью, методом получения. Достаточно полный набор приближенных моделей позволил бы говорить о сложных

явлениях, которые описываются уравнениями (1.1), пользуясь

теми понятиями и образами, которые появились при изучении более простых задач. Разработку упрощенных моделей, выяс­

нение их взаимосвязей, областей применения, свойств сейчас часто называют построением иерархии моделей или созданием

системы моделей.

Построение иерархии упрощенных моделей оказывается

очень важным при изучении многих нелинейных диссипативных

возможности современных ЭВМ не позволяют непосредственно решать возникающие уравнения. Например, при моделировании сложных гидродинамических и магнитогидродинамических тече­

мической ветви. В качестве малого параметра здесь можно

73

§ 3.1. Универсальное описание в окрестности

термодинамической ветви

Одним из наиболее эффективных методов анализа нели­ нейных систем является теория бифуркаций. Классической задачей этой теории, поставленной еще в прошлом веке, является задача об изгибе колонны.

Представим себе колонну прямоугольного сечения, на которую сверху действует нагрузка Р (рис. 3.1). При увели­ чении нагрузки колонна будет укорачиваться и утолщаться,

но ее ось будет оставаться прямой. Однако при некотором критическом значении Рс картина качественно изменится -

74

состояний равновесия и их устойчивость. Изменение числа и устойчивости решений уравнения называется ветвлением или бифуркацией решений. Это типично нелинейное явление. Клас­ сическая линейная теория упругости дает в этом случае

единственное прямолинейное состояние равновесия. Подробное

обсуждение потери устойчивости колонны и некоторых других нелинейных моделей теории упругости можно найти в книге [182].

А

значение теории бифуркаций было осознано выдающимся фран­ цузским математиком Анри Пуанкаре в конце прошлого века.

го решения мы ограничиваемся тем, что происходит с конк­ ретным решением в окрестности одного значения параметра. Естественно в первую очередь выбрать наиболее важные зна­

75

чения параметра, где поведение системы качественно меняет­

ся, т. е. точки бифуркации. При этом важнейшей целью ста­ новится выяснение всех основных типов бифуркаций в различ­

получила развитие в теории нормальных форм дифференциаль­

могут описываться параметром Л. Это дает обыкновенное диф­ ференциальное уравнение

Рис. 3.3

76

Таких Значений х может быть несколько: Ху х2 и т. д.

В зависимости от начальных данных х(0) решение стремится к

Допустим, что нам известно какое-либо одно решение уравнения (3.2). Для того чтобы найти решение при близком

значении Л = Л0 + АЛ, АЛ « 1, можно воспользоваться фор­ мулой Тейлора

dF(x,\п)

где G - остаток ряда, в который входят члены, пропорцио­ нальные (Ах)3, (Дх)2АЛ, Дх(АЛ)2, (АЛ)3 и т. д., его конк­ ретный вид для нас не важен. Поскольку нас интересует сос­ тояние равновесия, то F(x + Ах, Л0 + АЛ) = 0. Но тогда мы получаем при Ах —» 0, АЛ —> 0

нуля, то мы можем приближенно определить новое состояние

77

Рис. 3.4

вместо (3.4) получится следующая формула:

дача о нагрузке колонны. Пусть в начальном состоянии ко­

лонна не идеально прямая, а немного изогнута в одну сторо­

ну. Тогда зависимость максимального изгиба от нагрузки,

Если колонна находится в устойчивом состоянии, соот­

ветствующем точке на нижней ветви бифуркационной диаграммы (см. рис. 3.5), и нагрузка медленно уменьшается, то при некотором значении Р произойдет скачкообразный переход в

78

нике [157]. Изменение типа бифуркационной диаграммы, например, при малом нарушении симметрии изучаемой системы, исследуется одним из разделов теории бифуркаций - теорией несовершенств [107].

но можно назвать обменом устойчивостью. Состояния равнове­ сия, лежащие на одной ветви, становятся в точке AQ, х ус­

тойчивыми, лежащие на другой - неустойчивыми. Бифуркацию, показанную на рис. 3.6,в, называют подкритической (в отли­ чие от надкритической, показанной на рис. 3.6,а). Она от­ личается тем, что возникшие в результате ветвления решения

лежат в той же области параметров (Л < Afl), где была рас­ положена первоначальная устойчивая ветвь. Анализ показыва­

ет, что в этом случае они неустойчивы. При увеличении па­

Бифуркации, показанные на рис. 3.6, возникают при исследо­ вании большинства стационарных диссипативных структур.

79

Более сложные типы бифуркаций можно получить, считая равными нулю следующие коэффициенты ряда Тейлора. Однако,

такие бифуркации. Они существенны только при исследовании семейств математических моделей, зависящих от нескольких параметров, либо в системах, обладающих рядом симметрий.

§ f =_Fi(X,Y.\).

(3.6)

Ш= tyX.Y,\)

врезультате бифуркации могут возникать периодические ре­ жимы. Пример такого процесса показан на рис. 3.7, где представлены типичные фазовые траектории (т. е. проекции решения X(t), Y(t) на плоскость (Л, У}).

цикл. Этот цикл определяет устойчивые периодические реше­

80