книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Интуитивное представление об установившемся режиме

может

быть связано с понятием притягивающего множества,

Или

аттрактора [134]. Аттрактором называется замкнутое

Отображения

/

(f(A) =

А)

и имеет

область

притяжения 'UQ

(UQ

э А),

все

точки

из

которой

попадают

в А

(т. е.

А =

00

Иногда

в

определение

аттрактора

включают

r\fn(Un)).

п=1

означающее,

что А

нельзя разде­

свойство неразложимости,

окрестность точки х*, из которой

все точки стремятся к х*.

Вместе

с

тем

нельзя

сказать,

что

итерации

всех

точек

от­

резка стремятся

к х*, (/"(0) = 0, п = 1,2,...).

Другим примером может служить устойчивый цикл Sn.

Можно ожидать, что в общем случае одномерное отобра­

жение

имеет несколько

аттракторов,

выход

на

которые проис­

ходит в зависимости от начальных

данных.

Наиболее

подробно

этот вопрос исследован для класса

так

называемых

S -

уни­

модальных

отображений [235,

370],

к

которым, в

частности,

после замены переменных можно привести семейство (4.3).

Функция /

называется унимодальной, если:

3.

/

строго

убывает на

[0,1]

и

строго

возрастает

на

[-1.0].

Если,

кроме

того,

4.

/

непрерывно

дифференцируема

и / '( х) =

0 при х

= 0

то /(х)

называется

si

-

унимодальной.

С

Производной

Шварца Sf(x)

будем

называть функцию

Sf(x) =

f

(х ),

3

(4.12)

n

x j - ^

z

Функция

f(x)

называется

S

- унимодальной, если:

1.

/

является

С1 -

унимодальной;

2.

/

€ С3;

3.

Sf(x)

<

0

для

всех

х

е [-1,

1];

в

точке

х = О

Sf(x) может быть равна -

со;

4.

/ отображает [/(1), 1] на себя;

5.

/"(0)

< 0 .

Справедливы

следующие

утверждения

[235].

Т

е

о р

е м

а

4.1.

Если

отображение

f

S -

унимо­

возможно,

устойчивую

неподвижную

точку на интервале

[-1. /(!)]•

Если / S -

унимодально и имеет

Т е

о

р е м а 4.2.

нему, равна нулю.

Т е о р е

м а 4.3. Если /

S - унимодально и имеет

устойчивый цикл, то итерации точки х = 0

сходятся к нему.

Последнее

утверждение дает

способ

строить отображе­

дить,

чтобы одна из итераций нуля

попала

в

неустойчивую

точку

или неустойчивый

цикл.

Простейший пример такой функции был приведен С.Уламом

и Дж. Нейманом

в

1947

году.

Это

функция

f(x)

=

1 - 2х2;

/(0) =

1, / 2(0) =

-1,

fk(0)

= -1

при

* >

2, но

/'( - 1 )

= 4.

что замена переменных

у =

4 -[a rc sin

]

-

1

приводит

его

к виду

=

1 -

2|»„|.

(4.13)

Можно

исследовать

свойства

последовательности

{у

},

пользуясь

очень простыми

соображениями.

K9flJ

Пусть у^ имеет

k

знаков после

запятой

(fe+1-й ,

Л+2-й

и

все остальные

знаки

равны нулю). Тогда можно проверить, пользуясь

формулой

(4.13),

что

i/2, у3 и

все

остальные элементы последователь­

ности

{уп}

будут иметь столько же

или меньше

знаков. Одна­

ко чисел,

у которых

есть

только

k знаков, а

все

остальные

элементов в

последовательности

{ y j

начнут

появляться

оди­

наковые

числа.

Такие

же

рассуждения

можно

провести,

если

-

рациональное

число,

у = p/q, -1

s

у

s

1, р и

q -

це­

лые

числа.

Все

эти

циклы

будут

неустойчивы,

так

как

d f(y A)

'

X.. .X

d f ( y n)

= 2п

> 1

для любого цикла

Sn (см.

~Яу

аУ

формулу

(4.8)).

. Верно и обратное утверждение: если отображение (4.13)

имеет

цикл,

то

все его

элементы

и

их

прообразы ‘ являются

на отрезке [-1, 1],

можно перенумеровать (они

образуют

счетное множество),

иррациональные - нет. Можно

построить

следовании случайных процессов -

определить,

с

какой

веро­

ятностью

элементы

(уп)

попадают в окрестность точки у.

В этом случае естественно рассматривать не одну дина­

мическую

систему

вида

(4.1),

а

целый

ансамбль

таких

сис­

тем. Начальные точки

х1 у

каждой из

систем

определенным

удобно

характеризовать

некоторой

мерой

V. Будем

полагать,

что р([-1,

1]) =

1.

Точки

=

/(Xj)

будут

иметь

уже

другое

распределе­

ние. В окрестность некоторой точки х2 попадут

точки,

ранее

лежавшие

в

окрестности

всех

прообразов

точки

х^:

■V •.**; /Ц ) =

/(*2) = •• = Ях*) = х2'

Исходя из этого, можно ввести меру д, определенную

равенством

ц(Е)

=

v(f~1E),

где

Е

-

любое

измеримое

подмно­

жество

отрезка

[-1, 1].При

этом

говорят,

что отображение /

действием отображения / и обозначают через fv.

Меру

v

называют

инвариантной для

преобразования

/,

если v = fv, т.

е. v(E) = v(f~\E)).

Пусть

д1

и д2 -

две меры на [-1,

1]. Говорят, что

д1

Лебега, то

определена

и

принадлежит

пространству

плот­

ность меры

р(х) =

(v(dx) = p(x)dx).

Для многих отображений можно доказать следующее ут­

верждение.

Если

задать

некоторую

меру

д и

вычислить

п ее

итераций,

то последовательность

1

к=п к

сходится к

нн-

—

J]

/ д

вариантной

fc=o

мере, характеризующей аттрактор этого отображе­

ния [207, 235].

Отображение

/ может

иметь много инвариантных мер. Од­

оказывается

наиболее

важной.

Сходимость к инвариантной ме­

ре связана

с

«забыванием начальных

данных», характерным

для диссипативных систем, с выходом на аттрактор.

Приведем несколько примеров. Циклам S? соответствуют

меры,

у которых

р(х)

=

А

б(х - х )

представляет

собой

р

Р £ 1

= 1/2. У преобразо­

5-функций. Для отображения (4.13) р(х)

вания

/(х)

=

(1 -

2Х2)

р(х)

обладает

особенностями:

р(х)

=

лить

набор

непересекающихся

отрезков

/ (..........

/

,

которые

содержат итерации почти всех точек. В

этом

случае

% -

ин-

вариантная

мера -

сосредоточена на

р

«островах»

(см.

рис.

4.13, в).

Такие

аттракторы

будем

обозначать

у?.

Поря­

циклами). Однако положение точки в пределах каждого

остро­

ва при больших п меняется случайным образом, и

в этом

смысле они близки к стохастическим' режимам.

Для некоторых классов одномерных отображений

можно

сятся всюду растягивающие

отображения [207, 235], у кото­

рых

df

-

.

Ь

Н

* с ? '-

Можно получить представление об инвариантной мере с

помощью ЭВМ, построив гистограмму последовательности {*п}.

Разобьем интервал

[-1,

1]

на

равные отрезки

длины

е и

каждому

отрезку

сопоставим

число

п.

Вначале

п. =

0

для

любого

i. Значение п.

увеличивается на единицу, если эле­

мент

хп

попадает в i-й

интервал.

Затем

п, делятся на

общую

длину

выборки N.

Во

многих

случаях

р(х)

= 1im

1im

п. /N.

е-»о

N-* со

1

Однако получение р(х) с достаточно высокой точностью

требует

больших

выборок.

Можно

действовать иначе.

Исходя

определяющее р(х),

которое

называется уравнением

Перрона -

Фробениуса:

Р(у)

Р(х)

= Е

,

(4.14)

— i-------- .

у*Г\х)

I/ (У) I

где сумма берется

по

всем

прообразам точки х.

ется.

Здесь

можно

применять

различные численные

методы

[84,

135].

Представляет

интерес и

обратная задача - по

данной

инвариантной

мере

(статистической характеристике)

опреде­

ветви

обратной

функции TQ(X), т^х). Например,

для

случая,

показанного

на

рис.

4.14, a,

TQ(X) = -1

при

х £

с.

Опреде­

лим

функцию

<р(х) =

д([х, 1]),

у(“ 1) =

1'

Ф )

=

0.

Тогда,

учитывая, что рассматривается инвариантная мера,

получим

Ф )

=

д ([х,

1])

= Д(/-1([х,

1]))

=

#д([х0(х ), т^дс)])

=

=

Ф

0(х)) - Ф {х )),

(4.15)

что

ясно

из

рис.

4.14,а.

Поскольку

T Q(X)

6

[—1. *0].

прообраз

в

прообраз:

R(TQ(X)) =

т^х),

R(T^X)) = TQ(x)

(рис.

4.14,6).

Эта

функция монотонно

не

возрастает,

и по

определению

f(R(x))

=

/(х).

С

учетом

сказанного

(4.15)

можно

записать в

виде

Ф ) = Ф 0(*))

~ 9(Жт0(г)))-

Обозначив

х = TQ(Z), х' = х^г) = R(x), получим

<P(f(x))

=

Ф )

~ <P(R(x)),

- 1

£ х

£ х0,

т*')) = пт*')) - ф').

х0£*' - у

Объединяя

эти

уравнения

в

одно,

и

учитывая,

что

/(х) =

/( х ') =

2, получим

Ф (х))

=

|ф )

- <p(R(x)) |,

-1

<

х £ 1.

функция

f(x),

имеющая

инвариантное

распределение

р(х) =

-ф'(х)

и такая, что

f(R(x)) = f(x),

удовлетворяет

то

для любой такой функции R функция f(x) = <р \|ф(х) -

-

<p(R(x))l)

будет иметь инвариантное распределение р(х)

=

=

-<р'(х) и

удовлетворять дополнительному условию

f(R(x))

=

=

f(x).

Формула (4.16) позволяет строить отображения

с данной

множество

унимодальных

отображений,

порождающих на отрезке

[-1,

2

(при заданном сг). При­

1] меру с плотностью ~ е

меры

двух

таких функций

показаны на

рис. 4.15.

/

- О, 8

Рис.

4.15

Обсудим вопрос об устойчивости итераций одномерных

отображений. Для этого рассмотрим итерации

точки х^ и

близкой к ней х' = х^ + Ах.

Рассуждая так же,

как при ис­

следовании

цикла

Sp, и устремляя А* к нулю,

можно

проверить,

что

устойчивость

траектории

{хп}

=

=

(д^,

/(jfj),

/ 2(JC1)

...}

определяется величиной

*(*,) = lim

i-

log

ззг-

п->00

А(д:1)

называется

ляпуновским

показателем.

Во многих

случа­

ях

можно

доказать,

что почти

все

точки ху дают

одни

и

те

же значения А

[235].

Если

А < 0, то траектория {*n} устойчива,

все

доста­

точно

близкие

траектории

стремятся

к ней.

Если

А >

0,

то

системе,

то мы практически не можем предсказать ее

поведе­

ние в будущем.

В

применении

к

модели

(4.1)

это

означает

следующее.

Если

Ху

Ху достаточно

близки,

то

близки

будут

и

первые

члены

последовательностей

{х

}

и {х

'},

но,

начиная

с не-

которого

номера N,

их

элементы

начинают изменяться

совер­

который практически не позволяет прогнозировать

ход про­

цесса, может

описываться уже

простейшей, явной

формулой

(4.1).

Заметим,

что в реальных

системах начальные данные

указать открытую

окрестность

UQ,

точки из которой стремят­

ся

к

аттрактору.

Если

|Xj| >

1,

то |*п| —»

«о.

Нельзя

ука­

зать такую окрестность и для аттрактора

Фейгенбаума,

кото­

рый

возникает

после бесконечного

каскада

бифуркаций удвое­

ния

периода. Он

весь «пронизан» неустойчивыми циклами.

Вначале

понятие

аттрактора

связывалось

с

устойчивыми

мер:

хп+ 1

=

к * „ )'где я *)

-

-

*2)2

для

1*1

"

1

и

f(x) =

0 при

\х\ > 1. Можно убедиться,что

почти

все

точки

будут

покидать

квадрат

|дс

| ^

1,

|х

. | £

1

в

случае

отоб-

ражения *п+)

=

4*п(1

-

опо

л*н

примере

все та­

дг) . В

обсуждаемом

кие точки будут попадать в начало координат.

Единственным

аттрактором

этой

системы

будет

неустойчивая

неподвижная

точка

х = 0.

Анализ

таких

отображений

требует более

общего подхо­

да. Один из них был предложен Дж.Милнором [334].

Пусть

М -

гладкое

компактное многообразие,

/

-

непре­

рывное отображение,

переводящее

М в

себя.

Омега

-

предель­

ное множество w(x) точки х е М -

представляет

собой

набор

точек

сгущения

последовательности

х,

f(x),

/2(х)...........

у

е