книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

1.Выделение основных черт, характеризующих сложную

систему.

2.Формирование гипотезы о механизме явления. В част­

ности, в работе А.Тьюринга это предположение о том, что

наиболее важными являются химические и диффузионные про­

это могло бы происходить», часто называют «мягким модели­ рованием». Он сейчас широко используется в нетрадиционных областях исследований. При «жестком» моделировании обычно нужно вывести конкретные следствия из более общей теории. Такая постановка задачи характерна для многих разделов

нами. Обычно при этом вводятся или используются определен­

4.Использование созданных представлений в других об­ ластях. Применение систем реакция-диффузия оказалось очень полезным в экологии, физике плазмы и в других задачах. Неустойчивость Тьюринга позволила объяснить ряд наблюдав­ шихся и предсказать новые явления.

5.Постановка экспериментов, исходя из предложенной

ленном этапе возможен переход к «жесткому» моделированию. По-видимому, предложенные к настоящему времени мате­

матические модели морфогенеза достаточно далеки от реаль­

ности. Однако их построение и исследование принесло боль­

шую пользу. В результате были сформулированы некоторые об­ щие представления, касающиеся появления упорядоченности в нелинейных средах, а также поставлены содержательные воп­ росы перед экспериментаторами.

21

§ 1.2. Самоорганизация

Основным аппаратом, который используется при .исследо­ вании нелинейных сред, являются уравнения с частными про­

изводными. Формально они описывают системы с бесконечным

числом степеней свободы.Однако не все степени свободы иг­

рают одинаковую роль. В нелинейной диссипативной системе

Рис. 1.3

22

гармоники. Пусть функция и(х) имеет сложный изрезанны^ вид (см. рис. 1.3,а). В ее поведении не видно какой-либо зако­ номерности или упорядоченности. При этом амплитуды многих

всего нескольких гармоник. Если процесс идет так, что ко­ личество гармоник большой амплитуды уменьшается, то в сис­ теме будет возникать упорядоченность, будет происходить самоорганизация.

Посмотрим, как меняются со временем амплитуды коэффи­

циентов Фурье решений в простейших линейных и нелинейных

можно свести к бесконечной системе обыкновенных дифферен­

Пусть нас интересует решение задачи (1.5) на моменты времени t > ty л ответ мы хотим получить с достаточно вы­ сокой точностью е. Посмотрим на рис. 1.4, на котором пока­ зано, как меняются амплитуды нескольких первых гармоник со временем. Чем больше номер гармоники, тем быстрее уменьша­ ется ее амплитуда. В результате, чтобы получить ответ с

23

времени, достаточно решить всего несколько уравнений. Ука­

уравнения теплопроводности, получим бесконечную систему уравнений

dC

обусловлены диффузионнными (или другими диссипативными)

вновь на зависимости Cm(t) для какого-нибудь нелинейного

видна та же закономерность (см. рис. 1.5), что и для ли­ нейного уравнения (см. рис. 1.4): амплитуды гармоник с высшими номерами убывают быстрее, и с определенного момен­ та ими можно пренебречь. Учитывая это, можно построить приближенный метод анализа системы (1.8).

24

Рис. 1.4. Типичная картина изменения функций Cfe(<) для линейного уравнения

теплопроводности

Рассмотрим вначале простое уравнение

dC

25.

Фундаментальное допущение о том, что д » 1/Ут < П0ЛУ~ чило название адиабатического приближения.

сываемые первыми m + 1 уравнениями, идут гораздо медленнее

26

и остальные моды гораздо меньше, чем первые. т). Тогда цель достигнута: указав точность и характерные времена, мы при­ ходим к системе т + Г дифференциального уравнения

строго обоснована. Одним из основных результатов здесь является теорема А.Н.Тихонова [53, 183].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

нечной системы (1.7) первые М + т уравнений, полагая, что

Такие задачи получили название сингулярно возмущенных (в отличие от регулярно возмущенных, в которых при д = 0 по­ нижения порядка не происходит). Чтобы решить (1.14), нужно выразить 2 из уравнения F(z,~y,t) = 0, подставить выбранное решение 2 = <p(y,t) (в силу нелинейности их может быть не­

27

сколько) во второе уравнение (1.14) и затем решить полу­ чившуюся систему

Будем считать, что в некоторой области пространства пере­

(1.16). Будем считать, что эта точка покоя асимптотически устойчива по Ляпунову в изучаемой области (y,t) (т. е. для

В теореме Тихонова не затрагивается важный вопрос о поведении решений изучаемой системы при / —» ю. Кроме то­ го, полезно было бы знать, сколько уравнений из бесконеч­

28

номерной системы (1.7) нужно оставить, чтобы эффективно

нее время появился ряд работ, позволяющих ответить на этот

вопрос для некоторого класса задач [267, Д28], на них Мы остановимся позже.

Физический смысл приведенных результатов прост: пара­ метрами порядка в таких системах являются моды с наиболь­

шими характерными временами. Медленные моды «подчиняют» быстрые. В качестве Сп здесь естественно выступают ампли­

ной бесконечномерной задачи и решения конечномерной систе­

мы, полученной применением к исходному уравнению метода

t

Галеркина [169].

Не менее интересным представляется другой класс явле­ ний, в которых также наблюдается самоорганизация и возни­ кают диссипативные структуры. В 70-е годы в физике плазмы внимание исследователей привлекли сверхбыстрые режимы, ко­ торые позволяли во многих случаях использовать одни группы процессов и пренебрегать многими другими [93]. Это привело

кпоявлению большого класса математических моделей, где

параметры порядка iv ,>гут быть не связаны с Фурье-

гармониками и определяются наиболее быстрыми процессами в системе.

В качестве простого примера такой модели можно при­

вести нелинейное уравнение теплопроводности с объемным ис­

29

ну. f ~ форму. Его тоже естественно интерпретировать как диссипативную структуру, которая, в отличие от структур в модели Тьюринга, а также многих других, нестационарна.

Будем полагать, что начальный профиль таков, что про­

исходит выход на автомодельное решение (в некоторых случа­

ях можно получить строгие результаты, касающиеся выхода на решение вида (1.20)). Для описания этого процесса можно

по пространству, затем домножить его на Г и вновь проин­ тегрировать по х. Можно убедиться, что возникает динами­

а в качестве f берется начальный профиль температуры. Проведенное исследование показало, что модель (1.21)

хорошо описывает решения исходной системы, имеющие один

30