книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Она аналогична обсуждавшейся раньше бифуркации в сис­

теме с непрерывным временем, в ходе которой «ниоткуда»

узла.

Можно считать, что отображение Р(Ла порождается трех­ мерной системой с непрерывным временем, в которой г и <р

характеризуют координаты на плоскости Пуанкаре. При этом

стоку соответствует устойчивый цикл, седлу - неустойчивый.

Они возникают из сложного цикла. Особую точку на плоскости

181

Можно выделить так называемое сильно устойчивое слое­ ние локально устойчивого многообразия. Это следующее раз­

от периодических к квазип^риодическим режимам, который

мы определяется инвариантным циклом О . К этой ситуации

5.20 это окружность) трансверсально к каждому листу сильно устойчивого слоения многообразия UPy.

Однако ситуация кардинально меняется при нарушении этого условия. Пример этого показан на рис. 5.21. Здесь

182

квазиаттрактор. Методы анализа квазиаттракторов активно развиваются в настоящее время.

Обратимся к типичному разбиению плоскости параметров

{(i>,a} на области с различным поведением устойчивых и неус­

Г Л А В А б

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ХАОСА

При изучении хаотических режимов в нелинейных средах возник ряд интересных вопросов. Допустим, что изучаемое

явление хорошо описывается с помощью некоторого отображе­ ния (одномерного, двумерного или имеющего более высокую

Пусть отображение обладает чувствительностью к начальным данным, и две близких траектории быстро удаляются друг от друга. Тогда можно ожидать, что различие между траекторией отображения и экспериментальными данными с течением време­

ни будет расти. И причиной этого являются не недостатки модели, а природа изучаемых явлений.

Зачастую при проверке физических теорий сравнивалось небольшое число измеряемых величин (частоты, длины, време­

на ч т. д.), либо величины, усредненные по большому интер­ валу времени. Однако есть большой класс задач, где инте­ ресны не только конкретные численные значения величин в данный момент в данной точке, не только усредненные по большому временному интервалу величины, а сама динамика процесса. Таковы, например, задачи, связанные с прогнозом поведения нелинейных систем (например, с предсказанием по­ годы).

Здесь об эффективности модели можно судить по тому, насколько точно и на каких временах она дает прогноз пове-

186

дения системы, а не по тому, насколько хорошо с ее помощью

Определяются средние значения на больших интервалах.

В таких задачах часто приходится сравнивать не траек­

тории одной и другой системы (модели и объекта) на одни и

те же моменты, а некоторые сложные характеристики, опреде­

ляющие внутренние свойства изучаемых процессов. Зачастую

это требует разработки новых алгоритмов обработки экспери­

ментальных данных и широкого использования ЭВМ.

Есть и другой важг й аспект. Процессы в нелинейных средах описываются бесконечномерными системами, поэтому

важно выяснить,сколько и каких переменных необходимо изме­

рять, как часто производить измерения и как обрабатывать Их результаты.

Во многих физических задачах обычно имеют дело с од­ ним, наиболее важным масштабом изменения величин. Однако, рассматривая аттрактор Фейгенбаума, ряд двумерных отобра­ жений, мы видим совершенно иную картину - возникновение сложной структуры, повторяющей себя на все меньших масшта­ бах. Именно такая картина характерна для многих стохасти­ ческих режимов. Необходимо выяснить, как характеризовать такую структуру.

Исследования, связанные с анализом этих вопросов, предпринятые в последние годы, уже привели к обнаружению интересных физических эффектов и новому взгляду на некото­ рые явления. Рассмотрим их более подробно.

§ 6. 1 . Фрактали и сложная упорядоченность

Примеры множеств, обладающих сложной структурой, были очень популярны в конце прошлого и начале нынешнего века в связи с проблемой строгого обоснования математического анализа. Они привлекали внимание таких выдающихся матема­ тиков, как Вейерштрасс, Эрмит, Кантор, .Пеано. Пример не­ прерывной нигде не дифференцируемой функции, построенной Вейерштрассом, на многие годы определил направление ряда

187

исследований в области функционального анализа и привел к повышению требований к строгости математических рассужде­ ний.

этом случае а = 0,5; b = 4. На каждом следующем рисунке

1916 году Харди доказал, что эта функция не является диф­

ференцируемой ни в одной точке, если выполнены неравенства

а < 1 , b > 1 , ab г 1 .

Интересно, что эта функция является решением функциональ­

производной. Структуру этой функции можно пояснить следу­ ющим образом. Будем рассматривать частичные суммы ряда для

190