Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

= А явля-

Заметим,	что	S n	r~ \S ) состоит	из	двух горизонталь-
ных ПОЛОС, S	Л Г	(S)	из четырех и	т.	д. (рис. 5.8). Их

можно, так же как раньше, нумеровать последовательностью

единиц и двоек. Рассмотрим множество ^ ( S )				n S n	T(S)
(рис. 5.9),	оно	представляет	четыре квадрата.	(После	при
менения как	Г,	так и Т~^ эти квадраты переходят в себя.)
Множество r~2(S) п T \ S ) п			S п T(S) п T2(S)	представляет
			со

собой шестнадцать квадратов. Множество Л fn(S) п=-со

ется инвариантным. При символическом описании траекторий точек множества А нужно рассматривать последовательность единиц и двоек, бесконечную как в одну, так и в другую сторону.

			1.1		2.1
			Рис.		5.9
Можно доказать, что существует взаимно Однозначное
соответствие между			точками х	€	А и	множеством			бесконечных
в обе	стороны		последовательностей			двух		символов			[152,
289].	Итерация	отображения		Т	приводит		к	сдвигу		на	один
элемент вправо.							-со	<	/ <	со (а. =
Допустим,		в	последовательности			{o f},

= 1 или 2), есть периодически повторяющаяся группа чисел.

Проследив за траекторией точки квадрата, соответствующей

этой последовательности, можно убедиться, что она принад лежит циклу отображения Г.

Рассматривая непериодические последовательности {а {}, можно строить бесконечное множество непериодических траек торий различных типов.

161

Близкий подход, связанный с построением символической последовательности, может быть развит при анализе так называемого «преобразования пекарям, которое широко используется в качестве простой и эффективной модели в теории динамических систем [259] и термодинамике [162]. Обобщенное преобразование пекаря определяется формулой

х	, = \ х		п	,	у , = у / а , если		у	< а,
	п+1	а	п	’	!'п + 1	я п	’ п
Vi = 1/2 + Vn •						Vi = (V n -	«И1-0*		<514>

если уп > а.

Действие этого отображения на единичный квадрат пока зывает рис. 5.10. Преобразование пекаря обладает чувстви тельностью к начальным данным и свойством перемешивания. В работе [259] подробно рассмотрены различные количественные характеристики отображения (5.14).

В условиях гиперболичности существенным оказывается наличие сжимающего и растягивающего направления, которые в каждой точке пересекаются под ненулевым углом. Однако во многих динамических системах, описывающих хаотические ре жимы, это условие не выполняется. Примером может служить отображение Хенона

Хп+1 = У п + 1 ~ ах2п ’

Уп+1 = ЬХп’

(5Л5>

162

действие которого	показано	на рис. 5.11. В работе Хенона
[196] приведены	результаты	расчетов, показывающие, что

вдоль одного направления аттрактор обладает канторовой

структурой.			Отображение		(5.15)		является	сложным		объектом.
Об	этом		говорят,	например, результаты работы [295], в
которой		исследованы		области		устойчивости		циклов	Sn	(п ^	6)
на	плоскости параметров				(а,	Ь).
			У ,	.
	В		0,5	С
	0,5		0	0,5	XQ
	А		-0 ,5	17
					Рис.		5.11
	В	работе [251]		были получены достаточные					условия,		при

которых в семействе двумерных отображений наблюдается бес конечный каскад бифуркаций удвоения периода. При некоторых значениях а и b эти условия оказываются выполнены и для

преобразования	(5.15).
При исследовании		одномерных	отображений оказалось,
что во многих	случаях	проще изучать	стохастические свойст

ва отображений с острой вершиной, чем с гладкой. Можно

ожидать,	что	в	двумерном	случае	ситуация	будет
аналогичной. Это действительно так. Для					аттрактора	отобра
жения
	Vi = 1		- У п - °I*J - Vi = b x n '

называемого аттрактором Лози, в определенном диапазоне па раметров было доказано существование инвариантной меры, проверена гиперболичность аттрактора и показано, что он обладает перемешиванием [236, 335].

§ 5 .2 . Разрушение инвариантных торов.

	Сценарий	Рюэля -	Такенса
До начала	широкого	исследования стохастических режи
мов средствами	вычислительного		эксперимента предполага

лось, что турбулентность в гидродинамике возникает в ре зультате последовательности бифуркаций, называемой сейчас сценарием Хопфа - Ландау [132, 133]. Обсудим этот сценарий подробнее.

Рис. 5.12

Будем полагать, что изучаемое явление описывается

конечномерной динамической системой. (Это представляется естественным, поскольку можно считать, что влияние высших

пространственных гармоник из-за вязкости будет невелико.)

Пусть ламинарное течение соответствует особой точке этой системы. Будем менять один из параметров течения Л (напри

мер, число Рейнольдса). При некотором значениии А особая точка теряет устойчивость, происходит бифуркация Хопфа, и

рождается предельный цикл. В результате следующей бифурка ции Хопфа возникает инвариантный тор (рис. 5.12). В таком

решении можно выделить две независимые частоты. В самом

деле,	перейдем		в систему координат R,			<р, 0 ,	показанную		на
рис.	5.13.	В этих переменных простейшая спираль,						намотан
ная	на	тор,	определяется	формулой	R	= RQ,	<р =	(<у +	(pQ,
0 =	0Q +	« 2/,	где Rq, <pQ,	0q, W1, 6>2	-	постоянные		величи-

яы.	Если отношение 6>1/w 2			-	иррациональное число, то реше
ние	будет непериодично, и траектория равномерно заполнит
всю	поверхность		тора.
	Следующая бифуркация Хопфа приведет к появлению ин
вариантного		тора	более высокой размерности. При этом реше
ние	может	стать	похожим	на	спираль, которая с частотой сi>3

«навивается» на спираль, возникающую после предыдущей бифуркации. Та траектория, которая появляется после многих бифуркаций Хопфа в сценарии Хопфа - Ландау, и рассматри вается как турбулентный режим.

Современная экспериментальная техника позволяет вы

яснить, наблюдаем ли мы в реальной системе многочастотный режим и сколько в нем разных частот [225, 376]. Обычно не

удается обнаружить течений более чем с тремя независимыми

частотами. Естественно ожидать, что должен существовать другой сценарий, в котором существенную роль играют бифур кации Хопфа (в отличие от обсуждавшихся ранее сценариев

Фейгенбаума и Помо - Манневиля).

Его предложили в 1971 г. Д.Рюэль и Ф.Такенс [167].

Пусть интересующая нас система описывает простейший трех

частотный режим: <р1 = су, tp2 = <<у. ф3 = С«у, <рп -			углы в
соответствующем пространстве (п = 1,	2,	3). Пусть,	кроме
того, f(ipn) = f(<pn + 2п), где / - любая	из	функций,	входя

щих в наши уравнения.Д.Рюэль и Ф.Такенс доказали, что мож но сколь угодно мало изменить правые части системы, и ре шение качественно изменится. Вместо трехчастотного режима возникнет странный аттрактор, и поведение решений станет

165

хаотическим. При этом множество таких деформаций, меняющих тип решения, оказывается достаточно широким. Таким обра зом, сценарий может быть следующим: две бифуркации Хопфа и хаос, наступающий после третьей бифуркации.

Вопрос о том, как возникает хаотический режим из ин вариантного тора, оказался сложным и активно исследовался

в последние годы [14, 212]. Основным объектом в этих ис следованиях являются двумерные отображения. Многие выяс ненные закономерности оказались универсальными, не завися

щими от конкретного вида системы и ее размерности. В

работе [2 12] такой переход исследовался на примере отобра жения

Vi = У п

					(5.16)
			V i = аУпР -		*„>•
Его	можно		записать в виде	хп+2	= о*п+1(1 - х ).Это двумер
ное	отображение возникает как естественное обобщение моде
ли	(4.2).	В	целом диапазоне	параметра а точки на плоскости
(дс,у) при		п	—» оо ложатся на	гладкую замкнутую кривую Г. Та

же ситуация характерна для инвариантных торов в динамичес ких системах с непрерывным временем (кривая Г играет роль сечения тора плоскостью Пуанкаре. Например, в случае, по

166

казанном на рис. 5.12, 5.13, это может быть плоскость ip =

=const). В случае периодического решения на этой кривой

будет

лежать конечное

число точек (рис.

5.14),

если

реше

ние непериодично, точки будут заполнять весь контур.

Сам контур в обоих случаях является инвариантйым

множеством, а поведение траекторий на нем

(а значит,

поведение

траекторий

двумерного

отображения

при

—»

ш)

определяется отображением окружности в себя

0„+, = F(0„),

F(en + 2тг) = F(0„) + 2ir.

(5.17)

Обсудим подробнее свойства отображений такого вида.

Числом вращения

в данной точке

0Q назовем

предел

Fn( 0o ) - 0Q

Р « У - l i m

( 5 1 8 )

п-»°о

Пусть р(0о) = P/Q, где

Р и

Q -

целые

числа,

тогда

некото

рая точка 0Q возвращается в исходное положение через Q

итераций,

совершив Р

оборотов

вокруг

контура

(см. рис.

5.14).

Для

наглядности

точки

Fn(0Q)

F ^ V Q)

соединены

тонкими

линиями.

Отображение (5.17) возникает в связи с исследованием

дифференциальных

уравнений,

на

торе,

которые

представляют

интерес

ряде

задач

небесной

механики

при

анализе

других гамильтоновых систем. Они подробно изучались в ра

ботах А. Пуанкаре (1885) и А.Данжуа (1932). В частности,

было показано, что предел в определении числа вращения существует и не зависит от начальной точки. Он рационален

тогда	и только	тогда, когда	отображение	Fq для	некоторого
q имеет неподвижную точку.
	Сохраняющее ориентацию		отображение	окружности F '(0) >
> 0	структурно	устойчиво тогда и только		тогда,	когда число

вращения рационально, и все циклы невырождены, т. е. еди

ница не является собственным числом	производной	отображе
ния F4 в точках цикла q. Структурно	устойчивые	диффеомор

167

физмы*) образуют открытое всюду	плотное множество	в	прост-
А			ориен
ранстве С всех дважды дифференцируемых сохраняющих			ориен
тацию отображений окружности.	Это означает, в,	частности,

что вблизи любого преобразования из этого класса есть

отображение, имеющее цикл.
В качестве простейшего преобразования окружности мы
рассматривали поворот на постоянный угол	(5.6). Оказыва
ется, что любое сохраняющее ориентацию	преобразование F
л

класса С , имеющее иррациональное число вращения р,		топо
логически эквивалентно повороту окружности на	угол		2irp
(5.6). Доказательства этих утверждений содержатся	в		книге

[8].

Несмотря на структурную устойчивость отображений окружности, имеющих циклы, мера множества параметров, для которых число вращения р иррационально, может быть доста точно велика. Это показывает семейство отображений [8]

0л+1 = 0	п	+ а	+	е	sin	0 п ,
а € [0,2п]		,	0	s	е <	1 .	(5.19)
Схематическое разбиение	плоскости				параметров		на области,

где р рационально (заштрихованные участки) и иррационально

(незаштрихованные		участки),	приведено	на	рис.	5.15. Из
каждой	точки	на оси а	такой, что	а	= лp/q,	выходит

«язык», ограниченный парой гладких кривых. На рисунке по казано только несколько таких «языков». С увеличением q

ширина «языков» уменьшается. Несмотря на то, что рацио нальные числа составляют плотное множество на отрезке, оказывается, что мера множества точек (а,е), для которых р

рационально в области 0 s е s			e Q ,	0	s a s	2тг, мала по
сравнению с мерой всей области.			Таким		образом,	взятое		нау
гад	отображение	из семейства (5.19)		с	подавляющей		вероят
*) Диффеоморфизм -		взаимно однозначное,	дифференцируемое			вместе	с	обрат
ным	отображение.

168

ностью имеет иррациональное число вращения. Этот же ре зультат справедлив, если вместо sin0 рассматривать любую аналитическую функцию 0 .

Это глубокий и интересный факт. Напомним, что анало гичная картина была характерна и для ряда семейств одно

мерных отображений с гладкой вершиной. В них сколь угодно близко к значениям параметров, при которых наблюдается хаотический режим, есть значения, при которых аттрактором является цикл. Вместе с тем, задав наугад параметр, с по ложительной вероятностью можно наблюдать хаос. Это принци пиально меняет сам подход к предсказанию поведения таких систем. Он становится вероятностным не только из-за чувст

вительности	к	начальным	данным,	но ‘ и	из-за
«чувствительности		к параметрам».

Анализ семейств вида	(5.19)	самым	тесным образом
связан с теорией Колмогорова	-	Арнольда	- Мозера, рас

сматривающей разрушение л-мерных инвариантных торов под действием малых возмущений. Результаты этой теории сыграли важную роль при анализе многих гамильтоновых систем и ряда задач статистической физики [8, 87, 147, 215].


	Обратим внимание на два важных факта.							Первое	-	для
каждого		значения	параметра			число	р единственно и не зави
сит от начальной			точки.		Второе -		свойства двупараметричес
кого	семейства отображений					(5.19)	оказываются	более	прос
тыми	и	понятными,			чем	свойства однопараметрических
семейств,		которым		соответствуют			различные	кривые		на
плоскости параметров				(а,	е).

Рис.

5.16

Исходя

из

этого,

отображения

вида

(5.16)

работе

[2 12 ]

также

рассматривались

как

элемент

двупараметричес

кого семейства

(5.20)

Будем считать, что отображение (5.20)

записано в

полярной системе

координат

(5.21)

Пусть

оно

переводит область В (1 <

2) в

себя

(рис.

5.16).

Пусть

arg(r,0)

0, argF(r,0

2тг)

2п

argF(r,0)

для всех (г,в) € В. Число вращения р(г,в)

определим

фор

мулой

р(г,0) =

lim

arg

('bun ~

•

(5.22)

л- > C O

Спомощью численных методов в работе [212] были построены границы областей на плоскости (а,Ь), в которых устойчивы циклы с данным числом вращения P/Q (аналоги «языков» или, как их называют, «резонансных рогов» на рис. 5.15). Оказалось, что есть участки плоскости, в которых устойчивы циклы с различными числами вращения (с различных

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 5517 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги